2.2　平衡微分方程

首先根據平衡條件，來導出應力分量與體力分量之間的關系，即平面問題的平衡方程。根據前一節的分析，取出一個微小的平行六面體PACB，平面問題的微元體如圖2-5所示。它在x和y方向的尺寸分別dx和dy，z方向取單位長度。

在彈性力學中應力分量的正負號的規定如下：如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個截面就稱為坐標面的正面，該截面上的應力分量以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負；相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個截面就稱為坐標面的負面，該截面上的應力分量以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。

應力分量σx、σy和τxy（τyx）是位置坐標x和y的函數，因此，作用于左右兩對面或上下兩對面的應力分量不完全相同，而具有微小的差量。設作用于左面PB的正應力是σx，則作用于右面AC的正應力可用泰勒級數表示為

略去二階及更高階的微量，簡化為 。

同樣，設左面的切應力是τxy，則右面的切應力是。

設上面的正應力及切應力分別為σy及τyx，則下面的正應力及切應力分別為和。

因為六面體是微小的，所以它在各面上所受的應力可以認為是均勻分布的，其合力作用在對應面的中心。同理，六面體所受的體力，也可以認為是均勻分布的，其合力作用在它的體心。

以x軸為投影軸，列出力的平衡方程∑Fx=0，即

約簡以后，兩邊除以dxdy，得

同樣，由平衡方程∑Fy=0可得一個相似的微分方程。

其次，以通過微元體中心O′并平行于z軸的直線為矩軸，列出力矩平衡方程∑MO′=0，即

將上式的兩邊除以dxdy，并合并相同的項，得到

因為dx、dy為微小量，去掉含dx、dy的項，得出

τxy=τyx　　（2-3）

式（2-1）、式（2-2）和式（2-3）即為平面問題的平衡微分方程。有一點注意，在建立力矩平衡方程時，按照小變形假定，用了微元體變形以前的尺寸，而沒有用變形以后的尺寸。