47.兩個小球

【題目】（1）圖39展示了兩個小球，點A距離地面高度為h。現在從A點同時釋放兩個小球，一個沿著AC下滑，另一個自由落體。那么，哪個小球獲得的平移速度更大？

（2）如圖40，現在有兩個一模一樣的球，一個沿著坡面滾動，另一個沿著兩篇平行木板滾動，兩個斜面的傾角一致，垂直高度也一致。那么，哪個小球會率先到達底端？

【題解】（1）由于垂直自由落體的小球只做平移運動，另一個卻做平移和旋轉兩種運動，這個不同點會影響兩只小球的速度。那么現在就來計算一下：

設小球重力p，自由落體時其在頂端時的勢能全部轉化為重力勢能，則：

則此小球最終的速度為：

現在研究另一個沿斜ω面下滑的小球。其下滑時勢能ph將轉化為速度為v1的平移運動動能及角速度ω的旋轉運動動能。于是，等式變為：

根據力學知識，質量m、半徑r的均質小球慣性力矩K對于通過中心的中軸線來說等于，那么即可推算出平移速度為v1的此球角速度為。那么小球旋轉運動的能量為：

用mgh替換ph，則此時旋轉小球的能量守恒式變更為：

簡化后得：

那么平移速度就可以求得為：

比較后得出，

v1比v小了。也就是說，不管在過程的哪一點，也不管小球的半徑和質量，滾落的小球和從同高度自由落體的小球相比，速度都要小后者16%，而沿著坡面滾動的小球和沿著坡面下滑的小球相比，速度同樣小后者16%。

如果清楚地知道物理的發展史，人們便都知道是伽利略提出物體的落體定律。如圖41，他將一只小球放到約6m長，0.5m到1m高的坡槽之中，完成了這個定律的確立。有人可能會說他的路徑選擇可能有些問題，但是，由于這個小球在移動時加速度不會變，于是不論在這條坡槽的什么地方，它的速度都將是自由落體小球速度的0.84倍，路程和時間之間的關系除了因數不變，其他都是一致的。所以伽利略才能夠用這種方法得出正確的結論。

書中這樣說道：“我曾發現，如果把槽的長度替換，減小為原來的四分之一，那么小球滾到底所用的時間將縮短為二分之一。試驗很多次之后，我發現經過的路程比值恒是時間比的平方。”

（2）對于第二個問題，首先，兩個小球一開始的勢能是一樣的：質量相等，高度相等。然而，由于木板間的球滾動的有效半徑要比平面滾動的球有效半徑小些，導致r1＞r2。于是：

平面滾動球的勢能：

木板滾動球的勢能：

計算得出

于是：

由于在此之前得到過r1＞r2。這個結論，于是可以推算出v1＞v2。所以，平面滾動的球要先到達坡底。