ABC猜想淺說⁽¹⁾

由前三個英文字母拼合而成的“ABC”一詞據(jù)說自13世紀起便見諸文獻了，含義為“入門”。這些年隨著英文在中國的流行，該詞在中文世界里也奪得了一席之地，出現(xiàn)在了很多圖書的書名中，大有跟中文詞“入門”一較高下之勢。不過，倘若你在數(shù)學文獻中看到一個以“ABC”命名的猜想——“ABC猜想”（ABC conjecture），千萬不要以為那是一個“入門”級別的猜想。事實上，這一猜想在公眾知名度方面或許尚處于“入門”階段，以難度和地位而論卻絕不是“入門”級別的。

在本文中，我們將對這一并非“入門”級別的猜想做一個“入門”級別的介紹。

一、什么是ABC猜想？

在介紹之前，讓我們先回憶一下中小學數(shù)學中的兩個簡單概念。其中第一個概念是素數(shù)（prime number）。我們知道，很多正整數(shù)可以分解為其他——即不同于它自己的——正整數(shù)的乘積，比如9=3×3，231=3×7×11，等等。但也有一些正整數(shù)不能這么分解，比如13，29等。這后一類正整數(shù)——1除外——就是所謂的素數(shù)。素數(shù)是一個被稱為“數(shù)論”（number theory）的數(shù)學分支中的核心概念，其地位常被比喻為物理學中的原子（atom），因為與物理學中物質(zhì)可以分解為原子相類似，數(shù)學中所有大于1的正整數(shù)都可以分解為素數(shù)的乘積（素數(shù)本身被視為是自己的分解）⁽²⁾。第二個概念則是互素（coprime）。兩個正整數(shù)如果其素數(shù)分解中不存在共同的素數(shù)，就稱為是互素的，比如21=3×7和55=5×11就是互素的⁽³⁾。

有了這兩個簡單概念，我們就可以介紹ABC猜想了。ABC猜想針對的是滿足兩個簡單條件的正整數(shù)組（A，B，C）⁽⁴⁾。其中第一個條件是A和B互素，第二個條件是A+B=C。顯然，滿足這種條件的正整數(shù)組——比如（3，8，11）、（16，17，33）……——有無窮多個（請讀者自行證明）。為了引出ABC猜想，讓我們以（3，8，11）為例，做一個“三步走”的簡單計算：

（1）將A、B、C乘起來（結(jié)果是3×8×11=264）；

（2）對乘積進行素數(shù)分解（結(jié)果是264=2³×3×11）；

（3）將素數(shù)分解中所有不同的素數(shù)乘起來（結(jié)果是2×3×11=66）。

現(xiàn)在，讓我們將A、B、C三個數(shù)字中較大的那個（即C）與步驟3的結(jié)果比較一下。我們發(fā)現(xiàn)后者大于前者（因為后者為66，前者為11）。讀者可以對上面所舉的另一個例子——即（16，17，33）——也試一下，你會發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)果。如果隨便找一些其他例子，你也很可能發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)果。

但你若因此以為這是規(guī)律，那就完全錯了，因為它不僅不是規(guī)律，而且有無窮多的反例。比如（3，125，128）就是一個反例（請讀者自行驗證）。但是，數(shù)學家們猜測，如果把步驟3的結(jié)果放大成它的一個大于1的冪，那個冪哪怕只比1大上一丁點兒（比如1.000 000 000 01），情況就有可能大不一樣。這時它雖仍未必保證能夠大于三個數(shù)字中較大的那個（即C），但反例的數(shù)目將由無窮變?yōu)橛邢蕖＿@個猜測就是所謂的ABC猜想⁽⁵⁾，它是由英國數(shù)學家麥瑟爾（David Masser）和法國數(shù)學家厄斯特勒（Joseph Oesterlé）于20世紀80年代中期彼此獨立地提出的?！癆BC”這個毫無創(chuàng)意的名字——大家可能猜到了——則是來自把猜想中涉及到的三個數(shù)字稱為A、B、C的做法，而非“入門”之意。

與數(shù)學猜想大家庭中的著名成員，如黎曼猜想（Riemann hypothesis）、哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）、孿生素數(shù)猜想（twin prime conjecture），以及（已被證明了的）曾經(jīng)的費馬猜想（Fermat conjecture）、四色猜想（four-color conjecture）等相比，ABC猜想的“資歷”是很淺的（其他那些猜想都是百歲以上的“老前輩”），公眾知名度也頗有不及，但以重要性而論，則除黎曼猜想外，上述其他幾個猜想都得退居其后。

二、ABC猜想為什么重要？

ABC猜想有一個在普通人看來并不奧妙的特點，就是將整數(shù)的加法性質(zhì)（比如A+B=C）和乘法性質(zhì)（比如素數(shù)概念——因為它是由乘法性質(zhì)所定義的）交互在了一起。不過，數(shù)學家們早就知道，由這兩種本身很簡單的性質(zhì)交互所能產(chǎn)生的復雜性是近乎無窮的。數(shù)論中許多表述極為淺顯，卻極難證明的猜想（或曾經(jīng)的猜想），比如前面提到的哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)猜想、費馬猜想等都具有這種加法性質(zhì)和乘法性質(zhì)相交互的特性。數(shù)論中一個很重要的分支——旨在研究整系數(shù)代數(shù)方程的整數(shù)解的所謂丟番圖分析（Diophantine analysis）——更是整個分支都具有這一特性。丟番圖分析的困難性是頗為出名的，著名德國數(shù)學家希爾伯特（David Hilbert）曾樂觀地希望能找到其“一攬子”的解決方案，可惜這個被稱為希爾伯特第十問題的希望后來落了空，被證明是不可能實現(xiàn)的（對這一點感興趣的讀者可參閱拙作《小樓與大師：科學殿堂的人和事》中的《希爾伯特第十問題漫談》一文）。與希爾伯特的樂觀相反，美國哥倫比亞大學（Columbia University）的數(shù)學家戈德菲爾德（Dorian Goldfeld）曾將丟番圖分析比喻為飛蠅釣（fly-fishing）——那是發(fā)源于英國貴族的一種特殊的釣魚手法，用甩出去的誘餌模擬飛蠅等昆蟲的飛行姿態(tài)，以吸引兇猛的掠食性魚類。飛蠅釣的特點是技巧高、難度大、成功率低，而且只能一條一條慢慢地釣——象征著丟番圖分析只能一個問題一個問題慢慢地啃，而無法像希爾伯特所希望的那樣“一攬子”地解決掉。

但是，與交互了加法性質(zhì)和乘法性質(zhì)的其他猜想或問題不同的是，ABC猜想這個從表述上看頗有些拖泥帶水（因為允許反例）的猜想似乎處于某種中樞地位上，它的解決將直接導致一大類其他猜想或問題的解決。拿丟番圖分析來說，戈德菲爾德就表示，假如ABC猜想能被證明，丟番圖分析將由飛蠅釣變?yōu)樽顝娏Α酥烈靶U——的炸藥捕魚，一炸就是一大片，因為ABC猜想能“將無窮多個丟番圖方程轉(zhuǎn)變?yōu)閱我粩?shù)學命題”。這其中最引人注目的“戰(zhàn)利品”將是曾作為猜想存在了300多年，一度被《吉尼斯世界紀錄》（Guinness Book of World Records）稱為“最困難數(shù)學問題”的費馬猜想。這個直到1995年才被英國數(shù)學家懷爾斯（Andrew Wiles）以超過100頁的長篇論文所解決的猜想在ABC猜想成立的前提下，將只需不到一頁的數(shù)學推理就能確立⁽⁶⁾。其他很多長期懸而未決的數(shù)學猜想或問題也將被“一鍋端”。這種與其他數(shù)學命題之間的緊密聯(lián)系是衡量一個數(shù)學命題重要性的首要“考評”指標，ABC猜想在這方面無疑能得高分——或者用戈德菲爾德的話說，是“丟番圖分析中最重要的未解決問題”，“是一種美麗”。

ABC猜想的重要性吸引了很多數(shù)學家的興趣，但它的艱深遲滯了取得進展的步伐。截至2001年，數(shù)學家們在這一猜想上取得的最好結(jié)果乃是將上述步驟3的結(jié)果放大成它的某種指數(shù)函數(shù)⁽⁷⁾。由于指數(shù)函數(shù)的大范圍增長速度遠比冪函數(shù)快得多，由它來保證其大于A、B、C三個數(shù)字中較大的那個（即C）當然要容易得多（相應地，命題本身則要弱得多）。

除上述理論結(jié)果外，自2006年起，由荷蘭萊頓大學（Leiden University）的數(shù)學系牽頭，一些數(shù)學和計算機愛好者建立了一個名為ABC@Home的分布式計算（distributed computing）系統(tǒng)，用以尋找ABC猜想所允許的反例。截至2014年4月，該系統(tǒng)已經(jīng)找到了超過2 380萬個反例，而且還在繼續(xù)增加著。不過，與這一系統(tǒng)的著名“同行”——比如尋找外星智慧生物的SETI以及計算黎曼ζ函數(shù)非平凡零點的已經(jīng)關(guān)閉了的ZetaGrid——不同的是，ABC@Home是既不可能證明，也不可能否證ABC猜想的（因為ABC猜想本就允許數(shù)量有限的反例）。從這個意義上講，ABC@Home的建立更多地只是出于對具體反例——尤其是某些極端情形下的反例，比如數(shù)值最大的反例——的好奇。當然，具體反例積累多了，是否會衍生出有關(guān)反例分布的猜想，也是不無趣味的懸念。另外，ABC猜想還有一些拓展版本，比如對某些情形下的反例數(shù)目給出具體數(shù)值的版本，ABC@Home對那種版本原則上是有否證能力的。

三、ABC猜想被證明了嗎？

如前所述，ABC猜想的公眾知名度與一些著名猜想相比是頗有不及的。不過，2012年9月初，包括《自然》（Nature）、《科學》（Science）在內(nèi)的一些重量級學術(shù)刊物，以及包括《紐約時報》（New York Times）在內(nèi)的許多著名媒體卻紛紛撰寫或轉(zhuǎn)載了有關(guān)ABC猜想的消息，使這一猜想在短時間內(nèi)著實風光了一番。促成這一風光的是日本數(shù)學家望月新一（Shinichi Mochizuki）。2012年8月底，望月新一發(fā)表了由四篇長文組成的系列論文的第四篇，宣稱證明了包括ABC猜想在內(nèi)的若干重要猜想。這一宣稱被一些媒體稱為是能與1993年懷爾斯宣稱證明了費馬猜想，以及2002年佩雷爾曼（Grigory Perelman）宣稱證明了龐加萊猜想（Poincaré conjecture）相提并論的事件。

由于這一原因，我應約撰寫本文時，約稿編輯曾希望我能找認識望月新一的華人數(shù)學家聊聊，挖出點獨家新聞來?？上也坏貌挥胸摯送辛?，因為別說是我，就連《紐約時報》等擅挖材料的重量級媒體在報道望月新一其人時，也基本沒能超出他在自己網(wǎng)站上公布的信息。

按照那些信息，望月新一1969年3月29日出生于日本東京，16歲（即1985年）進入美國普林斯頓大學（Princeton University）就讀本科，三年后進入研究生院，師從著名德國數(shù)學家、1986年菲爾茨獎（Fields Medal）得主法爾廷斯（Gerd Faltings），23歲（即1992年）獲得數(shù)學博士學位。此后，他先是“海歸”成京都大學（Kyoto University）數(shù)理解析研究所（Research Institute for Mathematical Sciences）的研究助理（Research Associate），幾個月后又前往美國哈佛大學從事了近兩年的研究，然后重返京都大學。2002年，33歲的望月新一成為了京都大學數(shù)理解析研究所的教授。望月新一的學術(shù)聲譽頗佳，曾獲得過日本學術(shù)獎章（Japan Academy Medal）等榮譽。

有關(guān)望月新一其人的信息大體就是這些，但讀者不必過于失望，因為望月新一所宣稱的對ABC猜想的證明雖引起了很大關(guān)注，離公認還頗有距離，因此目前恐怕還未到挖掘其生平的最佳時機。事實上，在ABC猜想并不漫長的歷史中，這并不是第一次有人宣稱解決了這一猜想。2007年，法國數(shù)學家施皮羅（Lucien Szpiro）就曾宣稱解決了ABC猜想。施皮羅的學術(shù)聲譽不在望月新一之下，不僅是領(lǐng)域內(nèi)的專家，其工作甚至間接促成了ABC猜想的提出。但是，人們很快就在他的證明中發(fā)現(xiàn)了漏洞。這種宣稱解決了一個重大數(shù)學猜想，隨后卻被發(fā)現(xiàn)漏洞的例子在數(shù)學史上比比皆是。因此，任何證明從宣稱到公認，必須經(jīng)過同行的嚴格檢驗。這一檢驗視證明的復雜程度而定，可長可短。不過對于望月新一的“粉絲”來說，恐怕得有長期等待的心理準備，因為望月新一那四篇論文的總長度超過了500頁，幾乎是懷爾斯證明費馬猜想的論文長度的四倍！更糟糕的是，望月新一的證明采用了他自己發(fā)展起來的數(shù)學工具，這種工具據(jù)說是對以抽象和艱深著稱的1966年菲爾茲獎得主格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）的某些代數(shù)幾何方法的推廣，除他本人外，數(shù)學界并無第二人通曉⁽⁸⁾。就連研究方向與望月新一相近的英國牛津大學（University of Oxford）的韓國數(shù)學家金明迥（Minhyong Kim）都表示，“我甚至無法對[望月新一的]證明給出一個專家概述，因為我并不理解它”，“僅僅對局勢有一個一般了解也得花費一段時間”。美國威斯康星大學（University of Wisconsin）的數(shù)學家艾倫伯格（Jordan Ellenberg）則表示閱讀望月新一的論文“仿佛是在閱讀外星人的東西”（reading something from outer space）。2006年菲爾茨獎得主、澳大利亞數(shù)學家陶哲軒（Terence Tao）也表示“現(xiàn)在對這一證明有可能正確還是錯誤做出評斷還為時過早”。

像望月新一那樣宣稱用自創(chuàng)的數(shù)學工具證明著名數(shù)學猜想的事例在數(shù)學界也是有先例的。2004年，美國普渡大學（Purdue）的數(shù)學教授德布朗基（Louisde Branges）宣稱證明了著名的黎曼猜想，他所用的也是自創(chuàng)的數(shù)學工具。不過德布朗基在數(shù)學界的聲譽和口碑均極差，加之年事已高（七旬老漢），其宣稱遭到了數(shù)學界的冷淡對待⁽⁹⁾。與之不同的是，望月新一卻不僅有良好的學術(shù)聲譽，精力和研究能力也尚處于巔峰期。用陶哲軒的話說，望月新一“與佩雷爾曼和懷爾斯類似”，“是一個多年來致力于解決重要問題，在領(lǐng)域內(nèi)享有很高聲譽的第一流數(shù)學家”。有鑒于此，數(shù)學界不僅對望月新一的證明給予了重視，對他自創(chuàng)的方法也表示了興趣，比如美國斯坦福大學（Stanford University）的數(shù)學家康拉德（Brian Conrad）就表示“激動人心之處不僅在于[ABC]猜想有可能已被解決，而且在于他[望月新一]必須引入的技巧和洞見應該是解決未來數(shù)論問題的非常有力的工具”。戈德菲爾德也認為“望月新一的證明如果成立，將是21世紀數(shù)學最驚人的成就”。

在這種興趣的驅(qū)動下，一些數(shù)學家已經(jīng)開始對望月新一的證明展開檢驗與討論，比如著名數(shù)學討論網(wǎng)站Math Overflow就已出現(xiàn)了一些有金明迥、陶哲軒等一流數(shù)學家參與的認真討論。不過，檢驗過程何時才能完成，目前還不得而知，檢驗的結(jié)果如何，更是無從預料。證明得到公認固然是很多人樂意見到的，但一個長達500多頁的證明存在漏洞也是完全可能的，當年懷爾斯對費馬猜想的“只有”100多頁的證明，其早期版本就存在過漏洞，經(jīng)過一年多的時間才得以彌補。不過，無論望月新一的證明是否成立，不少數(shù)學家對ABC猜想本身的成立倒是都抱有樂觀態(tài)度，這一方面是因為能因這一猜想的成立而得到證明的很多數(shù)學命題（比如如今被稱為費馬大定理的費馬猜想）已經(jīng)通過其他途徑得到了證明，從而表明ABC猜想的成立與數(shù)學的其他部分有很好的相容性（著名的黎曼猜想也有這樣的特點）。另一方面，ABC猜想還得到了一些啟發(fā)性觀點的支持，比如陶哲軒就從所謂的“概率啟發(fā)式理由”（probabilistic heuristic justification）出發(fā)，預期ABC猜想應該成立⁽¹⁰⁾。

當然，信心和預期取代不了證明。望月新一證明的命運將會如何？ABC猜想究竟被證明了沒有？都將有待時間來回答⁽¹¹⁾。

2012年10月14日寫于紐約

2014年10月1日最新修訂

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(1)本文是應《南方周末》約稿而寫的“ABC猜想”簡介，曾以《望月“摘月”》為標題發(fā)表于2012年10月25日（發(fā)表稿經(jīng)編輯改動，系刪節(jié)版）。本文的完整版發(fā)表于《數(shù)學文化》2014年11月刊。

(2)不僅如此，這樣的分解還可以被證明是唯一的，這被稱為算術(shù)基本定理（fundamental theorem of arithmetic）。

(3)對這一定義還有一個小小的補充，即1被定義為與所有正整數(shù)都互素。

(4)為了簡單起見，我們的介紹是針對正整數(shù)的，但ABC猜想其實也可以針對整數(shù)進行表述，兩者并無實質(zhì)差別。我們將后者留給感興趣的讀者去做。

(5)這里可以略作一點補充：步驟3的結(jié)果因不含任何素數(shù)因子的平方，被稱為A、B、C三個數(shù)字乘積的“無平方部分”（square-free part），簡記為sqp（ABC）——不過要注意的是，這一記號在某些文獻中有不同含義，與本文含義相一致的另一種記號為rad（ABC）。用這一記號，ABC猜想可以表述為“對任意給定的n>1，只有有限多組（A，B，C）滿足sqp（ABC）ⁿ<C”（當然，別忘了A和B互素及A+B=C這兩個條件）。這一表述通常見諸科普介紹，在專業(yè)文獻中ABC猜想往往被表述為“對任意給定的n>1，sqp（ABC）ⁿ/C的下界大于零”。感興趣的讀者不妨由“科普表述”出發(fā)，證明一下“專業(yè)表述”（不過要提醒讀者的是：相反方向的證明，即由“專業(yè)表述”證明“科普表述”，并不是輕而易舉的）。另外要說明的是，正文提到的所謂ABC猜想所允許的“反例”乃是“科普表述”特有的提法，意指滿足sqp（ABC）ⁿ<C的那有限多組（A，B，C），在“專業(yè)表述”中是沒有所謂“反例”的提法的。

(6)這個關(guān)于在ABC猜想成立的前提下，費馬猜想將只需“不到一頁的數(shù)學推理就能確立”（establishing in less than a page of mathematical reasoning）的不無夸張的說法出自美國數(shù)學協(xié)會（Mathematical Association of America）的出版主管、著名美國數(shù)學科普作家彼得森（Ivars Peterson）。不過，該說法雖然夸張，卻并非完全“忽悠”。為了說明這一點，并作為對如何由ABC猜想證明其他命題的演示，我們在這里介紹一個“不到一頁的數(shù)學推理”：假設(shè)費馬猜想不成立，即存在互素的（這點請讀者自行證明）正整數(shù)x、y、z使得x^k+y^k=z^k（k>2）。則由前一條注釋給出的ABC猜想的“專業(yè)表述”可知（取n=7/6）：sqp（x^ky^kz^k）^/6/z^k>ε（ε>0）。由于sqp（x^ky^kz^k）=sqp（xyz）≤xyz<z³，因此z^3.5-k>ε。顯然，對所有k≥4，只有小于（由ε決定的）某個數(shù)值的有限多個z能滿足該不等式，而且當k大于（由ε決定的）某個數(shù)值后，將不會有任何z滿足該不等式。這表明，對所有k≥4，費馬猜想的反例即便有也只能有有限多個，而且k大到一定程度后將不再有反例。因此，證明費馬猜想就變成了證明k=3的情形（這在兩百多年前就已完成），以及通過數(shù)值驗證排除總數(shù)有限的反例。這雖然并非“不到一頁的數(shù)學推理”就能確立的，比起懷爾斯的證明來畢竟是直截了當多了。倘若歷史走的是不同的路徑，費馬是在ABC猜想被證明之后才提出的費馬猜想，他那句戲劇性的“我發(fā)現(xiàn)了一個真正出色的證明，可惜頁邊太窄寫不下來”倒是不無成立之可能。

(7)具體地說，截至2001年，這方面的最好結(jié)果是exp[K·sqp（ABC）^1/3+ε]/C>1，其中K是與ε有關(guān)（但與A、B、C無關(guān)）的常數(shù)。

(8)望月新一自創(chuàng)的那種數(shù)學工具被稱為inter-universal Teichmuller theory或inter-universal geometry。他在其網(wǎng)站上則稱自己為Inter-universal Geometer。

(9)對此事感興趣的讀者可參閱拙作《黎曼猜想漫談》的第35章。

(10)陶哲軒的“概率啟發(fā)式理由”的要點是將數(shù)論命題——比如一個數(shù)是素數(shù)——視為概率性命題，并利用概率工具來猜測數(shù)學命題的成立與否。這種做法的一個例子是對強孿生素數(shù)猜想成立的猜測（參閱收錄于本書的拙作“孿生素數(shù)猜想”所介紹的有關(guān)該猜想的“簡單的定性分析”）。

(11)望月新一的證明發(fā)布至今已兩年多，這期間美國耶魯大學（Yale University）的數(shù)學系研究生季米特洛夫（Vesselin Dimitrov）及斯坦福大學（Stanford University）的數(shù)學家文卡塔斯（Akshay Venkatesh）曾寫信向他指出過一個錯誤。望月新一承認了錯誤，但表示那是一個不影響結(jié)論的小錯誤。此后，他數(shù)度更新了自己的論文，截至本文修訂之日（2014年10月1日），他更新后的四篇論文總長度超過了550頁，最近一次更新的日期則為2014年9月15日。