第一節　空間匯交力系

一、力在空間直角坐標軸上的投影

同平面力系一樣,研究空間力系的簡化、合成及平衡問題也需將力系中各力在空間坐標軸上進行投影。通過第二章的研究得知,力在某軸上的投影等于該力矢量與該軸單位矢量之數量積,現在可將其推廣至空間力系中。

設有一力F作用于物體的O點上,如圖3-2(a)所示,現過O點作一空間坐標Oxyz,并以i,j,k分別表示Ox,Oy,Oz軸的單位矢量,若力F的方向角α,β,γ(力F與坐標軸Ox,Oy,Oz正向夾角)為已知,則可用直接投影法,根據力的投影定義,可得出該力在三個坐標軸上的投影分別為

式中:cosα,cosβ,cosγ為力F的方向余弦。

當力F的方向角不能全部得知,但已知確定F方向的其他角度時,如圖3-2(b)所示,已知力F與z軸的夾角γ和F在Oxy面上的分力Fxy與Ox軸的夾角φ,則可先將力F先投影到坐標平面Oxy面上,得到力Fxy,然后再將此力投影到x,y軸上。則力F在三個坐標軸上的投影分別為

在一些實際問題中,應用這個方法計算投影往往比較方便。這種投影法稱為二次投影法。

從上面的分析不難看出,如果力F的大小和方向是已知的,則它在選定坐標系的三個軸上的投影是確定的(坐標系不定,投影則無法確定);反過來,若已知力F在選定坐標系的三個坐標軸上的投影Fx,Fy,Fz,則力F的大小及方向也隨之唯一確定,這說明力和它在選定坐標軸上的投影具有一一對應的關系。對于正交坐標系,在已知力在各軸上投影的情況下,其力的大小為

其方向余弦為

從前面的分析還可以看出,對于正交坐標系,力在坐標軸上的投影Fx,Fy,Fz和力沿坐標軸的分量的大小是相同的,在圖3-2(a)中,顯然有

由此可得力沿坐標軸的解析式

【例3-1】　在正方體的頂點A和B處,分別作用力F1和F2,如圖3-3所示。試求此二力在x,y,z軸上的投影。

解:設正立方體的邊長為a,則

F1在三個坐標軸上的投影

F2在三個坐標軸上的投影

二、空間匯交力系的合成與平衡條件

將平面匯交力系的合成法則擴展到空間,可得:空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和,合力的作用線通過匯交點。合力矢為

或

其中,∑FRx,∑FRy,∑FRz為合力FR沿x,y,z軸的投影。由合力矩定理

由此可知合力的大小和方向余弦為

由于空間匯交力系合稱為一個合力,因此,空間匯交力系平衡的必要和充分條件為:該力系的合力等于零,即

由式(3-7)可知,為使合力FR為零,必須同時滿足

空間匯交力系平衡的必要和充分條件為:該力系中所有的力在三個坐標軸上的投影的代數和分別等于零。式(3-10)稱為空間匯交力系的平衡方程(為便于書寫,下標i可略去)。