第二節(jié)　進制轉換

基礎知識

十進制整數(shù)轉二進制數(shù)

除二取余法：用2連續(xù)除十進制整數(shù)，直到商為0，逆序排列余數(shù)即可得到該十進制整數(shù)的二進制表示。

例如十進制數(shù)57轉為二進制數(shù)：

·57除以2得28余1

·28除以2得14余0

·14除以2得7余0

·7除以2得3余1

·3除以2得1余1

·1除以2得0余1（商為0，結束）

逆序排列余數(shù)（從下往上）得到二進制數(shù)：111001B。

十進制整數(shù)轉n進制同理，即除n取余法。

二進制數(shù)轉十進制數(shù)

按位權展開：在數(shù)制中，各位數(shù)字所表示值的大小不僅與該數(shù)字本身的大小有關，還與該數(shù)字所在的位置有關，我們稱其為數(shù)的位權，簡稱權。

對于形式化的進制表示，我們可以從0開始，對數(shù)字的各個數(shù)位進行編號，即從個位起向左依次為編號0、1、2、……；對稱地，小數(shù)點后的數(shù)位則是-1、-2、……。如下表為二進制數(shù)111001.000B的位權表示：

任意R進制數(shù)按權展開，相加即可得到十進制數(shù)，如二進制數(shù)111001B轉為十進制數(shù)：

1×2⁵+1×2⁴+1×2³+0×2²+0×2¹+1×2⁰=57

其他進制數(shù)轉十進制數(shù)同理，十進制數(shù)的位權是以10為底的冪，二進制數(shù)的位權是以2為底的冪，十六進制數(shù)的位權是以16為底的冪。數(shù)位由高向低，以降冪的方式排列。

進制快捷轉換

由于2的3次方是8，所以二進制數(shù)轉為八進制數(shù)時，可三個數(shù)為一組進行轉換，每組內位權編號重新從零開始計算。例如，二進制數(shù)111001B轉為八進制數(shù)：

(111)(001)B=(1×2²+1×2¹+1×2⁰)(0×2²+0×2¹+1×2⁰)O=71O

同理，由于2的4次方是16，二進制數(shù)轉為十六進制數(shù)時，可四個數(shù)為一組進行轉換（優(yōu)先滿足右側分組，因為最高位可以補零），如二進制數(shù)111001B轉為十六進制數(shù)：

(11)(1001)B=(1×2¹+1×2⁰)(1×2³+0×2²+0×2¹+1×2⁰)H=39H

其他進制間轉換時，若進制存在冪運算關系，則可依此方法進行快捷轉換。

十進制小數(shù)轉二進制數(shù)

乘二取整法：用2乘十進制小數(shù)，可以得到積，將積的整數(shù)部分取出，再用2乘余下的小數(shù)部分，如此循環(huán)，將每步取出的整數(shù)部分順序排列，得到小數(shù)的二進制表示。

整數(shù)部分用除二取余法得到二進制數(shù)，小數(shù)部分用乘二取整法得到二進制數(shù)。例如，十進制數(shù)32.12轉為二進制數(shù)的步驟如下。

1）整數(shù)部分為32，小數(shù)部分為0.12。

2）整數(shù)部分32除二取余得到二進制數(shù)100000。

3）小數(shù)部分：

0.12×2=0.24取整數(shù)0

0.24×2=0.48取整數(shù)0

0.48×2=0.96取整數(shù)0

0.96×2=1.92取整數(shù)1（取出后，后續(xù)運算因數(shù)變?yōu)?.92-1=0.92）

0.92×2=1.84取整數(shù)1

0.84×2=1.68取整數(shù)1

（有的小數(shù)部分乘二取整可無限運算下去，須按題目精度要求截取足夠位數(shù)。）

順序排列取出整數(shù)，得到小數(shù)部分的二進制數(shù)為.000111。

4）結合得到最終二進制小數(shù)：100000.000111。

總結：整數(shù)部分，除二取余、逆序排列；小數(shù)部分，乘二取整、順序排列。

范例精講

例1　如果256種顏色用二進制編碼來表示，至少需要（　）位。

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

【正確答案】　C

|解析|

n位無符號二進制數(shù)能夠表示的最大正數(shù)為全一（n個1），轉為十進制數(shù)為2⁰+2¹+…+2^n-1。

設x=2⁰+2¹+…+2^n-1

等式兩邊+1得到：x+1=1+2⁰+2¹+…+2^n-1

1可以看作2⁰：x+1=2⁰+2⁰+2¹+…+2^n-1

相同數(shù)的加法變?yōu)槌朔ǎ簒+1=2×2⁰+2¹+…+2^n-1

數(shù)學冪運算，底數(shù)不變指數(shù)相加：x+1=2¹+2¹+…+2^n-1

表現(xiàn)為兩個2⁰合在一起變成了2¹，接下來等號右邊可以繼續(xù)這樣合在一起。

最后x+1=2^n-1+2^n-1=2ⁿ，x=2ⁿ-1。

回到問題中，要存儲256種顏色，數(shù)值對應0～255，2ⁿ-1≥255，n至少為8。

賽題訓練

1.二進制數(shù)1011轉換成十進制數(shù)是（　）。

A. 11

B. 10

C. 13

D. 12

2.下列四個不同進制的數(shù)中，與其他三項數(shù)值上不相等的是（　）。

A. (269)₁₆

B. (617)₁₀

C. (1151)₈

D. (1001101011)₂

3.請選出以下最大的數(shù)（　）。

A. (550)₁₀

B. (777)₈

C. 210

D. (22F)₁₆

4.十進制小數(shù)13.375對應的二進制數(shù)是（　）。

A. 1101.011

B. 1011.011

C. 1101.101

D. 1010.01

5.與二進制小數(shù)0.1相等的八進制數(shù)是（　）。

A. 0.8

B. 0.4

C. 0.2

D. 0.1

6.與二進制小數(shù)0.1相等的十六進制數(shù)是（　）。

A. 0.8

B. 0.4

C. 0.2

D. 0.1

7.下面有四個數(shù)據(jù)組，每個組各有三個數(shù)據(jù)，其中第一個數(shù)據(jù)為八進制數(shù)，第二個數(shù)據(jù)為十進制數(shù)，第三個數(shù)據(jù)為十六進制數(shù)。這四個數(shù)據(jù)組中三個數(shù)據(jù)相同的是（　）。

A. 120　82　50

B. 144　100　68

C. 300　200　C8

D. 1762　1010　3F2