3.2 線性屈曲分析基本理論

屈曲是除強(qiáng)度、剛度外，工程中關(guān)心的又一個(gè)重要課題。屈曲有時(shí)也叫失穩(wěn)，指結(jié)構(gòu)在載荷不再增加的情況下繼續(xù)變形而喪失穩(wěn)定性的現(xiàn)象。屈曲問題主要發(fā)生在細(xì)長(zhǎng)桿件或薄壁結(jié)構(gòu)中，比如汽車連桿和飛機(jī)蒙皮結(jié)構(gòu)的屈曲破壞。屈曲又分為線性屈曲和非線性屈曲，本節(jié)只介紹OptiStruct的線性屈曲分析功能，即不考慮加載過程中幾何剛度的變化，也不考慮載荷作用方向的改變，后續(xù)的幾何非線性分析章節(jié)會(huì)介紹非線性屈曲。

使用有限元方法求解結(jié)構(gòu)線性屈曲問題時(shí)，首先在結(jié)構(gòu)上施加一個(gè)參考載荷P_ref，然后通過線性靜力學(xué)分析得到結(jié)構(gòu)應(yīng)力，該應(yīng)力用于幾何剛度矩陣K_G的構(gòu)建，接著通過求解特征值問題得到屈曲因子，計(jì)算方程式為

式中，K是結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；λ是參考載荷的放大系數(shù)；x是與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。

如果該方程有n個(gè)自由度，那么就有n個(gè)特征值及特征向量。在工程實(shí)際中，往往關(guān)注低階的特征值，這是因?yàn)榈碗A特征值說明在較小載荷下結(jié)構(gòu)就發(fā)生了屈曲。由于只關(guān)注前幾階的特征值，可采用Lanczos方法進(jìn)行求解。在求解得到特征值后，通過下式可得到發(fā)生屈曲的臨界載荷。

式中，P_ref為參考載荷；λ_Cr為參考載荷放大系數(shù)；P_Cr為屈曲載荷。

為了進(jìn)行線性屈曲分析，需要在Bulk Data字段定義通過EIGRL卡片定義特征值提取階數(shù)。EIGRL卡片需要被SUBCASE字段的METHOD引用。另外，還需要通過SUBCASE字段的STATSUB引用靜態(tài)分析工況。

屈曲分析忽略0維單元，如MPC、RBE3和CBUSH。它們可以在線性屈曲分析中使用，但不參與幾何剛度矩陣K_G的構(gòu)建。默認(rèn)情況下，幾何剛度矩陣K_G的構(gòu)建也不考慮剛性單元的影響。如果希望考慮剛性單元的影響，可以通過設(shè)置PARAM KGRGD YES來實(shí)現(xiàn)。

另外，用戶可以通過SUBCASE字段的EXCLUDE指定幾何剛度矩陣K_G構(gòu)建時(shí)需要忽略的單元，這樣可以只對(duì)部分結(jié)構(gòu)進(jìn)行屈曲分析。EXCLUDE指定的部分只是在構(gòu)建幾何剛度矩陣時(shí)被忽略，相當(dāng)于一個(gè)帶彈性邊界條件的分析。

如果參考的靜態(tài)載荷工況使用了慣性釋放，則不能使用屈曲分析。因?yàn)樵谶@種情況下剛度矩陣是半正定的，屈曲分析會(huì)由于矩陣奇異而終止。