8.1 隨機(jī)過(guò)程及統(tǒng)計(jì)

8.1.1 均值及方差

在隨機(jī)響應(yīng)分析中，激勵(lì)信號(hào)、響應(yīng)信號(hào)都是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程指的是變量x（t）在任意具體時(shí)刻都是一個(gè)隨機(jī)數(shù)，在多次采樣過(guò)程中獲取的信號(hào)樣本如圖8-1所示。

在OptiStruct隨機(jī)響應(yīng)分析中，假定外激勵(lì)及結(jié)構(gòu)響應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程都是“平穩(wěn)”且“各態(tài)歷經(jīng)”的，即任意時(shí)刻的隨機(jī)數(shù)x（t）都具有恒定的均值μ和方差σ²。

且任意時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特征 （μ和σ²）都可等效至任意時(shí)段采樣信號(hào)的均值。

8.1.2 線性疊加性

在工程隨機(jī)振動(dòng)中，一般假定激勵(lì)或響應(yīng)信號(hào)近似滿足高斯（正態(tài)）分布。記高斯隨機(jī)過(guò)程x（t）滿足均值為μ、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯分布，即x～N（μ,σ²）。

其概率密度函數(shù)為

高斯分布具有良好的線性疊加性質(zhì)。例如，兩組獨(dú)立的隨機(jī)載荷f₁及f₂各自滿足高斯分布：

那么它們的線性組合也滿足高斯分布：

OptiStruct結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)表達(dá)式為一個(gè)線性系統(tǒng)，而高斯隨機(jī)過(guò)程的線性疊加性保證了在激勵(lì)滿足高斯隨機(jī)過(guò)程時(shí)，響應(yīng)也依然是高斯隨機(jī)過(guò)程，因此結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)具有穩(wěn)定的數(shù)值統(tǒng)計(jì)特征。

8.1.3 相關(guān)函數(shù)與功率譜

相關(guān)函數(shù)描述的是一個(gè)時(shí)間序列與另一個(gè)時(shí)間序列的相關(guān)程度。例如，正弦函數(shù)曲線沿時(shí)間軸平移一個(gè)周期以后與原函數(shù)完全相同，而平移0.5個(gè)周期后則與原函數(shù)完全相反。相關(guān)函數(shù)的數(shù)值描述的便是這一變化，它是時(shí)間延遲τ的函數(shù)。相關(guān)函數(shù)分為自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)兩類。

1）自相關(guān)函數(shù)：用于描述信號(hào)x（t）自身在發(fā)生時(shí)延后的相關(guān)性。

2）互相關(guān)函數(shù)：用于描述兩個(gè)信號(hào)x（t）與y（t）在發(fā)生時(shí)延后的相關(guān)性。

隨機(jī)信號(hào)的一個(gè)重要統(tǒng)計(jì)特性是功率譜，它是信號(hào)在頻域能量分布的統(tǒng)計(jì)曲線，與相關(guān)函數(shù)互為拉普拉斯變換對(duì)。對(duì)于時(shí)域隨機(jī)信號(hào)x（t），它的自功率譜函數(shù)S_xx（ω）即傅里葉頻譜x（ω）幅值的平方。

對(duì)式（8-8）及式（8-9）進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得到自相關(guān)函數(shù)R_xx（τ）與自功率譜S_xx（ω）滿足拉普拉斯變換對(duì)的關(guān)系，互相關(guān)函數(shù)R_xy（τ）與互功率譜S_xy（ω）也滿足拉普拉斯變換對(duì)的關(guān)系。

式中，s=jω；x（s）與y（s）表示信號(hào)的頻響曲線；表示取共軛復(fù)數(shù)對(duì)。

特別情況下，隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)僅在τ為0時(shí)為常數(shù)σ²，其余時(shí)刻均為0；相應(yīng)的隨機(jī)信號(hào)自功率譜為

對(duì)于一般的隨機(jī)激勵(lì)f₁（t）及f₂（t），它們的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜通常是不為零的，僅當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)f₁（t）及f₂（t）是相互獨(dú)立（不相關(guān)）的情況下，互相關(guān)或互功率譜才為零。

OptiStruct中的隨機(jī)激勵(lì)功率譜采用RANDPS卡片進(jìn)行定義。一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)激勵(lì)功率譜由試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)定義或由實(shí)測(cè)的時(shí)域激勵(lì)曲線通過(guò)式（8-11）及式（8-12）生成。如果隨機(jī)激勵(lì)包含多個(gè)自由度（多節(jié)點(diǎn)或多方向），那么需要定義每個(gè)自由度上的自功率譜以及所有自由度之間的互功率譜。另外，工程應(yīng)用中的頻譜及功率譜曲線一般定義在正頻率范圍，即采用單邊譜輸入方式：

在OptiStruct隨機(jī)響應(yīng)分析中，要求輸入的功率譜全部為單邊譜或全部為雙邊譜。如果功率譜輸入采用單邊譜，那么輸出的響應(yīng)為單邊譜；如果功率譜輸入為雙邊譜，那么輸出的響應(yīng)為雙邊譜。