6．萬有引力

引力是一種頗為神秘的作用力，它存在于任何具有質量的兩個物體之間。人類應該很早就認識到地球對他們自身以及他們周圍一切物體的吸引作用，但是能夠發現“任何”兩個物體之間，都具有萬有引力就不是那么容易了。這是因為引力比較起其他我們常見的作用力來說，是非常微弱的。雖然我們早就意識到地球上有重力，那是因為地球是一個質量非常巨大的天體的緣故。如果談到任何兩個物體，包括兩個人之間，都存在著的萬有引力，就不是那么明顯了。自然界中，我們常見的電荷之間的作用力，可以用簡單的實驗感知它的存在，比如我們司空見慣的摩擦生電現象：一個絕緣玻璃棒被稍微摩擦幾下，就能夠吸引一些輕小的物品；還有磁鐵對鐵質物質的吸引和排斥作用，都是很容易觀察到的現象。而根據萬有引力定律，任意兩個物體之間存在的相互吸引力的大小與它們的質量乘積成正比，與它們距離的平方成反比，其間的比例系數被稱之為引力常數G。這個常數是個很小的數值，大約為6.67×10^-11N·m²/kg²。從這個數值可以估計出兩個50kg成人之間距離1m時的萬有引力大小只有十萬分之一克！這就是為什么我們感覺不到人與人互相之間具有萬有引力的原因。

不過，巨大質量的星體產生的引力會影響它們的運動狀態，因而能夠通過天文觀測數據被測量和計算。到目前為止，難以測量到的是引力波。人類對引力本質的了解仍然知之甚少，電磁場有電磁波來傳遞信息，常見的光也是一種電磁波，它們已經算是某種抓得住、看得見、用得上的東西。可是人類卻至今仍未直接探測到任何引力波。

約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler，1571—1630）是德國天文學家。牛頓是在開普勒發現的行星三定律之基礎上總結推廣成萬有引力定律的。開普勒幼年患猩紅熱導致視力不好，曾經在一家神學院擔任數學教師，后來有幸結識天文學家第谷·布拉赫，并成了第谷的助手，從此將全部精力投入到天文學、物理學的理論研究中。

第谷進行了幾十年嚴謹的天文觀測，積累了關于太陽及其行星的大量寶貴資料。第谷去世后，把他一生的天文觀測資料留給了開普勒。開普勒用了20年時間仔細整理、研究這些資料，加上自己的理論計算，總結出了有關行星運動的三大定律：

1．行星繞太陽作橢圓運動，太陽位于橢圓的焦點上；

2．行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積；

3．行星軌道半長軸的三次方，與繞太陽轉動周期的二次方的比值對所有行星一樣。

開普勒去世后若干年，上帝派來了牛頓。關于牛頓有不少有趣的傳說，據說他大學期間在鄉下躲避瘟疫時發明了微積分；大概也是差不多的年代，家中院子里的蘋果掉下來打到腦門上而發現了萬有引力定律。這些傳言是否屬實并不重要，有時候，某些偶然事件的確能啟發科學家的靈感，使他們為作出重大貢獻邁出關鍵的一步。但是，這些偉大的發現絕不是偶然想到一蹴而就的，這背后往往有著漫長的、堅韌不拔的辛勤勞動和努力。

1726年，牛頓在去世的前一年，與他的朋友、考古學家威廉·斯蒂克利談過這段有關蘋果的故事。后來，斯蒂克利在皇家學會的手稿中寫下了一段話：

“那天我們共進晚餐，天氣和暖，我們倆來到花園，在一棵蘋果樹蔭下喝茶。他告訴我，很早前，當萬有引力的想法進入他腦海的時候，他就處于同樣的情境中。為什么蘋果總是垂直落到地上呢，他陷入了沉思。它為什么不落向其他方向呢，或是向上呢？而總是落向地心呢？”

可見“蘋果下落”的簡單事實，的確給了牛頓啟發，激發他開始了對引力的思考。蘋果往下掉，不是往上掉！這一定是因為地球在吸引它，地球不僅僅吸引蘋果，也吸引地面上的其他物體往下掉。但是，地球也應該會吸引月亮。那么，月亮又為什么不往下掉呢？這些問題困擾著年輕的牛頓。引導他去研究琢磨開普勒的三定律。

萬有引力定律是牛頓在1687年于《自然哲學的數學原理》上發表的。如果按照傳聞所說的時間，牛頓在23歲時看到蘋果下落就開始思考引力的話，其間也已經過了20余年。這些年中，大師是如何追尋解決這“引力之謎”的呢？

確立引力與距離之間的平方反比率，是探索萬有引力的關鍵一步。

追溯萬有引力的平方反比定律的發現歷史，便扯出了牛頓與胡克間的著名公案。其實胡克對萬有引力的發現及物理學的其他方面都做出了不朽的貢獻，但現在一般人除了有可能還記得中學物理中曾經學過一個“胡克定律”之外，恐怕就說不清楚這胡克是誰了。這都無可奈何，成者為王敗者寇，學術界也基本如此，免不了世俗間的糾紛^[14]。

英國物理學家羅伯特·胡克（Robert Hooke，1635—1703）比牛頓大8歲，可以算是牛頓的前輩了。兩人的爭論起源于光學。牛頓于1672年用他的“微粒說”來解釋光的色散現象，而胡克是堅持波動說的。他在皇家學會討論會上的尖銳言辭使得牛頓大怒，從此對胡克充滿敵意。胡克去世后，牛頓發表了他的宣揚微粒說的《光學》一書，這個光微粒的概念統治物理界一百多年，直到后來由于菲涅爾的工作，才重新發現胡克的波動說。

胡克對物理學有杰出的貢獻。但在當時更有勢力、更有顯赫地位的牛頓的打壓下，一生都無出頭之日。晚年更是憤世嫉俗、郁悶而死。死后墓地不詳，連照片也沒留下一張。據說牛頓還利用權勢，企圖毀掉與胡克有關的許多資料，諸如手稿和文章等，但最后被皇家學會阻止。

據說胡克和牛頓曾經以通信方式討論過萬有引力，胡克在信中提到他的許多想法，包括他從1660年就有的平方反比定律思想，但后來牛頓在其著作中刪去了所有對胡克工作的引用。

也就是在與胡克討論萬有引力的信件中，出現了那句牛頓的名言：“如果我看得遠一些，那是因為我站在了巨人的肩膀上”。據說胡克身材矮小外加駝背，因而有研究者懷疑牛頓此話是在故意借胡克的身體缺陷來挖苦諷刺他。這些事情年代久遠，后人難以琢磨牛頓當年寫這句話時的真實心態，但無論如何，牛頓這句話字面上的意思是沒錯的。

任何科學家的重大發現都是基于前人工作的基礎上，眾多科學家們的默默奉獻，造就了“巨人的肩膀”。在牛頓時代，科學界已經有了萬物之間都有引力作用的猜想。萬有引力概念及平方反比率的想法均由胡克最先（至少是獨立于牛頓）提出，但牛頓創建了強大的數學工具微積分，對開普勒定律進行計算驗證，最終用這個理論解釋了行星的橢圓軌道問題，建立了萬有引力定律。

當初也有幾個數學家懷疑過萬有引力遵循的平方反比律，其中包括大數學家歐拉。其實現在看起來，平方反比律也可算是大自然造物的秘訣之一。大自然似乎總是以一種高明而又簡略的方式來設置自然規律。符合平方反比律的自然規律有不少：靜電力和引力相仿，也遵循平方反比律；還有其他一些現象，諸如光線、輻射、聲音的傳播等，也由平方反比規律決定。為什么會是這樣？為什么剛好是平方反比、是2而非其他呢？人們逐漸認識到，這個平方反比律不是隨便任意選定的，它和我們生活在其中的空間維數“三”有關。

在各向同性的三維空間中的任何一種點信號源，其傳播都將服從平方反比定律。這是由空間的幾何性質決定的。設想在我們生活的三維歐幾里得空間中，有某種球對稱的（或者是點）輻射源。如圖1-6-2所示，其輻射可以用從點光源發出的射線表示。一個點源在一定的時間間隔內所發射出的能量是一定的。這份能量向各個方向傳播，不同時間到達不同大小的球面。當距離呈線性增加時，球面面積4πr² 卻是以平方規律增長。因此，同樣一份能量，所需要分配到的面積越來越大。比如說，假設距離為1時，場強為1；當距離變成2的時候，同樣的能量需要覆蓋原來4倍的面積，因而使強度變成了1/4，下降到原來的1/4。這個結論也就是場強的平方反比定律。

從現代的矢量分析及場論的觀點來看，在n維歐氏空間中，場強的變化應該與r^n-1成反比，當n=3，便化簡成了平方反比定律。

得出了引力應該和距離平方成反比的結論之后，牛頓又繼續思考月亮為什么不往地心掉落的問題。如果月亮也和蘋果一樣，受到的是地心的吸引力的話，蘋果下落，為何月亮不下落？又為何地球也不會掉落到太陽上呢？據牛頓自己回憶，在這個問題上惠更斯關于離心力的思想給了他啟發。他也看到孩子們經常用繩子系著小球轉圈玩，如果轉得太快了的話，繩子會被拉斷而使小球徑直向前拋出。這個現象是否與月球地球的運動有相似之處呢？地球的吸引力和月亮轉動的離心力相互平衡而維持了月亮穩定地繞地球作圓周運動。因此，重力既是使蘋果下落的力，也是維持行星和恒星之間運動的作用力。于是，牛頓又作進一步地計算。他發現，如果離心力剛好與距離成反比的話，行星必然要環繞力的中心沿橢圓軌道旋轉，并且從這中心與行星作出的連線所經過的面積與時間成正比。牛頓的三大運動定律中的第三定律是關于作用力和反作用力的，將它用到引力問題上的話，便顯然得出結論：地球吸引月亮的同時，月亮也以同樣大小、方向相反的力作用到地球上。對蘋果來說也是如此，地球吸引蘋果，蘋果也應該吸引地球，但是這個力對地球來說影響很小，那是因為地球質量太大的緣故。牛頓用他的運動第二定律，輕而易舉地想通了這個問題，由此牛頓確定了引力“作用在世間萬物”的思想。

那么，兩個物體之間的萬有引力除了與距離平方成反比之外，還與哪些物理量有關呢？牛頓很容易地想到了應該與兩個物體的質量成正比。這個想法，從地球上，質量越大的物體越重這一點便可以看出來，從天體運動的規律也可以驗證。因此，牛頓萬有引力定律最后寫成：

其中的比例系數G稱為萬有引力常數。G是多大，當時的牛頓也回答不出來，直到1798年英國物理學家卡文迪什利用著名的卡文迪什扭秤（即卡文迪什實驗），才較精確地測出了這個數值。

牛頓引力理論揭開了部分引力之謎，統治物理界兩百多年，直到愛因斯坦的廣義相對論問世。廣義相對論別開生面，將引力與時間空間的彎曲性質聯系起來。我們所熟悉的歐幾里得空間是平直而不是彎曲的。因此，在介紹廣義相對論之前，在第2章中將首先介紹這個理論的數學基礎：描述彎曲空間的黎曼幾何。