第四節(jié) 年金的計算

一、普通年金

1.普通年金終值

年金與復(fù)利一樣，都有終值和現(xiàn)值之分。

普通年金終值是指一定時期內(nèi)，每期期末等額收入或支出的本利和，也就是將每一期的金額，按復(fù)利換算到最后一期期末的終值，然后加總，就是該年金終值。

案例 1-5

公司E每年年末都用結(jié)余資金100萬元購買年收益率為10%的銀行理財產(chǎn)品，結(jié)余資金從未取出，滾動投資到第三年年末公司E的銀行理財賬戶中會有多少錢？

案例分析：從圖1-18中可以看到，第一年年末存入的100萬元在第三年年末的復(fù)利終值是121萬元，第二年年末存入的100萬元在第三年年末的復(fù)利終值是110萬元，第三年年末存入的100萬元在第三年年末的復(fù)利終值仍是100萬元。所以這樣一個3年期的普通年金終值是：121+110+100=331（萬元）。

圖1-18 每年存100萬元、利率10%的年金終值

普通年金終值也可以通過一個公式進行計算

式中，PMT代表年金；是復(fù)利終值系數(shù)。

普通年金終值也可以通過三種方式求得。

（1）查表

通過查附錄普通年金終值系數(shù)表，查貼現(xiàn)率為10%、期限為3年對應(yīng)的普通年金終值系數(shù)為3.31。然后將年金額100萬元乘以3.31，即可得到該普通年金終值是331萬元。

（2）使用卡西歐財務(wù)計算器

按復(fù)利計算模式鍵，依次輸入n=3，I%=10，PMT=-100，然后將光標(biāo)移動到FV，按鍵，可求得FV=331（萬元）。

在這里，仍然使用的是復(fù)利計算模式。但變量不再是n、I、PV和FV這四個變量之間的換算，而是變成了n、I、PMT和FV這四個變量的換算。其中的PMT指的就是年金額。但這里的年金計算還與期初（Begin）或期末（End）有關(guān)，并且與每年的支付次數(shù)（P/Y）和計息次數(shù)（C/Y）有關(guān)。

第一行的“Set：End”表示是期末年金。默認(rèn)狀態(tài)下是“End”。按鍵可改變?yōu)椤癇egin”。

PMT輸入的符號與FV的符號也是相反的，代表一方是投入，另一方是收取。

P/Y表示每年的收付次數(shù)。如果按揭貸款，比如每年按月還款的話，P/Y是12。

C/Y表示每年的計息次數(shù)。如果每年是按月計息，則C/Y是1。

默認(rèn)狀態(tài)下P/Y=1，C/Y=1。在例6中使用的是默認(rèn)的P/Y和C/Y，因為是按年存款，按年計息。

（3）使用Excel財務(wù)函數(shù)

打開Excel程序，找到財務(wù)函數(shù)中的FV函數(shù)，點開后分別輸入Rate=0.1，Nper=3，Pmt=-100，即可求得FV=331（萬元）。函數(shù)界面見圖1-19。

圖1-19 Excel財務(wù)函數(shù)普通年金終值求解實例（截圖）

2.普通年金額

案例 1-6

公司F在5年后有一筆1000萬元的債務(wù)需要清償，如果公司F從現(xiàn)在起每年等額將結(jié)余資金購買理財產(chǎn)品用于5年后還債，假設(shè)理財產(chǎn)品收益率10%，每年需要等額購買多少元理財產(chǎn)品？

案例分析：可以將普通年金終值計算公式轉(zhuǎn)換為

即每年需要購買163.8萬元理財產(chǎn)品，才能在5年后有1000萬元來償還債務(wù)。

以上計算通過手工太復(fù)雜，仍然可以采用前述三種方法得到結(jié)果。

（1）查表

查閱普通年金終值系數(shù)表，查找貼現(xiàn)率為10%、期限為5年對應(yīng)的普通年金終值系數(shù)是6.105。用年金終值1000除以6.105，得到年金額PMT為163.8（萬元）。

（2）使用卡西歐財務(wù)計算器

按復(fù)利計算模式鍵，依次輸入n=5，I%=10，F(xiàn)V=1000，然后將光標(biāo)移動到PMT，按鍵，可求得PMT=-163.7974808（萬元）。

（3）使用Excel財務(wù)函數(shù)

打開Excel程序，找到財務(wù)函數(shù)中的PMT函數(shù)，點開后分別輸入Rate=0.1，Nper=5，F(xiàn)v=1000，即可求得PMT=-163.7974808（萬元）。函數(shù)界面見圖1-20。

圖1-20 Excel財務(wù)函數(shù)普通年金額求解實例（截圖）

3.普通年金的現(xiàn)值

普通年金現(xiàn)值是指為在每期期末取得相等金額的款項，現(xiàn)在需要投入的金額。

案例 1-7

公司G在未來3年里每年年末都有一筆10萬元的等額債務(wù)要償還，公司G決定單獨設(shè)立一個理財賬戶用于償還這筆未來3年的債務(wù)，如果理財賬戶的年收益率為10%，公司G應(yīng)該現(xiàn)在向這個理財賬戶里投入多少資金才能保證未來3年的債務(wù)能得到清償？

案例分析：從圖1-21來看，第一年年末需要償還的債務(wù)10萬元貼現(xiàn)到當(dāng)期是100000乘以0.9091等于90910（元），第二年年末需要償還的債務(wù)10萬元貼現(xiàn)到當(dāng)期是82640元，第三年年末需要償還的債務(wù)10萬元貼現(xiàn)到當(dāng)期是75130元。將3年需要支付的房租現(xiàn)值全部加總，就可以得到普通年金的現(xiàn)值是248690元。即公司G只需要向銀行理財賬戶存入248690元即可以滿足未來3年的償債需求。

從這個例子中可以看到，利用貨幣的時間價值不需要存入300000元，只需要存入248690元即可，可節(jié)省51310元。

圖1-21 普通年金現(xiàn)值示意圖

普通年金現(xiàn)值的計算公式是

式中，普通年金現(xiàn)值系數(shù)為。

（1）查表

查閱普通年金現(xiàn)值系數(shù)表，查找貼現(xiàn)率為10%、期限為3年對應(yīng)的普通年金現(xiàn)值系數(shù)是2.487。用年金額100000乘以2.487，得到普通年金現(xiàn)值248700（元）。

（2）使用卡西歐財務(wù)計算器

按復(fù)利計算模式鍵，依次輸入n=3，I%=10，PMT=100000，然后將光標(biāo)移動到PV，按鍵，可求得PV=-248685.1991（元）。

（3）使用Excel財務(wù)函數(shù)

打開Excel程序，找到財務(wù)函數(shù)中的PV函數(shù)，點開后分別輸入Rate=0.1，Nper=3，Pmt=100000，即可求得PV=-248685.1991（元）。函數(shù)界面見圖1-22。

圖1-22 Excel財務(wù)函數(shù)普通年金現(xiàn)值求解實例（截圖）

二、預(yù)付年金

預(yù)付年金是指在每期期初收取或支付的年金，又稱即付年金或先付年金。預(yù)付年金與普通年金唯一的區(qū)別就是收付時間不一樣，普通年金是期末支付，而預(yù)付年金是期初支付。預(yù)付年金與普通年金一樣，也有現(xiàn)值和終值，見圖1-23。

圖1-23 預(yù)付年金示意圖

1.預(yù)付年金的終值

案例 1-8

公司H為員工設(shè)置了一個養(yǎng)老基金賬戶，每年年初允許員工將公司發(fā)的年終獎投到這個養(yǎng)老基金賬戶中。如果員工每年定投20000元，年均收益率是8%，那么6年后這個員工的養(yǎng)老基金賬戶中的資金能夠積累到多少元？

案例分析：預(yù)付年金的終值計算公式為

式中，是預(yù)付年金的終值系數(shù)。

（1）查表

由于沒有預(yù)付年金終值系數(shù)表，所以只能查普通年金終值系數(shù)表（常簡稱年金終值系數(shù)表，見附錄C），利用普通年金終值系數(shù)來計算預(yù)付年金終值系數(shù)。

普通年金的終值系數(shù)是。

比較一下普通年金終值系數(shù)和預(yù)付年金終值系數(shù)后，可以看出兩個系數(shù)的差異主要在于年份上。由于同樣年份的預(yù)付年金比普通年金要早存入1年，因此可多獲得1年的利息，所以預(yù)付年金的終值系數(shù)計算復(fù)利的時候是用（n+1）。預(yù)付年金的終值系數(shù)可表達為

（n年的）預(yù)付年金的終值系數(shù)=（n+1）年的普通年金終值系數(shù)-1

例1-8中應(yīng)該查7年的普通年金終值系數(shù)，查出后還要減1。查表可得7年8%的普通年金終值系數(shù)為8.923，再減去1，就得到7年的預(yù)付年金終值系數(shù)為7.923。

所以最后的計算結(jié)果為FV=20000×7.923=158460（元）。

（2）使用卡西歐財務(wù)計算器

按復(fù)利計算模式鍵，注意將“Set：End”修改為“Set：Begin”。依次輸入n=6，I%=8，PMT=-20000，然后將光標(biāo)移動到FV，按鍵，可求得FV=158456.0672（元）。

（3）使用Excel財務(wù)函數(shù)

打開Excel程序，找到財務(wù)函數(shù)中的FV函數(shù)，點開后分別輸入Rate=0.08，Nper=6，Pmt=-20000，需要注意的是在Type中輸入1，表示是預(yù)付年金，即可求得FV=158456.0672（元）。函數(shù)界面見圖1-24。

圖1-24 Excel財務(wù)函數(shù)預(yù)付年金終值求解實例（截圖）

2.預(yù)付年金的現(xiàn)值

案例 1-9

公司I擬采用分期付款的方式支付一筆貨款，期限是6年，每年年初付200萬元，設(shè)銀行利率為10%，該項分期付款相當(dāng)于一次現(xiàn)金支付的購價是多少？

案例分析：預(yù)付年金的現(xiàn)值計算公式為

式中，是預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)。

比較一下預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)和普通年金現(xiàn)值系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)的年份是（n-1），而普通年金現(xiàn)值的系數(shù)是n。預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)還可表達為

（n年）預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)=（n-1）年的普通年金現(xiàn)值系數(shù)+1

（1）查表

例1-9中查普通年金現(xiàn)值系數(shù)表，不過要查5年的，查得的年金系數(shù)還要加1。查表得5年10%普通年金現(xiàn)值系數(shù)為3.791。

最后求得的預(yù)付年金現(xiàn)值為PV=200×（3.791+1）=958（萬元）。

（2）使用卡西歐財務(wù)計算器

按復(fù)利計算模式鍵，注意將“Set：End”修改為“Set：Begin”，依次輸入n=6，I%=10，PMT=-200，然后將光標(biāo)移動到PV，按鍵，可求得PV=958.1573539（萬元）。

（3）使用Excel財務(wù)函數(shù)

打開Excel程序，找到財務(wù)函數(shù)中的PV函數(shù)，點開后分別輸入Rate=0.1，Nper=6，Pmt=-200，即可求得PV=958.1573539（萬元）。函數(shù)界面見圖1-25。

圖1-25 Excel財務(wù)函數(shù)預(yù)付年金現(xiàn)值求解實例（截圖）

三、永續(xù)年金

永續(xù)年金，顧名思義，是指永遠持續(xù)的一系列現(xiàn)金流。永續(xù)年金的現(xiàn)值有一個簡便的計算公式

PV=C/i

式中，C是永續(xù)的現(xiàn)金流。

永續(xù)現(xiàn)金流的現(xiàn)值公式可以用在股票估值中。當(dāng)一個成熟的公司能給股票投資者獲得穩(wěn)定的分紅時，就可看作一個永續(xù)現(xiàn)金流。

案例 1-10

公司J每年的優(yōu)先股分紅金額為10元/股，如果公司J一直持續(xù)運營并能維持同樣金額的分紅，假設(shè)利率為每年10%，這一優(yōu)先股的現(xiàn)值是多少？

案例分析：優(yōu)先股的分紅相當(dāng)于永續(xù)年金，可以直接用PV=10/0.1=100（元）來計算。即一個每年10元/股的永續(xù)現(xiàn)金流的現(xiàn)值為100元，也就是說公司J每股優(yōu)先股價值100元。