48.圓柱體

【題目】現(xiàn)在有一個純鋁制作的圓柱缸和一個內(nèi)部為軟木、外部為鉛質(zhì)的圓柱缸。這兩個圓柱缸外形相同，質(zhì)量相同。現(xiàn)在它們都被紙包了起來。

那么，如何確定兩個圓柱缸哪個是哪個？

【題解】這算是一個老問題了。奧扎納姆《數(shù)理娛樂》之中就有這么一道題。不過它的提問方式不太一樣：

“現(xiàn)在假設(shè)有兩個小球，一個是純金制作的空心球，另一個是銀質(zhì)鍍金的實心球。不論大小還是重量，這兩個球均相同。那么，如何才能區(qū)別出這兩個小球？”

這個數(shù)學(xué)難題的出題人本人雖然認(rèn)為無法解決，但他又相信確實有解決的辦法：“在銅錢上開一剛好能卡緊兩個小球的孔，之后根據(jù)銀比金更易膨脹的特點，用高溫加熱兩球，即可斷定，先鉆出孔的是銀球?！?/p>

這個方法理論上沒有錯誤。然而，我們這道題是包著紙的，所以并不太適用。當(dāng)然，這道題的解法同樣利用了這個原理。

問題47的分析提供給我們一些思路，若是利用慣性力矩的不同，便可輕易將兩者區(qū)分開來：純鋁圓柱的慣性力矩和混合材料圓柱的慣性力矩并不相同，因為混合圓柱大部分質(zhì)量集中在外邊那層鉛殼上。根據(jù)這個點，讓兩個圓柱分別從斜坡上滾下，它們的平動速度會呈現(xiàn)出一定的差異。

相對于縱軸，純鋁圓柱的慣性力矩滿足以下關(guān)系：

此時再計算混合圓柱的慣性力矩K2。這個過程比較復(fù)雜，需得確定軟木和鉛兩個部分的具體組成。現(xiàn)在列舉一下三種材料的密度：

設(shè)整個圓柱體半徑r，高h(yuǎn)，軟木部分半徑x。

那么根據(jù)“兩圓柱質(zhì)量相等”條件，就有：

簡化后得：

這里不用計算x，我們需要用的是x2的值。

此時可得出軟木部分的質(zhì)量。

則鉛部分質(zhì)量為：

由此可得出兩部分的質(zhì)量占比為：軟木6%，鉛94%。

那么，混合圓柱的慣性力矩K2即為軟木慣性力矩和鉛殼慣性力矩之和。設(shè)圓柱質(zhì)量為m，則此時軟木部分的慣性力矩為：

鉛殼的慣性力矩為：

則混合圓柱的慣性力矩K1為：

和問題47中的球體問題一樣，我們可以以同樣方法得出滾動圓柱的平動運動速度：

計算得出：

此時便可得出此混合圓柱的平動運動速度。根據(jù)

可求得。

比較和可以看出混合圓柱的平動速度要比純鋁圓柱小9%，根據(jù)這一現(xiàn)象便可確定兩個圓柱到底哪個是純鋁哪個是混合。

現(xiàn)在還有一個問題，請讀者自行分析：若混合圓柱內(nèi)部為鉛外部為軟木，這樣哪種圓柱又將會率先滾到坡底？