2.3 概率極限狀態設計的概念

2.3.1 極限狀態的定義與分類

結構的極限狀態是指結構或結構的一部分超過某一特定狀態就不能滿足設計規定的某一功能要求，此特定狀態就稱為該功能的極限狀態。

根據功能要求，通常把鋼筋混凝土結構的極限狀態分為承載能力極限狀態和正常使用極限狀態兩類。

1.承載能力極限狀態

這一極限狀態對應于結構或結構構件達到最大承載力或達到不適于繼續承載的變形。

出現下列情況之一時，就認為已達到承載能力極限狀態：

（1）結構或結構的一部分喪失穩定。

（2）結構形成機動體系喪失承載能力。

（3）結構發生滑移、上浮或傾覆。

（4）構件截面因材料強度不足而破壞。

（5）結構或構件產生過大的塑性變形而不適于繼續承載。

滿足承載能力極限狀態的要求是結構設計的頭等任務，因為這關系到結構的安全，所以對承載能力極限狀態應有較高的可靠度（安全度）水平。

2.正常使用極限狀態

這一極限狀態對應于結構或構件達到影響正常使用或耐久性能的某項規定限值。

出現下列情況之一時，就認為已達到正常使用極限狀態：

（1）產生過大的變形，影響正常使用或外觀。

（2）產生過寬的裂縫，影響正常使用（滲水）或外觀；使人們心理上產生不能接受的感覺；對耐久性也有一定的影響。

（3）產生過大的振動，影響正常使用。

結構或構件達到正常使用極限狀態時，會影響正常使用功能及耐久性，但還不會造成生命財產的重大損失，所以它的可靠度水平允許比承載能力極限狀態的可靠度水平有所降低。

2.3.2 極限狀態方程、失效概率和可靠指標

2.3.2.1 極限狀態方程

結構的極限狀態可用極限狀態函數（或稱功能函數）Z來描述。設影響結構極限狀態的有n個獨立變量X_i（i=1，2，…，n），函數Z可表示為：

X_i代表了各種不同性質的荷載、混凝土和鋼筋的強度、構件的幾何尺寸、配筋數量、施工的誤差以及計算模式的不定性等因素。從概率統計理論的觀點，這些因素都不是“確定的值”而是隨機變量，具有不同的概率特性和變異性。

為敘述簡明起見，下面用最簡單的例子加以說明，即將影響極限狀態的眾多因素用荷載效應S和結構抗力R兩個變量來代表，則

顯然，當Z>0（即R>S）時，結構安全可靠；當Z<0（即R<S）時，結構就失效。當Z=0（即R=S）時，則表示結構正處于極限狀態。所以公式Z=0就稱為極限狀態方程。

2.3.2.2 失效概率

在概率極限狀態設計法中，認為結構抗力和荷載效應都不是“定值”，而是隨機變量，因此應該用概率論的方法來描述它們。

由于R、S都是隨機變量，故Z也是隨機變量。

出現Z<0的概率，也就是出現R<S的概率，稱為結構的失效概率，用p_f表示。p_f值等于圖2-1所示Z的概率密度分布曲線的陰影部分的面積。

圖2-1 Z的概率密度分布曲線及β與p_f的關系

從理論上講，用失效概率p_f來度量結構的可靠度，當然比用一個完全由工程經驗判定的安全系數K來得合理，它能比較確切地反映問題的本質。

如果假定結構抗力R和荷載效應S這兩個隨機變量均服從正態分布，它們的平均值和標準差分別為μ_R、μ_S和σ_R、σ_S，則由概率論可知，功能函數Z也服從正態分布，Z的平均值和標準差分別為μ_Z和σ_Z。

Z的正態分布的概率密度函數為：

則由圖2-1可知，失效概率p_f可由下式求得：

由式（2-7）可知，p_f計算是相當復雜的。

2.3.2.3 可靠指標

在圖2-1中，隨機變量Z的平均值μ_Z可用它的標準差σ_Z來度量，即令

不難看出，β與p_f之間存在著一一對應的關系。β小時，p_f就大；β大時，p_f就小。所以β和p_f一樣，也可作為衡量結構可靠度的一個指標，我們把β稱為可靠指標。

根據Z=R-S的函數關系，由概率論可得：

將式（2-9）代入式（2-8），可求得可靠指標：

式（2-10）與式（2-7）相比，可見可靠指標β的計算比直接求失效概率p_f來得方便。

由式（2-10）可見，可靠指標β不僅與結構抗力R和荷載效應S的平均值μ_R、μ_S有關，還與它們的標準差σ_R、σ_S有關。R和S的平均值μ_R與μ_S相差愈大，β也愈大，結構就愈可靠，這與傳統的采用定值的安全系數在概念上是一致的。當R和S的平均值μ_R、μ_S不變的情況下，它們的標準差σ_R、σ_S愈小，也就是說它們的變異性（離散程度）愈小時，β值就愈大，結構就愈可靠，這是傳統的安全系數K所無法反映的。

用概率的觀點來研究結構的可靠度，絕對可靠的結構是不存在的，但只要其失效概率很小，小到人們可以接受的程度，就可認為該結構是安全可靠的。

當結構抗力R和荷載效應S均服從正態分布時，失效概率p_f和可靠指標β的對應關系如表2-1所列。

應該知道，式（2-10）只是兩個變量的最簡單的情況。在實際工程設計中，影響結構可靠度的變量可能不下十幾個，它們有的服從正態分布，大部分卻是非正態的，在計算中要先轉化為“當量正態分布”后再投入運算，因此，可靠指標β就不能用式（2-10）那樣的簡單公式計算了，它的計算就會變得非常復雜，無法在一般設計工作中直接應用。

有關結構可靠度設計理論的進一步探討可參閱相關文獻^[2]。

2.3.2.4 目標可靠指標與結構安全級別

為使所設計的結構構件既安全可靠又經濟合理，必須確定一個大家能接受的結構允許失效概率［p_f］。要求在設計基準期內，結構的失效概率p_f不大于允許失效概率［p_f］。

當采用可靠指標β表示時，則要確定一個“目標可靠指標β_T”，要求在設計基準期內，結構的可靠指標β不小于目標可靠指標β_T。即

目標可靠指標β_T理應根據結構的重要性、破壞后果的嚴重程度以及社會經濟等條件，以優化方法綜合分析得出的。但由于大量統計資料尚不完備或根本沒有，目前只能采用“校準法”來確定目標可靠指標。

校準法的實質就是認為：由原有的設計規范所設計出來的大量結構構件反映了長期工程實踐的經驗，其可靠度水平在總體上是可以接受的，所以可以運用前述“概率極限狀態理論”（或稱為近似概率法）反算出由原有設計規范設計出的各類結構構件在不同材料和不同荷載組合下的一系列可靠指標β_i，再在分析的基礎上把這些β_i綜合成一個較為合理的目標可靠指標β_T。

承載能力極限狀態的目標可靠指標與結構的安全級別、構件的破壞性質有關。結構安全級別要求愈高，目標可靠指標就應愈大。鋼筋混凝土受壓、受剪等構件，破壞時發生的是突發性的脆性破壞，與受拉、受彎構件破壞前有明顯變形或預兆的延性破壞相比，其破壞后果要嚴重許多，因此脆性破壞的目標可靠指標應高于延性破壞。

根據校準法，我國《建筑結構可靠度設計統一標準》（GB 50068—2001）將建筑物劃分為三個安全級別，規定了它們各自的承載能力極限狀態的目標可靠指標（表2-2）。

在水利水電工程中，《水利水電工程結構可靠度設計統一標準》（GB 50199—94）也將水工建筑物的安全級別分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個級別，對于不同安全級別采用與表2-2相同的目標可靠指標。但水工中的Ⅰ級安全級別所對應的建筑物是1級水工建筑物；Ⅱ級安全級別對應的建筑物是2級、3級水工建筑物；Ⅲ級安全級別所對應的建筑物是4級、5級水工建筑物，詳細情況可查閱《水利水電工程等級劃分及洪水標準》（SL 252—2000）或《水電樞紐工程等級劃分及設計安全標準》（DL 5180—2003）。

正常使用極限狀態的目標可靠指標顯然可以比承載能力極限狀態的目標可靠指標來得低，這是因為正常使用極限狀態只關系到使用的適用性，而不涉及結構構件的安全性這一根本問題。目前，正常使用極限狀態的目標可靠指標研究得還很不成熟，在我國，只籠統地認為可取為1～2。