第二節　力對點的矩和力對軸的矩

一、力對點的矩以矢量表示——力矩矢

對于平面力系,用代數量表示力對點的矩足以概括它的全部要素。但是在空間情況下,不僅要考慮力矩的大小、轉向,而且還要注意力與矩心所組成的平面(力矩作用面)的方位。方位不同,即使力矩大小一樣,作用效果將完全不同。這三個因素可以用力矩矢MO(F)來描述。其中矢量的模即|MO(F)|=F·h=2A△OAB;矢量的方位和力矩作用面的法線方向相同;矢量的指向按右手螺旋法則來確定,如圖3-4所示。

由圖3-4易見,以r表示力作用點A的矢徑,則矢積r×F的模等于三角形OAB面積的兩倍,其方向與力矩矢一致。因此可得

上式為力對點的矩的矢積表達式,即:力對點的矩矢等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢量積。

若以矩心O為原點,作空間直角坐標系Oxyz如圖3-4所示。設力作用點A的坐標為A(x,y,z),力在三個坐標軸上的投影分別為Fx,Fy,Fz,則矢徑r和力F分別為

代入式(3-11),并采用行列式形式,得

由上式可知,單位矢量i,j,k前面的三個系數,應分別表示力矩矢MO(F)在三個坐標軸上的投影,即

由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都與矩心O的位置有關,故力矩矢的始端必須在矩心,不可任意挪動,這種矢量稱為定位矢量。

二、力對軸的矩

工程中,經常遇到剛體繞定軸轉動的情形,為了度量力對繞定軸轉動剛體的作用效果,必須了解力對軸的矩的概念。

現計算作用在斜齒輪上的力F對z軸的矩。根據合力矩定理,將力F分解為Fz與Fxy,其中分力Fz平行z軸,不能使靜止的齒輪轉動,故它對z軸之矩為零;只有垂直z軸的分力Fxy對z軸有矩,等于力Fxy對輪心C的矩[圖3-5(a)]。一般情況下,可先將空間一力F,投影到垂直于z軸的Oxy平面內,得力Fxy;再將力Fxy對平面與軸的交點O取矩[圖3-5(b)]。以符號Mz(F)表示力對z軸的矩,即

力對軸的矩的定義如下:力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉動效果的度量,是一個代數量,其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對于這個平面與該軸的交點的矩。其正負號如下確定:從z軸正端來看,若力的這個投影使物體繞該軸逆時針轉動,則取正號,反之取負號。也可按右手螺旋法則確定其正負號,如圖3-5(c)所示,拇指指向與z軸一致為正,反之為負。

力對軸的矩等于零的情形:①當力與軸相交時(此時h=0);②當力與軸平行時(此時|Fxy|=0)。這兩種情形可以合起來說:當力與軸在同一平面時,力對該軸的矩等于零。

力對軸的矩的單位為N·m。

力對軸的矩也可用解析式表示。設力F在三個坐標軸上的投影分別為Fx,Fy,Fz,力作用點A的坐標為x,y,z,如圖3-6所示。根據式(3-14),得

即

同理可得其余二式。將此三式合寫為

以上三式是計算力對軸之矩的解析式。

【例3-2】　手柄ABCE在平面Axy內,在D處作用一個力F,如圖3-7所示,它在垂直于y軸的平面內,偏離鉛直線的角度為θ,如果CD=a,桿BC平行于x軸,桿CE平行于y軸,AB和BC的長度都等于l。試求力F對x,y,z三軸的矩。

解:力F在x,y,z軸上的投影為

力作用點D的坐標為

代入式(3-9),得

本題亦可直接按力對軸之矩的定義計算。

三、力對點的矩與力對通過該點的軸的矩的關系

比較式(3-13)與式(3-15),可得

式(3-16)說明:力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影,等于力對該軸的矩。

式(3-16)建立了力對點的矩與力對軸的矩之間的關系。

如果力對通過點O的直角坐標軸x,y,z的矩是已知的,則可求得該力對點O的矩的大小和方向余弦為