3.3 基于局部變形理論計算彈性地基梁

在彈性地基梁的計算理論中，除上述局部彈性地基模型假設(shè)外，還需要作如下三個假設(shè)：

（1）地基梁在外荷載作用下產(chǎn)生變形的過程中，梁底面與地基表面始終緊密相貼，即地基的沉陷或隆起與梁的撓度處處相等；

（2）由于梁與地基間的摩擦力對計算結(jié)果影響不大，可以略去不計，因而，地基反力處處與接觸面垂直；

（3）地基梁的高跨比比較小，符合平截面假設(shè)，因而可直接應(yīng)用材料力學(xué)中有關(guān)梁的變形及內(nèi)力計算結(jié)論。

3.3.1 基礎(chǔ)梁的撓度曲線微分方程

圖3-3-1（a）表示一等截面的基礎(chǔ)梁，梁寬b=1。根據(jù)溫克爾假定，地基反力用式（3-2-1）表達。角變、位移、彎矩、剪力及荷載的正方向均如圖3-3-1所示。下面按照圖中所示情況，推導(dǎo)出基礎(chǔ)梁的撓度曲線微分方程。

圖3-3-1 彈性地基梁的受力分析

從圖3-3-1（a）所示的基礎(chǔ)梁取一微段，如圖3-3-1（b）所示，根據(jù)平衡條件∑Y=0，得

化簡后變?yōu)?/p>

再根據(jù)∑M=0，得

整理并略去二階微量，則得

由式（3-3-2）和式（3-3-4），知

若不計剪力對梁撓度的影響，則由材料力學(xué)可得

將式（3-3-6）代入式（3-3-5），并注意σ=Ky，則得

令

代入式（3-3-7），得

式中 α——梁的彈性特征系數(shù)；

K——地基的彈性壓縮系數(shù)。

式（3-3-9）就是基礎(chǔ)梁的撓度曲線微分方程。

為了便于計算，在式（3-3-9）中用變數(shù)αx代替變數(shù)x，二者有以下的關(guān)系，即

將式（3-3-10）代入式（3-3-9）中，則得

式（3-3-11）是用變數(shù)αx代替變數(shù)x的撓度曲線微分方程。按溫克爾假定計算基礎(chǔ)梁，可歸結(jié)為求解微分方程式（3-3-11）。當(dāng)y解出后，再由式（3-3-6）就可求出角變θ、彎矩M和剪力Q，將y乘以K就得地基反力。

3.3.2 撓度曲線微分方程的齊次解

式（3-3-11）是一個常系數(shù)、線性、非齊次的微分方程，它的一般解是由齊次解和特解所組成，齊次解就是式（3-3-12）的一般解，即

設(shè)式（3-3-12）的解具有以下形式，即

將式（3-3-13）代入式（3-3-12）中，則得

即

這就是微分方程式（3-3-12）的特征方程，它有兩對共軛復(fù)根，即

其中γ1與γ2共軛；γ3與γ4共軛。由此得式（3-3-12）的解為

式中，A1～A4是4個常救，可用另外4個常數(shù)C1～C4代替，使其有以下的關(guān)系，即

將以上各式代入式（3-3-17）中，則得

在式（3-3-19）中，有

式（3-3-17）或式（3-3-19）便是微分方程式（3-3-11）的齊次解。下面將基礎(chǔ)梁區(qū)分為短梁和長梁，以定出齊次解中的4個常數(shù)（通解）與附加項（特解）。這樣求得的解，就相當(dāng)于微分方程的齊次解與特解之和。

3.3.3 初參數(shù)和雙曲線三角函數(shù)的引用

圖3-3-2所示為一等截面的基礎(chǔ)梁，設(shè)左端有位移y0、角變θ0、彎矩M0和剪力Q0，它們的正方向如圖中所示。

圖3-3-2 彈性地基梁作用的初參數(shù)

根據(jù)式（3-3-6），對式（3-3-19）進行求導(dǎo)，則得

將式（3-3-21）用于梁的左端（圖3-3-2），并注意當(dāng)x=0時ch（αx）=cos（αx）=1，sh（αx）=sin（αx）=0，由此得

解出以上4式，求得

這樣，式（3-3-19）中的4個常數(shù)C1～C4用y0、θ0、M0和Q0（稱為初參數(shù)）表達，將式（3-3-23）引入式（3-3-19）中，式（3-3-19）變?yōu)?/p>

為了計算方便，引用下列符號，即

其中，叫做雙曲線三角函數(shù)，4個函數(shù)之間有以下的關(guān)系，即

將式（3-3-25）代入式（3-3-14）并按式（3-3-8）消去EI，再按式（3-3-6）逐次求導(dǎo)數(shù)，并注意式（3-3-26），則得以下各式，即

式（3-3-27）中的第一式是在微分方程式（3-3-11）的齊次解中引用了初參數(shù)和雙曲線三角函數(shù)的結(jié)果。第二、三、四式則是按照式（3-3-6）對第一式逐次求導(dǎo)的結(jié)果。

在式（3-3-27）中，有4個待定常數(shù)y0、θ0、M0和Q0，其中兩個參數(shù)可由原點端的兩個邊界條件直接求出，另外兩個待定初參數(shù)由另一端的邊界條件來確定。表3-3-1列出了實際工程中常見的支座形式及荷載作用下梁端初參數(shù)的值。

3.3.4 撓度曲線微分方程的特解

以圖3-3-2所示基礎(chǔ)梁為例，當(dāng)初參數(shù)y0、θ0、M0和Q0已知時，就可用式（3-3-27）計算荷載P以左各截面的位移y、角變θ、彎矩M和剪力Q。但是在計算荷載P右方各截面的這些量值時，還須在式（3-3-27）中增加由于荷載引起的附加項。下面將分別求出集中荷載P、力矩M和分布荷載q引起的附加項。

3.3.4.1 集中荷載P引起的附加項

在圖3-3-2中，將坐標原點移到荷載P的作用點，仍可用式（3-3-27）計算荷載P引起的右方各截面的位移、角變、彎矩及剪力。因為僅考慮P的作用，故在它的作用點處的4個初參數(shù)為

用代換式 （3-3-27）中的y0、θ0、M0和Q0，則得

式（3-3-29）即為荷載P引起的附加項，式中雙曲線三角函數(shù)φ1、φ2、φ3、φ4均有下標α（x-x1），表示這些函數(shù)隨α（x-x1）變化。當(dāng)求荷載P左邊各截面（圖3-3-2）的位移、角變、彎矩和剪力時只用式（3-3-27）即可，不需用式（3-3-29），因此，當(dāng)x<x1時式（3-3-29）不存在。

3.3.4.2 力矩M引起的附加項

和推導(dǎo)式（3-3-29）的方法相同，當(dāng)圖3-3-2所示的梁只作用著力矩M時，將坐標原點移到力矩M的作用點，此點的4個初參數(shù)為

用代換式 （3-3-27）中的y0、θ0、M0和Q0，求得力矩M引起的附加項如下：

式中φ1、φ2、φ3、φ4均有下標α（x-x2），表示這些函數(shù)隨α（x-x2）變化。當(dāng)x<x2時式（3-3-31）不存在。

3.3.4.3 分布荷載q引起的附加項

參照圖3-3-2，設(shè)所求坐標為x（x≥x4）截面的位移、角變、彎矩和剪力。將分布荷載看成是無限多個集中荷載q·du，代入式（3-3-27），得

在式（3-3-32）中，φ1、φ2、φ3、φ4隨α（x-u）變化。如視x為常數(shù)，則d（x-u）=-du?？紤]這一關(guān)系，并注意式（3-3-26），得

將以上各式代入式（3-3-31）中，再使用部分積分則得

圖3-3-3 彈性地基梁作用一段均布荷載

式（3-3-34）就是求分布荷載q的附加項的一般公式。用此式求4種不同分布荷載的附加項：梁上有一段均布荷載；梁上有一段三角形分布荷載；梁的全跨布滿均布荷載；梁的全跨布滿三角形荷載。

（1）梁上有一段均布荷載的附加項如圖3-3-3所示，梁上有一段均布荷載q0，這時q=q0，dq/du=0，代入式（3-3-34）得附加項為

（2）梁上有一段三角形分布荷載的附加項如圖3-3-3所示，梁上有一段三角形分布荷載。在x3～x4區(qū)段內(nèi)任一點的荷載集度為

將式（3-3-36）代入式（3-3-34），則得

再將式（3-3-33）代入式（3-3-37）中積分號內(nèi)，積分后則得

式（3-3-38）就是梁上有一段三角形分布荷載的附加項。

在式（3-3-35）和式（3-3-38）中，函數(shù)φ的下標有的為α（x-x4），在式（3-3-38）中第一個方括號內(nèi)還有乘數(shù)（x4-x3）。使用此二式時要注意，當(dāng)x≤x4時，圓括號內(nèi)的x4均應(yīng)換為x，即α（x-x4）改為α（x-x）、（x4-x3）改為（x-x3），這是因為求這些附加項時，只有作用在x截面以左的荷載才對x截面的位移y、角變θ、彎矩M、剪力Q起作用。

（3）梁的全跨布滿均布荷載的附加項，如圖3-3-4所示，當(dāng)均布荷載q0布滿梁的全跨時，則x3=0，并且任一截面的坐標距x永不大于x4。這樣，將式（3-3-35）中各函數(shù)φ的下標x4改為x，則有

圖3-3-4 彈性地基梁作用全跨均布荷載

由此得全跨受均布荷載的附加項為

（4）梁的全跨布滿三角形荷載的附加項，如圖3-3-4所示，當(dāng)三角形荷載布滿梁的全跨時，x3=0，任一截面的坐標距x永不大于x4。與推導(dǎo)式（3-3-40）相同，從式（3-3-38）得

式（3-3-41）就是梁的全跨布滿三角形荷載時的附加項。

在襯砌結(jié)構(gòu)的計算中，常見的荷載有均布荷載、三角形分布荷載、集中荷載和力矩荷載，見圖3-3-4。根據(jù)這幾種荷載，將以上求位移、角變、彎矩和剪力的公式綜合為

式中——附加項只當(dāng)x＞x1時才存在，其余類推。

式（3-3-42）是按溫克爾假定計算基礎(chǔ)梁的方程，在襯砌結(jié)構(gòu)計算中經(jīng)常使用。

式（3-3-42）中的位移y、角變θ、彎矩M、剪力Q與荷載的正向，如圖3-3-4所示。

一段均布荷載和一段三角形分布荷載（圖3-3-3）引起的附加項，見式（3-3-35）與式（3-3-38）。沒有將這兩個公式綜合到式（3-3-42）中去。