4.棋盤(pán)的由來(lái)

象棋（特指國(guó)際象棋）是古代流傳下來(lái)的娛樂(lè)活動(dòng)。它的歷史約有兩千年，正因?yàn)闅v史悠久，流傳于坊間的關(guān)于象棋的小故事有很多，無(wú)從考證它們的真實(shí)性。我下面要告訴大家的就是一個(gè)與象棋有關(guān)的在民間廣為流傳的故事。要搞清楚這個(gè)故事與會(huì)不會(huì)下象棋無(wú)關(guān)，大家只要知道象棋得在有64格的棋盤(pán)上玩就行了。

一

象棋的發(fā)源地是印度。就連舍拉姆皇帝剛玩象棋之際，都對(duì)玩這個(gè)游戲所應(yīng)具備的技能和變幻莫測(cè)的布局感慨不已。當(dāng)他聽(tīng)說(shuō)這項(xiàng)娛樂(lè)活動(dòng)的發(fā)明者是一個(gè)普通臣民后，就決定要賞賜這個(gè)人。

象棋的發(fā)明者塞塔被召喚到皇帝跟前，他以教書(shū)育人為生，不怎么講究衣著，但知識(shí)淵博。

“你發(fā)現(xiàn)并大力推廣的游戲有益于提升大家的智力，也非常有意思，所以我有意獎(jiǎng)賞你，我的學(xué)者塞塔。”

發(fā)明家向皇帝行了一個(gè)禮。

“我的國(guó)庫(kù)很殷實(shí)，你想要什么我都會(huì)成全你。你盡管講你想要的賞賜，我會(huì)滿足你的心愿的（圖42）。”

發(fā)明家一言不發(fā)。

“別不好意思，”皇帝安慰道，“你不妨直言相告，我會(huì)慷慨地賜給你想要的東西。”

“仁慈的陛下，請(qǐng)您允許我想想。我得好好思考一番才能告訴您，明日我會(huì)說(shuō)出我的需要。”

皇帝應(yīng)允了。

思考了一夜，天亮后發(fā)明家依約趕到了皇宮，他微不足道的請(qǐng)求讓皇帝震驚不已。

“請(qǐng)您下旨，在棋盤(pán)上的第一格給我放一粒小麥。”

“就只要一粒小麥？”皇帝不解地問(wèn)。

“正是，慷慨的陛下。請(qǐng)您下旨，在第二格擺2粒小麥，第三格放4粒小麥，第四格擱8粒，第五格16粒，第六格32粒……”

“行了！”皇帝非常生氣，怒氣沖沖地阻止發(fā)明家繼續(xù)說(shuō)下去（圖43），“我會(huì)獎(jiǎng)賞你想要的微不足道的小麥的，可是你的要求與我期望給你的賞賜太不匹配。你期望得到的獎(jiǎng)賞與我的身份、地位及財(cái)富相去甚遠(yuǎn)，你無(wú)視我的威嚴(yán)，輕視我的仁愛(ài)。你是一位教師，理應(yīng)懂得怎么對(duì)待君王及他愛(ài)民如子的情懷，你應(yīng)該在眾人面前率先垂范。你可以走了。我會(huì)下旨讓仆人將你要的麥子給你的。”

發(fā)明家滿足地笑了，走出大廳，徑直到皇宮前的門(mén)口候著自己的賞賜。

二

用午膳的時(shí)候，皇帝記起了發(fā)明了象棋的塞塔，便派人去查看那位過(guò)于草率的發(fā)明家有沒(méi)有領(lǐng)走獎(jiǎng)賞。

“仁慈的皇帝，大家正在遵您的諭旨行事。宮里的所有數(shù)學(xué)家都在算您答應(yīng)給發(fā)明家的小麥數(shù)目。”

皇帝面露不悅之色。他受不了仆人們不把自己的命令當(dāng)回事，拖拖拉拉。

夜里臨睡前，國(guó)王又想起了賞賜發(fā)明家小麥的事，便又一次過(guò)問(wèn)發(fā)明家是否已帶著自己的獎(jiǎng)賞離去。

“日理萬(wàn)機(jī)的陛下，您所厚愛(ài)的數(shù)學(xué)家們還在廢寢忘食地計(jì)算應(yīng)給發(fā)明家的麥子的數(shù)目，他們都想盡辦法以期在日出后獲得確切的結(jié)果。”跟隨皇帝的仆人回稟道。

“就這么點(diǎn)兒事，這么長(zhǎng)時(shí)間還處理不好？”皇帝怒不可遏，吼道，“天亮前，在我睡醒的時(shí)候，就一定得把小麥給發(fā)明家。我不想為這件事再下旨！”

皇帝起床后，仆人稟報(bào)，宮里的首席數(shù)學(xué)家有要事請(qǐng)示。皇帝命其進(jìn)宮（圖44）。

“我想知道，”還沒(méi)等首席數(shù)學(xué)家說(shuō)話，皇帝就急切地說(shuō)，“那個(gè)塞塔要的微不足道的賞賜給了沒(méi)有？”

“微臣正為此事才鼓起勇氣覲見(jiàn)您。”德高望重的數(shù)學(xué)家回稟皇帝，“經(jīng)宮里所有的數(shù)學(xué)家晝夜反復(fù)計(jì)算，認(rèn)真核實(shí)，那個(gè)塞塔所要的小麥數(shù)量實(shí)在是太驚人了……”

“不管有多少，”國(guó)王不等全國(guó)最聰明的數(shù)學(xué)家講完，便說(shuō)，“國(guó)庫(kù)有的是糧食。我答應(yīng)了賞賜他，你們就趕緊給他吧……”

“您的大度和慷慨令微臣敬佩，可是吾皇您無(wú)法辦到呀！拿出您所有的糧食也無(wú)法滿足塞塔的要求，王國(guó)所有的糧食也不足以給塞塔，整個(gè)地球上的糧食都不夠給塞塔。倘若您還執(zhí)意兌現(xiàn)所承諾的獎(jiǎng)賞，那您只有下旨讓全國(guó)的人開(kāi)荒種小麥，甚至填海造田，連常年積雪不化的北方也得千方百計(jì)融雪開(kāi)墾種小麥。然后您再下旨，把所有收獲的小麥送給發(fā)明家，唯有如此方可兌現(xiàn)自己的諾言。”

首席數(shù)學(xué)家的一番話驚得皇帝半晌說(shuō)不出話來(lái)。

“你們算出的數(shù)字非常龐大？那好，你說(shuō)給我聽(tīng)聽(tīng)吧。”皇帝半信半疑地說(shuō)道。

“18 446 744 073 709 551 615粒小麥（圖45）。”

三

流傳于民間的故事就是這樣的。至于是否真的發(fā)生過(guò)這樣的事我們不得而知，可是故事中皇帝愿意賞賜的小麥數(shù)量確實(shí)是這么多。小伙伴可以自己用心算算，從數(shù)字1起，以此加1、2、4、8……也就是對(duì)2求63次平方，求出的最終值便是皇帝答應(yīng)付給發(fā)明家的獎(jiǎng)賞。以此書(shū)的計(jì)算方法，是拿最后一個(gè)數(shù)與2相乘后與1求差，如此便可知道所應(yīng)付給發(fā)明家的小麥數(shù)目。換句話說(shuō)，就是要運(yùn)算2與2相乘63次的值，即：

2×2×2×2×2……（2與2相乘63次）

為了使運(yùn)算變得容易些，大家可將需相乘的64個(gè)2依照每組10個(gè)的標(biāo)準(zhǔn)，分為6組，其余的一組4個(gè)2。如此一來(lái)，我們很容易便可求出10個(gè)2連乘的結(jié)果為1024，4個(gè)2連乘為16。這意味著，我們運(yùn)算的最后值為：

1 024×1 024×1 024×1 024×1 024×1 024×16

通過(guò)計(jì)算，1 024×1 024為1 048 576。于是運(yùn)算式便可以寫(xiě)成如下的形式：

1 048 576×1 048 576×1 048 576×16

計(jì)算出最終值后減一——就會(huì)得到與前面所求相同的小麥數(shù)目，即：

18 446 744 073 709 551 615

倘若大家有興趣聯(lián)想小麥的數(shù)目到底如何驚人，不妨通過(guò)求儲(chǔ)存它的庫(kù)房的面積來(lái)了解。已知一立方米儲(chǔ)藏的小麥數(shù)目為1 500萬(wàn)粒。那么，通過(guò)我們的推算，發(fā)明家應(yīng)得的小麥所需占用的庫(kù)房面積為12 000立方千米（也就是12 000 000 000 000立方米）。

如果將庫(kù)房的高設(shè)為4米，寬是10米，推演下去的話庫(kù)房的長(zhǎng)應(yīng)為300 000 000千米——換言之，太陽(yáng)和地球間的距離僅為庫(kù)房長(zhǎng)度的（庫(kù)房長(zhǎng)為太陽(yáng)和地球間距的2倍）（圖46）。

四

很明顯，印度的皇帝即使再慷慨也兌現(xiàn)不了自己的承諾。不過(guò)他要是夠聰明的話可以找個(gè)免責(zé)的辦法，他可以提出讓發(fā)明家親自清點(diǎn)一下他自己所要求的小麥數(shù)量。

若是發(fā)明家要清點(diǎn)獎(jiǎng)賞給他的小麥數(shù)目，他就得晝夜不歇地工作，就算他以1粒/秒的速度數(shù)，一夜的工夫他最多數(shù)出86 400粒小麥（也就是俄斗，俄斗是俄國(guó)舊的度量衡，也是體積的單位。1俄斗=26.239升）。發(fā)明家10天10夜不停地清點(diǎn)才能數(shù)出100萬(wàn)粒小麥。1立方米小麥他得數(shù)上180多天，就算他夜以繼日地清點(diǎn)上10個(gè)年頭，經(jīng)他手清點(diǎn)的小麥都不足100俄?yè)?dān)（俄國(guó)舊的度量衡單位即體積單位。1俄?yè)?dān)=8俄斗）。通過(guò)以上的計(jì)算，大家應(yīng)該可以看出，就算發(fā)明家一直忙著數(shù)自己所要的小麥，那么，即使他數(shù)到自己生命的盡頭，他所清點(diǎn)的小麥數(shù)目也只不過(guò)是他應(yīng)得的微乎其微的那部分（圖47）。