6.2　提出不確定性原理

海森堡將他的著名論文寄給雜志的同時，也寄了一份給玻恩，并評論說他寫了一篇瘋狂的論文，請玻恩閱讀并提出建議。玻恩對海森堡論文中提出的計算方法感到十分驚訝，但隨后他意識到這種方法與數學家很久以前發明的矩陣計算是完全對應的。海森堡的“表格”，就是矩陣！因此，玻恩與他的一個學生約爾當一起，用矩陣語言重建了海森堡的結果。再后來，海森堡、玻恩、約爾當三人又共同發表了一篇論文，所以最終，這“一人、二人、三人”三篇論文，為量子力學的第一種形式——矩陣力學，奠定了基礎。這里邊還有狄拉克的工作，將矩陣與泊松括號相聯系。

新量子論的發展還有另外一條線，完全獨立于海森堡的矩陣力學。那是愛因斯坦注意到德布羅意的物質波理論之后，推薦給薛定諤引起的。薛定諤從波動的角度，用微分方程建立了量子力學。

微分方程是物理學家們喜歡的表述形式，牛頓力學、麥克斯韋方程都用它。薛定諤方程描述的波動圖像也使物理學家們感覺親切直觀、賞心悅目，雖然后來不知如何解釋波函數而頗感困惑，但還是喜歡它，而討厭海森堡的枯燥和缺乏直觀圖景的矩陣。

因此，薛定諤方程名噪一時，大家幾乎忘掉了海森堡的矩陣。這使得年輕氣盛、好勝心極強的海森堡很不以為然。即使薛定諤等人后來證明了，薛定諤方程與矩陣力學在數學上是完全等效的，海森堡仍然耿耿于懷。天才終歸是天才，不久后（1927年），海森堡便拋出了一個“不確定性原理”，震驚了物理界。

如前所述，海森堡將原子中電子的位置x（t）及動量p（t）用“表格”，也就是用矩陣來描述，但矩陣的乘法不同于一般兩個“數”的乘法。具體來說，就是不對易：x（t）×p（t）不等于p（t）×x（t）。

或簡單地寫成：xp≠px。將這種不相等的特性用它們（x和p）之差表示出來，叫作對易關系：

后來又從對易關系再進一步，可寫成如圖6-3（a）那種不等式的形式，稱之為不確定性原理。

根據海森堡的不確定性原理，對于一個微觀粒子，不可能同時精確地測量出其位置和動量。將一個值測量得越精確，另一個值的測量就會越粗略。如圖6-3（a）所示，如果位置被測量的精確度是Δx，動量被測量的精確度是Δp的話，兩個精確度之乘積將不會小于，即，這兒的是約化普朗克常數。精確度是什么意思？精確度越小，表明測量越精確。如果Δx等于0，說明位置測量是百分之百的準確。但是因為不確定原理，Δp就會變成無窮大，也就是說，測定的動量將在無窮大范圍內變化，亦即完全不能被確定。

海森堡討厭波動力學，但也想要給自己的理論配上一幅直觀的圖像，他用了一個直觀的例子來解釋不確定性原理，以回應薛定諤的波動力學。

如何測量粒子的位置？我們需要一定的實驗手段，例如，可以借助于光波。如果要想準確地測量粒子的位置，必須使用波長更短、頻率更高的光波。在圖6-3（b）中，畫出了用兩種不同頻率的光波測量粒子位置的示意圖。圖6-3（b）上面的圖中使用波長比較長的光波，幾乎探測不到粒子的存在，只有光波的波長可以與粒子的大小相比較[如圖6-3（b）的下圖所示]的時候，才能進行測量。光的波長越短，便可以將粒子的位置測量得越準確。于是，海森堡認為，要想精確測量粒子的位置，必須提高光的頻率，也就是增加光子的能量，這個能量將作用在被測量的粒子上，使其動量發生一個巨大的改變，因而，便不可能同時準確地測量粒子的動量，見圖6-3（c）。

如上所述的當時海森堡對不確定原理的解釋，是基于測量的準確度，似乎是因為測量干預了系統而造成兩者不能同時被精確測量。后來，大多數的物理學家對此持有不同的看法，認為不確定性原理是類波系統的內秉性質。微觀粒子的不確定性原理，是由其波粒二象性決定的，與測量具體過程無關。

事實上，從現代數學的觀念，位置與動量之間存在不確定性原理，是因為它們是一對共軛對偶變量，在位置空間和動量空間，動量與位置分別是彼此的傅里葉變換。因此，除了位置和動量之外，不確定關系也存在于其他成對的共軛對偶變量之間。例如，能量和時間、角動量和角度之間，都存在類似的關系。