第 1 章　描述統(tǒng)計(jì)學(xué)

1.1　各種平均數(shù)　

平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的中心數(shù)值。

算術(shù)平均數(shù)

的算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式如下所示。 是變量， 是數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

下圖顯示了一年中每個(gè)月的電費(fèi)數(shù)據(jù)。我們可以通過(guò)求算術(shù)平均數(shù)來(lái)了解平均每月電費(fèi)是多少。

^{算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean）…數(shù)據(jù)總和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的結(jié)果，易受離群值的影響。又稱算術(shù)平均值。}

幾何平均數(shù)

的幾何平均數(shù)的計(jì)算公式如下所示。

幾何平均數(shù)適用于計(jì)算年增長(zhǎng)率和同比值等數(shù)值的平均數(shù)。

調(diào)和平均數(shù)

的調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式如下所示。

我們?cè)谟?jì)算移動(dòng)某段距離的平均速度時(shí)可以使用調(diào)和平均數(shù)。

^{幾何平均數(shù)（geometric mean）…用于計(jì)算增長(zhǎng)率或平均利率。幾何平均數(shù)又叫幾何平均值。}

^{調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean）…用于計(jì)算平均速度或電阻的平均數(shù)。算數(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)。}

1.2　數(shù)據(jù)的離散程度①：～分位數(shù)和方差～　

只看平均數(shù)并不能得知數(shù)據(jù)的離散程度。

因此，我們需要使用最大值、最小值、分位數(shù)、四分位距和方差（標(biāo)準(zhǔn)差）等指標(biāo)來(lái)掌握數(shù)據(jù)的離散方式。

分位數(shù)

● 將 個(gè)按從小到大的順序排列的數(shù)據(jù)分為 等份，此時(shí)處于分割點(diǎn)的數(shù)值就稱為分位數(shù)。

四分位數(shù)（）比較常用。四分位數(shù)按照數(shù)值從小到大的順序分別稱為第一四分位數(shù)、第二四分位數(shù)和第三四分位數(shù)。第二四分位數(shù)位于所有數(shù)據(jù)的中間位置，也叫中位數(shù)。

四分位距

● 四分位距是第三四分位數(shù)與第一四分位數(shù)的差。數(shù)據(jù)越向中位數(shù)集中，四分位距就越小。

偏差

偏差是數(shù)據(jù)的值與平均數(shù)的差。如果數(shù)據(jù)集中有很多偏差（絕對(duì)值）較大的數(shù)據(jù)，我們就可以說(shuō)該數(shù)據(jù)集的離散程度很大。

^{四分位數(shù)（quartile）…將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列并分成四等份時(shí)，位于各個(gè)分割點(diǎn)的數(shù)值。}

^{中位數(shù)（median）…按順序排列的一組數(shù)據(jù)中位于正中間的數(shù)。不易受離群值的影響。}

方差

偏差表示的是每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差，而方差是衡量離散程度的指標(biāo)。方差的計(jì)算公式如下頁(yè)所示。

公式右邊的第一項(xiàng)是偏差的平方和。方差的算術(shù)平方根叫作標(biāo)準(zhǔn)差（）。

離群值

大幅偏離平均數(shù)的值稱為離群值。

^{方差（variance）…用于衡量數(shù)據(jù)在平均數(shù)周圍的離散程度。方差是偏差平方和的平均數(shù)。}

^{標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）…方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差的單位與數(shù)據(jù)的單位相同，便于計(jì)算。}

1.3　數(shù)據(jù)的離散程度②：～變異系數(shù)～　

變異系數(shù)

● 用于比較兩個(gè)數(shù)據(jù)的離散程度。

變異系數(shù)的計(jì)算公式如下所示。

哪一種肉的價(jià)格變動(dòng)較大呢？

牛肉價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差更大，但二者的變異系數(shù)是一樣的。由此我們可以知道，牛肉價(jià)格和豬肉價(jià)格的離散程度相同。

^{變異系數(shù)（coefficient of variation）…標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比。用于比較單位不同的樣本之間的離散程度。}

　如何使用次數(shù)分布表來(lái)計(jì)算平均數(shù)和方差

當(dāng)數(shù)據(jù)以次數(shù)分布表（下表）的形式給出時(shí)，我們可以使用“組代表值”（組中數(shù)值的中位數(shù)）來(lái)計(jì)算平均數(shù)和方差的近似值。

　

專欄　偉人傳①

當(dāng)今的描述統(tǒng)計(jì)學(xué)是由卡爾 ? 皮爾遜發(fā)揚(yáng)光大的。1857 年，皮爾遜出生于英國(guó)倫敦的一個(gè)律師之家。他從小體弱多病。進(jìn)入大學(xué)后，潛心研究數(shù)學(xué)，畢業(yè)后又前往德國(guó)學(xué)習(xí)物理學(xué)。留學(xué)期間，皮爾遜對(duì)文學(xué)、法學(xué)和社會(huì)主義理論產(chǎn)生了興趣。據(jù)說(shuō)，他把自己的名字由 Carl 改成了 Karl，就是受到了當(dāng)時(shí)著名的經(jīng)濟(jì)學(xué)家卡爾 ? 馬克思（Karl Marx）的影響。1880 年回國(guó)后，他繼續(xù)學(xué)習(xí)法學(xué)，但不久之后又回到了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，先后在倫敦的多所大學(xué)擔(dān)任應(yīng)用數(shù)學(xué)教授。

將應(yīng)用數(shù)學(xué)家皮爾遜領(lǐng)入統(tǒng)計(jì)學(xué)世界的是他的大學(xué)同事——?jiǎng)游飳W(xué)家瓦爾特 ? 弗蘭克 ? 拉斐爾 ? 韋爾登（Walter Frank Raphael Weldon）。韋爾登受到弗朗西斯 ? 高爾頓（Francis Galton）的影響，打算利用統(tǒng)計(jì)來(lái)弄清生物演化的機(jī)制。于是他請(qǐng)擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的皮爾遜來(lái)協(xié)助研究。就這樣，皮爾遜與韋爾登一起嘗試使用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)解決遺傳和演化的問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，他們提出了許多近代統(tǒng)計(jì)學(xué)中必不可少的概念和方法。這些研究也得到了認(rèn)可。1911 年高爾頓去世，皮爾遜作為接班人，成為倫敦大學(xué)學(xué)院優(yōu)生學(xué)系的第一任教授，創(chuàng)立了世界上第一個(gè)（應(yīng)用）統(tǒng)計(jì)學(xué)系。

在皮爾遜的諸多成就中，最重要的成就是創(chuàng)建并發(fā)展運(yùn)用了卡方分布的檢驗(yàn)方法。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與本書第 7 章將要介紹的獨(dú)立性檢驗(yàn)基本相同。在擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，皮爾遜提出了將遵循卡方分布的統(tǒng)計(jì)量作為衡量觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間差異的標(biāo)準(zhǔn)〔不過(guò)，卡方分布本身是由測(cè)地學(xué)家弗里德里希 ? 羅伯特 ? 赫爾默特（Friedrich Robert Helmert）發(fā)現(xiàn)的〕。除了整理出第一張完整的統(tǒng)計(jì)表，皮爾遜還提出了一個(gè)參數(shù)估計(jì)方法——矩估計(jì)。

因費(fèi)歇爾和皮爾遜的兒子埃貢 ? 皮爾遜（Egon Pearson）等人提倡的推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)登上歷史舞臺(tái)，皮爾遜在晚年的存在感較弱，但近幾年他的著作《科學(xué)的規(guī)范》1 在世界范圍內(nèi)再次受到關(guān)注。該書是一本科學(xué)哲學(xué)書，主張“如果把科學(xué)比作語(yǔ)言，那么統(tǒng)計(jì)學(xué)就是對(duì)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)必不可少的語(yǔ)法”。據(jù)說(shuō)愛(ài)因斯坦和夏目漱石也受到了這本書的影響。

1原書名為 The Grammar of Science，中文版由商務(wù)印書館于 2012 年出版。——譯者注

1.4　變量的關(guān)聯(lián)性①：～相關(guān)系數(shù)～　

我們把兩個(gè)變量（如廣告費(fèi)和銷售額，氣溫和收成，玩游戲的時(shí)間和成績(jī)等）之間存在的“一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量也會(huì)增大”“一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量會(huì)減小”這種線性關(guān)系稱為相關(guān)。

皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)

● 表示相關(guān)程度的指標(biāo)，其值在 -1 和 1 之間。

變量 和變量 的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下所示。

越接近 1，正相關(guān)的程度就越高（一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量也會(huì)增大；一個(gè)變量減小，另一個(gè)變量也會(huì)減小），散布圖上的點(diǎn)由左下朝右上分布。

相反， 越接近 -1，負(fù)相關(guān)的程度就越高（一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量就會(huì)減小；一個(gè)變量減小，另一個(gè)變量就會(huì)增大），散布圖上的點(diǎn)由左上朝右下分布。

接近 0 表示沒(méi)有關(guān)系（不相關(guān)），散布圖上的點(diǎn)呈圓形分布。

^{相關(guān)系數(shù)（coefficient of correlation）…表示兩個(gè)變量之間的關(guān)聯(lián)（相關(guān)）程度的指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)越接近 1，正相關(guān)就越強(qiáng)；越接近 -1，負(fù)相關(guān)就越強(qiáng)；0 表示不相關(guān)。}

專欄　偉人傳②

將相關(guān)系數(shù)確定下來(lái)的人是皮爾遜，但最先想到這個(gè)概念的人是他的師父——優(yōu)生學(xué)家高爾頓。

1822 年，高爾頓出生于英國(guó)伯明翰一個(gè)富裕的銀行家庭。雖然他遵從父親的意見(jiàn)進(jìn)入醫(yī)學(xué)院學(xué)習(xí)，但后來(lái)還是去了劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。大學(xué)畢業(yè)時(shí)，高爾頓的父親過(guò)世了。自此之后，他便經(jīng)常去非洲探險(xiǎn)，接觸不同人種，這讓他走上了優(yōu)生學(xué)的道路。

1875 年，高爾頓試圖證明人類的身高與遺傳有關(guān)，進(jìn)而為優(yōu)生學(xué)提供佐證。他首先使用易于收集數(shù)據(jù)的香豌豆來(lái)調(diào)查種子的重量是否會(huì)遺傳。與預(yù)想的一樣，比較重的香豌豆種子在成長(zhǎng)后結(jié)出的種子也比較重。不過(guò)，他發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象—與父代相比，子代的重量離散程度較小。高爾頓認(rèn)為，生物的性狀之所以沒(méi)有出現(xiàn)極端變化，是因?yàn)楦鞔饾u趨向于祖先的平均類型。這種現(xiàn)象稱為“回歸”。通過(guò)在英國(guó)對(duì)大量父母和子女的身高進(jìn)行調(diào)查，高爾頓確認(rèn)該現(xiàn)象也會(huì)發(fā)生在人類身上。為了衡量父母和子女間身高的相關(guān)程度，他提出了相關(guān)系數(shù)。

高爾頓留下許多著作。他還提出了四分位距、中位數(shù)，以及預(yù)測(cè)天氣時(shí)需要用到的多元回歸分析的基本思路。另外，在使用指紋搜查罪犯方面，高爾頓也做出了貢獻(xiàn)。他是一名多產(chǎn)、多才的科學(xué)家。晚年，以和遠(yuǎn)親弗洛倫斯 ? 南丁格爾（Florence Nightingale）的一次談話為契機(jī)，他在大學(xué)設(shè)立了統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)。諸如此類，高爾頓的一生對(duì)近代統(tǒng)計(jì)學(xué)做出了巨大貢獻(xiàn)。1911 年，高爾頓病逝，享年 89 歲。

1.5　變量的關(guān)聯(lián)性②：～等級(jí)相關(guān)～　

在只能使用定序數(shù)據(jù)或者兩個(gè)變量之間非線性相關(guān)（散布圖呈曲線形狀）時(shí)，需要用到等級(jí)相關(guān)系數(shù)。

斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)

● 對(duì)定序數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)就是斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)。

如果數(shù)據(jù)是連續(xù)變量（變量值連續(xù)），要先將其轉(zhuǎn)換為定序數(shù)據(jù)。

肯德爾等級(jí)相關(guān)系數(shù)

● 肯德爾等級(jí)相關(guān)系數(shù)著眼于 的等級(jí)和 的等級(jí)是否一致，用于衡量它們的相關(guān)程度。

關(guān)于消費(fèi)者 1 的定序數(shù)據(jù) 與消費(fèi)者 2 的定序數(shù)據(jù) ，判斷如下。

①當(dāng) 且 ，或者 且 時(shí)→等級(jí)一致

②當(dāng) 且 ，或者 且 時(shí)→等級(jí)不一致

^{等級(jí)相關(guān)系數(shù)（coefficient of rank correlation）…測(cè)量?jī)蓚€(gè)定序變量之間相關(guān)程度的指標(biāo)。等級(jí)相關(guān)系數(shù)中有斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)和肯德爾等級(jí)相關(guān)系數(shù)。具體使用哪一個(gè)，沒(méi)有明確的基準(zhǔn)。}

關(guān)于 3 位消費(fèi)者的定序數(shù)據(jù)，“等級(jí)一致”時(shí)標(biāo)記為○，“等級(jí)不一致”時(shí)標(biāo)記為×。

當(dāng) ＝○ 的個(gè)數(shù)， ＝× 的個(gè)數(shù)， ＝數(shù)據(jù)對(duì)的個(gè)數(shù)（該示例中為 4）時(shí)，肯德爾等級(jí)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下所示。存在相同等級(jí)時(shí)，計(jì)算公式不同。

　關(guān)于組合數(shù)

● 將 A、B、C、D 兩兩組合，可得到 (A, B)(A, C)(A, D)(B, C)(B, D)(C, D) 這 6 種組合方式。這時(shí)，(A, B) 與(B, A) 是相同的。

● 在 A、B、C、D、E 的情況下，組合方式有 10 種，分別為 (A, B)(A, C)(A, D)(A, E)(B, C)(B, D)(B, E)(C, D)(C, E)(D, E)。

● 通常，從 個(gè)元素中取出 2 個(gè)元素的組合數(shù)可通過(guò)公式 求出。另外，從 個(gè)元素中取出 個(gè)元素的組合數(shù)的計(jì)算公式是 。〔 表示 的階乘，計(jì)算公式為 。〕

^{組合（combination）…從 個(gè)不同的元素中取出 個(gè)元素的方法。}