發生在動物園里的趣事

兔子、狗和青蛙

1

三只兔子

通過調整三只兔子和三只耳朵的位置，如何使每只兔子都有兩只耳朵？

如果看這道題時你正在德文郡的教堂里，請不要抬頭向上看！

在德文郡，很多教堂的天花板上都有中世紀的木雕，揭示出這道題的答案。事實上，在北半球的許多宗教場所都能看到三只兔子共用耳朵的形象，它們最早可以追溯到6世紀的中國。不過，規模最大的木雕群位于德文郡。在那里，耳朵彼此相連的兔子有時被稱為“錫兔”，這可能是因為幾百年前人們建造、維護教堂靠的都是來自當地錫礦的財富。

這三只兔子因其簡單的對稱性變成了一種強大而神秘的象征，表示永恒和美。它們吸引人的原因之一就是它們構成了一道簡潔雅致的趣味問題：從某個角度看，所構成的圖形是有意義的，但換個角度，就看不出有什么意義了。我們往往被那些戲弄我們感知的圖形所吸引。趣味問題之所以在本質上令人著迷，是因為它經常讓我們暈頭轉向。

2

起死回生

你可能認為這是兩條死狗，

但是再添上四筆，它們就會撒腿狂奔！

這個關于狗的趣味問題可以追溯到1849年，當時它出現在《家庭之友》（The Family Friend）的第一期上，這是一本以維多利亞時代家庭主婦為目標讀者的生活時尚雜志。在它的基礎上，人們后來又創造出多個視覺錯覺類趣味問題。你需要在圖上添加四條線，讓兩只動物起死回生。

關于兔子和狗還有更多謎題……

3

好鄰居

一位女士打開家門，她的狗走了進來，嘴里還叼著鄰居家的寵物兔子。兔子已經死了。這位女士心慌意亂地跑到隔壁道歉，鄰居卻笑著說：“別擔心，我的兔子沒有受傷。”

為什么兔子沒有受傷？

前面提到的三只神秘的兔子還會讓人對兔子在野外的行為產生興趣。由于繁殖速度驚人，兔子成了生育和再生的古老象征，代表著極其旺盛的性欲。生育能力強是它們對抗眾多虎視眈眈的獵食者的主要手段。我們可以利用數學來研究生殖問題。事實上，數學文獻中就有一個關于兔子家族成員劇增的著名問題。

產生于13世紀的《計算之書》（Liber Abaci）將阿拉伯數字引入歐洲，比薩的列奧納多（Leonardo of Pisa，他還有一個更廣為人知的名字——斐波那契）在書中提出了下面這個問題。剛開始時，我們假設只有一對兔子，它們每個月都會生育一對后代，每一對新出生的兔子在一個月后也會有生育能力，它們同樣每個月生育一對小兔子，那么12個月后一共有多少對兔子？為了省去你的計算，我可以直接告訴你每個月的兔子的總數分別是：(1)，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233和377。這是一組非常有名的數列，我們將它稱為斐波那契數列。

（我們從第一對兔子開始。在第一個月的月底，這對兔子生了一對小兔子，所以現在有2對兔子。在第二個月月底，第一對兔子再次繁殖，但第二對還沒有開始繁殖，所以總共有3對兔子。在第三個月月底，第一對和第二對兔子繁殖，但第三對還沒有開始繁殖，所以總共有5對兔子。以此類推。）

斐波那契數列成為少數幾個影響超出了數學范疇的數列之一。它有許多有趣的特性。例如，數列的每一項都是前兩項的和（1+2=3，2+3=5，3+5=8，以此類推）。這個遞歸過程描述了自然生長（包括植物和長有獠牙的哺乳動物）的數學模型，你可以發現花椰菜、羅馬花椰菜、松果、菠蘿和向日葵上的螺旋線每圈包含的結構單元數目幾乎總是一個斐波那契數，大家下次去超市的時候一定要驗證一下。

斐波那契發現了純數學有趣的一面。但他提出的這個問題能反映現實世界嗎？換句話說，他建立的這個模型能精準地模擬兔子的繁殖行為嗎？

值得稱贊的是，斐波那契對兔子的妊娠期的計算是正確的。兔子懷孕的確需要一個月，并且生育之后很快就可以再次懷孕。可憐的小東西。所以，從理論上講，一只母兔一年可以產12窩幼崽。但是，兔子的生育速度會逐漸變慢，6個月后，幼崽的數量會變多，平均每胎有6只。有了這些動物學數據，我們可以修改史上有名的斐波那契兔子問題了。

4

“兔”丁興旺的家庭

如果兔子出生6個月后就能受孕，一旦受孕，每個月就會產下一窩共6只小兔，其中3只母兔。

若兔子的壽命是7年，一只母兔一生共有多少個后代？

當然，僅有這些細節是遠遠不夠的。在野外，兔子的壽命只有一年左右。幾年后，母兔的繁殖力就會下降。可用空間和食物等環境因素也會限制兔子的生長速度。但這個問題可以得出兔子繁殖力潛在上限的理論估計值，通過科學分析告訴我們像兔子一樣的繁殖能力到底意味著什么。

這一題，只要你能列出算式，我就給你打滿分。要得到確切的答案，你可能需要使用計算機。如果你的計算機技術不是很強（也不是Excel電子表格高手），就直接看后面的答案吧。但在這之前，你可以先試著估計一下答案是多少。如果你的答案與正確答案相差的倍數在100倍之內，也就是說，在正確答案的1/100和100倍之間，你就可以獎勵自己一頓芥末烤兔，再來一瓶夏布利葡萄酒。正確答案肯定會讓你大吃一驚！

下一道題也是關于兔子（rabbit）的。不對，我是說青蛙（ribbit）。

5

青蛙跳

池塘上，10片荷葉排成一條直線。一只青蛙趴在最左邊的荷葉上。

青蛙每次只能跳到旁邊的荷葉上，或者越過旁邊的荷葉，跳到下一片荷葉上。

如果青蛙從不后退，它可以通過多少種不同的方式跳到最右邊的荷葉上？

我們一起來跳一跳，從一種以跳躍聞名的動物，跳到一種以背部駝峰而聞名的動物身上。

在趣味問題世界中，駱駝以兩件事而聞名。

首先，它是一個關于谷物運輸的中世紀趣味問題的主角，并且有非常出色的表現。其次，它還出現在一個關于家庭糾紛的傳統趣味問題中。（我先介紹第一個，稍后再討論第二個。）

所謂谷物運輸問題，概括起來就是：駱駝走得越遠，它吃掉的谷物就越多，讓駱駝把谷物從A地運送到B地的最佳策略是什么呢？公元8世紀，這類問題首次出現在奠定現代趣味問題基礎的著作——阿爾昆（Alcuin of York）的《青少年趣味智力問題》（Propositiones ad Acuendos Juvenes）一書中。在隨后的幾百年里，人們提出了一些與之類似的問題，探討在沙丘上穿行的商隊應該如何考慮行程與食物（或者飲水）的關系。

6

穿越沙漠

4個貝都因人站在沙漠的邊緣，每人手里牽著一頭駱駝。他們要把一個重要的包裹送到沙漠中央的營地，駱駝走到那里需要4天。駱駝只能馱5天的飲用水。假設這些貝都因人互相協作，而且在沙漠中轉讓飲水時不會因為灑出或蒸發而導致水量減少，那么在飲水只夠供應20天的情況下，如何才能讓其中一人把包裹送達營地并讓所有人最后都回到出發位置呢？

阿爾昆的駱駝問題巧妙地說明了趣味問題也可以發展成一個嚴肅的數學研究領域。在20世紀，吃谷物的駱駝被升級為喝汽油的機器。“吉普車問題”就是這樣一類問題：每次只能攜帶有限數量的汽油，但可以將汽油放到存放點，然后返回補充汽油，要求找出最佳行駛方案，以完成最遠的行駛距離。這個問題顯然在探險和戰爭中有實際應用價值。事實上，對這個問題的第一次詳細分析就是在美國陸軍航空部隊資助下于1946年完成的。如果你的探險任務需要自己攜帶油料（比如你要穿越南極、飛越敵方領土，或者探索太陽系的新區域），就必須解決這類后勤問題。

7

拯救羚羊

你是一名在撒哈拉沙漠工作的獸醫。你聽說在距離你的診所400英里的地方有一只瀕臨滅絕的羚羊摔斷了腿，于是決定駕駛吉普車去拯救它。吉普車的具體特性如下：

每加侖汽油可以行駛100英里。

油箱的最大容量是1加侖汽油。

除了油箱外，吉普車還可攜帶4個1加侖汽油罐。

你和羚羊受傷地點之間沒有加油站，所以在距離非常遠的時候，你需要在途中投放油罐，等到需要時再回來取。投放的油罐必須裝滿汽油。返回基地補充汽油的次數不受限制。

請問，如果只使用14加侖汽油，如何將羚羊帶回診所？

對吉普車問題的研究得出了一個驚人的結果，即使用數學方法證明了這個結果的準確無誤，我也不敢完全相信。如果一個加油站可以無限量供應汽油，那么即使你的吉普車油箱的容量有限，即使你只能從該加油站加油，你也可以想跑多遠，就跑多遠。換句話說，理論上，即使只能使用從倫敦攜帶的汽油，你也可以開著一輛菲亞特烏諾環游世界。就像上面的問題一樣，你也需要多次往返，在途中投放汽油，以備后用。假設在加滿油的情況下你可以行駛n英里，那么在不投放汽油的情況下你就可以行駛n英里。如果投放一次汽油，你可以到達的距離為n(1+1/3)；投放兩次，你可以到達的距離為n(1+1/3+1/5)；投放次數越多，你能到達的距離就越遠，但每次增加的距離會越來越小。因為1+1/3+1/5+1/7+…是一個發散級數，也就是說，隨著項的數量不斷增加，它可以超過任何有限的值，所以吉普車可以到達的距離也是無限的。

另一個關于駱駝的經典問題與三個爭遺產的孩子有關。因為駱駝的歸屬權，三個孩子鬧得不可開交。下面這個趣味問題可以追溯到19世紀。近年來，它被改編成一個寓言，講述一個看似難以解決的問題是如何因為一個很隨意的慷慨行為而順利得到解決的。

一個人快要死了，他的遺愿是把他的17頭駱駝分給他的3個孩子，老大分1/2，老二分1/3，老三分1/9。孩子們無法決定每人應該分幾頭駱駝，因為算術告訴他們，17不可能被2、3或9整除。（在解決這個問題的過程中，不得傷害駱駝。）

為了解決爭端，孩子們找到了一位聰明的老太太，向她說明了情況。令他們吃驚的是，老太太認真地聽完之后，把自己的駱駝牽來送給了他們。

她說：“現在你們有18頭駱駝，可以照著你們父親的遺愿去分這些駱駝了。”

于是，老大牽走了1/2，也就是9頭駱駝；老二牽走了1/3，也就是6頭駱駝；老三牽走了1/9，也就是2頭駱駝。然而，9頭駱駝+6頭駱駝+2頭駱駝=17頭駱駝。換句話說，還剩下1頭駱駝。“我要牽回我的駱駝了，謝謝。”老太太說完，牽著她的駱駝走了。

我在這里介紹這個問題，是要解釋一個看似自相矛盾的現象：一組物品本來不能被分為1/2、1/3和1/9，但是在數量加1之后，就可以按這些比例劃分了，而且添加的那個物品最后還被退還了。（我將在答案部分解釋背后的道理。）

那個聰明的老太太以和平的方式解決了兄弟之間的爭端，為這個寓言故事增添了幾分魅力，在這個故事中，第18只駱駝代表了破局新思路。

后來，這位老太太又對另一個陷入同樣困境的家庭伸出了援助之手。

8

13頭駱駝

一個人給他的三個孩子留下了13頭駱駝，并要求他們按以下的比例劃分：老大分1/2，老二分1/3，老三分1/4。孩子們無法決定該怎么分，因為在不傷害駱駝的情況下，13頭駱駝不可能被2、3或4整除。

他們請一位聰明的老太太來幫助他們解決爭端。她會怎么做呢？

駱駝和馬是歷史上最受歡迎的兩種騎乘動物。你有沒有想過哪個更快，哪個慢一些呢？

9

駱駝和馬

卡邁勒有一頭駱駝，賀拉斯有一匹馬。這兩位好朋友因為哪個跑得慢的問題發生了爭執，于是他們決定沿著一英里的跑道進行一次比賽，最后到達終點的一方獲勝。他們分別騎上自己的駱駝和馬。但是，不出意料的是，他們都不愿意率先出發，因為先出發就有可能先跑到終點。過了一個小時，艾達走了過來，問他們在干什么。這兩個人從鞍具上跳下來，跟她解釋了一番。艾達只說了一句話，然后這兩個人就迅速跑過去，跳到駱駝和馬的背上，以最快的速度沖向了終點。

艾達的建議是什么？

在下面這個動物類趣味問題中，也有兩個朋友在一條直道上高速騎行。

10

折返的蒼蠅

兩個人騎著自行車，沿著一條筆直的道路相向而行。在他們相距20英里時，一只蒼蠅從第一個人的鼻子上起飛，沿直線飛向另一個人的鼻子。飛到這個人的鼻子后，它立即掉轉方向，返回第一個人。隨著兩個人越來越近，這只蒼蠅一直在他們的鼻子之間來回飛行。

如果兩個人的騎行速度一直保持在每小時10英里，而蒼蠅的速度一直保持在每小時15英里，那么當兩個人相遇時，蒼蠅飛了多遠？

要解決這個問題，有一個笨辦法，也有一個簡便的辦法。笨辦法是計算蒼蠅在碰到第二個人的鼻子之前飛了多遠，然后計算它在飛回到第一個人的鼻子之前飛了多遠，以此類推，最后把一系列不斷減小的距離加起來。

我把簡便的辦法留給各位讀者自己去想。

這個問題之所以成為數學界的著名傳說，是因為20世紀最偉大的科學家之一、美籍匈牙利裔約翰·馮·諾伊曼的一段經歷。馮·諾伊曼在經濟學、計算機科學和物理學方面取得了很多重要進展。

在一個朋友告訴他這個趣味問題后，馮·諾伊曼很快通過心算得出了答案。

“看來你發現了其中的訣竅。”他的朋友說。

“沒有啊。”馮·諾依曼回答說，“我是直接對那些距離求和的。”

天才有時也會有點兒笨。

下一個趣味問題也與昆蟲的一維運動有關。和上一個問題一樣，這個問題看起來也很難，但只要我們發現竅門，它就會迎刃而解。

11

棍子上的螞蟻

如下頁圖所示，6只螞蟻沿著一根1米長的棍子爬行。艾姬、博佐、達斯和埃茲拉從左向右爬行，卡洛斯和弗雷亞從右向左爬行。所有螞蟻一直保持每秒1厘米的速度。兩只螞蟻相遇后，就會各自掉頭，朝相反的方向爬行。如果螞蟻爬到棍子的邊緣，就會掉下去。

它們的起始位置距離棍子左端距離分別為：艾姬，0厘米；博佐，20厘米；達斯，38.5厘米；埃茲拉，65.4厘米；弗雷亞，90.8厘米。我們不知道卡洛斯的位置，但我們知道它的起始位置在博佐和達斯之間。

哪只螞蟻最后從棍子上掉下來？它在掉下來之前爬行了多長時間？

現在，我們來看一個有關皮筋的趣味問題。眾所周知，皮筋可以拉長。和前面的問題一樣，在這個問題中，也有一個無脊椎動物從一根很長的材料的一端爬向另一端。

12

皮筋上的蝸牛

如下頁圖所示，一只蝸牛趴在一根1千米長的皮筋的一端，以每秒1厘米的恒定速度爬向另一端。每過一秒，皮筋就會被拉長1千米。換句話說，蝸牛爬行1厘米后，皮筋的長度變為2千米；爬行2厘米后，皮筋的長度變為3千米，以此類推。

請證明蝸牛最終可以到達皮筋的另一端。

蝸牛面對著一項艱巨的任務，而且每過1秒，它的沮喪程度就會有所增加。如果它以每秒1厘米的速度移動，而皮筋以每秒1千米的速度拉伸，我們的第一反應是蝸牛肯定會離目標越來越遠，而不是越來越近。然而，蝸牛最終確實會抵達終點，這就是這個問題最吸引人的地方。（我們需要假設皮筋是均勻地拉伸，而且蝸牛永遠不會死亡。）

為什么蝸牛最終會完成這看不到盡頭的爬行呢？我們從它與皮筋左端的距離入手，考慮其中的原因。（這是一只數學上的蝸牛，所以我們可以把它看成從皮筋最左端開始運動的一個點。）1秒鐘后，蝸牛到達距離左端1厘米的點，這個點在皮筋拉伸后距離左端將變成2厘米，因為將皮筋從1千米均勻拉長到2千米，會使任意兩點之間的距離加倍。再過1秒鐘，蝸牛到達距離左端3厘米的點，拉伸之后變成4.5厘米，因為將皮筋從2千米拉伸到3千米，就相當于將任意兩點之間的距離乘以3/2倍。換句話說，皮筋的拉伸會讓蝸牛向前移動，并且每秒鐘移動的距離會越來越長。這給了我們一些希望，也許它能夠爬完不斷變長的皮筋吧。

我之所以把蝸牛問題介紹給大家，是因為它的結果令人吃驚。完整的證明需要用到一些知識，這些知識雖然對數學家來說非常熟悉，但不是所有人都能掌握的。不過，敏銳的讀者會注意到，這個結果可以根據本書前面幾頁的內容推斷出來。

接下來，我們來看幾個完全不需要專業數學知識的趣味問題。

13

讓動物變換方向的妙招

請移動一根火柴棍，讓馬改變前進的方向。

這條狗面朝左邊。你能只移動兩根火柴，就讓它面朝右邊，同時讓它的尾巴仍朝上嗎？

圖中的藍莓表示這條魚的眼睛。你能只移動藍莓和三根火柴，讓魚朝向相反的方向嗎？

14

將爬蟲拒之“床”外

你的臥室里有很多爬蟲，它們可以沿任何固體的表面爬行，但不會游泳。

你不希望這些討厭的蟲子爬到你的床上。要阻止它們從地面爬上床很容易：只要把床的4條腿分別放在一桶水里就可以了。

但是，怎樣防止它們爬到天花板上，然后掉到你的床上呢？下圖所示的檐溝是不會起作用的，因為爬蟲可能會掉到檐溝的邊上，然后到處爬，最后掉到床上。

什么樣的構造能將這些爬蟲拒之“床”外呢？

在床的上方懸掛頂罩或蚊帳都不能解決問題，因為這些小蟲會到處爬，很可能會從頂罩或蚊帳下面鉆過去，然后爬上床。即使你想辦法將頂罩連接到地板上并密封，你上床時也需要打開它，這些蟲子就會乘機爬進去。

下一個趣味問題有點兒像情景喜劇，但它也包含了一些數學的精髓。日常語言中有大量的歧義和假定的知識，而數學表述則非常精確。這個趣味問題的難點在于將數學的嚴謹性運用到非數學的語句中，以達到喜劇效果。讓你內心的學究氣自由發揮吧！

15

沉默的鸚鵡

一家寵物店的老板從不說謊，而且說話非常準確。一位顧客請他介紹柜臺上籠子里的一只鸚鵡。“這只鸚鵡非常聰明，”他回答說，“它會重復它聽到的每一個字。”于是，顧客買了這只鸚鵡。但幾天之后，這位顧客再次來到寵物店。他說：“氣死我了！我和這只鸚鵡說了好幾個小時的話，可這只笨鳥連一個字都沒有說！”

既然寵物店老板沒有撒謊，這是為什么呢？

我免費提供一個答案：這只鸚鵡可能已經死了。這是一個蒙提派森式的答案，非常簡單。但是應該至少還有4個原因來解釋鸚鵡為什么一聲不吭，你能想出來嗎？你的原因可以牽強附會，但不能與店主的話矛盾。

到目前為止，我們已經討論了與哺乳動物、節肢動物、魚類、兩棲動物和鳥類有關的趣味問題，只剩下最后一類動物了。

16

變色龍，變！變！變！

在一個島上，有一群變色龍，其中目前是綠色、藍色和紅色的變色龍分別有13條、15條和17條。兩種不同顏色的變色龍相遇時，就會一起變成第三種顏色。請問，這群變色龍最終是否有可能都變成相同的顏色？

亞歷山大的赫倫（Heron of Alexandria）生活在公元前1世紀，是一位非常重要的數學家。因為他的名字與一種普通的動物（heron，蒼鷺）相同，在這一章提到他是完全合理的。赫倫發明了許多超前的精巧裝置，包括自動售貨機、機械木偶劇場和蒸汽機。他還發現了一條定理，為很多精彩的趣味問題奠定了基礎。在這里，我將借助兩棟房屋和一條道路，把這條定理介紹給大家。該定理稱，下圖標記的路徑是經過道路上某一點從A到B的最短路徑，其中B'是B以道路為鏡面的鏡像。A與B'之間的連線是直線，所以它顯然是從A到B'的最短路徑，其長度與從A經該道路到達B的路徑相等。掌握了這條定理之后，我們就可以解決下面這個趣味問題了。這是一個關于動物選擇最佳路徑去吃午餐的問題。

17

蜘蛛和蒼蠅

一只蒼蠅落在圓形玻璃杯的內壁，距離杯口2厘米，如下頁圖所示。一只蜘蛛在玻璃杯對側的外壁上，距離底部2厘米。玻璃杯高8厘米，周長12厘米。如果蒼蠅靜止不動，蜘蛛最少需要爬多長的距離才能抓到它？

再看一下前面那個畫著房屋與道路的圖形。從A開始的最短路徑與那條道路形成的夾角等于它離開道路向B走時與道路形成的夾角。換句話說，這幅圖體現了光的反射定律，即光照射到鏡面形成的入射角等于反射角。（假設道路是一面鏡子，A是一個光源，從A發出并經道路反射至B的光束與圖中黑線路徑完全一致。）赫倫之前就知道光的反射定律。他發現了最小距離定理，因而成了推斷出光總是走最短路徑的第一人。

18

鏡子里的貓鼬

墻上掛著一面鏡子，一只貓鼬站在鏡子的前面。它看到這面鏡子正好能照出完整的自己：從鏡子的頂部和底部正好可以看到自己的頭和腳。

如果貓鼬后退幾步，會怎么樣呢？它在鏡子里看到的自己會不完整嗎？或者在鏡子中自己的頭部以上或腳以下會出現空隙嗎？

假設墻上的鏡子是豎直的，而且貓鼬在照鏡子時是直立的。

貓鼬非常適合這個問題，因為它們有一個眾所周知的特點：喜歡直立。那么真正的貓在行為方面有什么特點呢？它們很淘氣，特立獨行，喜歡在晚上四處走動。

19

抓住那只貓

一條筆直的走廊一側有7扇門，其中一扇門后面有一只貓。你的任務是打開那扇門并找到那只貓。每天你只能打開一扇門。如果貓在那扇門后面，你就贏了。如果貓不在那里，門就會關上，你要等到第二天才能打開另一扇門。這只貓很不安分，每天晚上都會變換位置，跑到左側或右側相鄰的那扇門后面。

你需要多少天才能確保找到那只貓？

這個問題要求你想一個辦法，無論貓躲在哪里，無論它在晚上怎么變換位置，都能保證你在一定的天數內抓住它。解決這個問題的關鍵是先考慮門比較少的情況，找出規律，然后增加門的數量。我來告訴你如何開始吧。假設只有三扇門，你連續兩天打開中間那扇門，就一定會抓到那只貓，因為如果第一天貓沒有躲在中間那扇門后面，那么它一定在左邊或右邊的門后面。如果第一天它在第一或第三扇門的后面，那么第二天它就別無選擇，只能躲到中間那扇門后面。假設有四扇門，你將可以在4天內抓住那只貓。我不想再解釋這個答案，你可以嘗試自己想出來，更能體會其中的樂趣。記住，貓只會跑到左邊或右邊相鄰的那扇門后面，它有可能再次來到它之前待過的地方。

誰把誰吃掉是趣味問題常見的一個主題，在受盡折磨的趣味問題愛好者看來，這是一個慣常現象，但不是必然現象。

20

這次是人為難狗

一棟房子被5英尺高的圍墻包圍，只有從大門進去，沿一條小路才能走到房子的前門。

一名郵遞員來到大門口，他看見院子里有一條狗。狗看見了這名郵遞員后立刻跳了起來，向大門口跑過來，準備攻擊他，但被拴在樹上的皮帶拉住了。狗一邊狂吠，一邊拼命撲向郵遞員，把皮帶繃得緊緊的。如果郵遞員沿著小路走過去，狗就會攻擊他。

郵遞員怎樣才能安全地把信送到呢？

21

裝有細菌的罐子

X和Y是兩種細菌，它們之間捕食與被捕食的關系如下：

細菌X：一個X每分鐘可以吃掉一個Y。每吃掉一個Y，一個X就會通過繁殖變成兩個X。

細菌Y：在被X吃掉之前，一個Y每分鐘可以通過繁殖變成兩個Y。

換句話說，X只有在吞噬了Y之后才會繁殖，但是Y可以自行繁殖。科學家在一只罐子里裝入30個Y，再裝入1個X。

多少分鐘后，罐子里不再有細菌Y？

一個與捕食有關的著名趣味問題將一個人與一頭饑餓的獅子一起，扔進一個圓形競技場中。如果人和獅子奔跑的最快速度相同，并且都有無限的力氣，那么最終的結果是獅子抓到人還是人始終能躲開獅子的追捕？

這個問題之所以引人注目，不僅是因為它激發了數學界的想象力，還因為幾十年來人們一直都想錯了。這個問題是德國數學家理查德·拉多（Richard Rado）在1932年提出的。（作為一名居住在柏林的猶太人，和問題中的主角一樣，拉多也為自己的生命安全擔心。一年后，他逃離納粹政權，來到了英國。）最初，主流觀點認為競技場中的人難逃厄運：在面積有限的圓形競技場里，他無法逃脫饑餓的獅子的魔爪。然而，20世紀50年代，劍橋大學教授阿布拉姆·S.貝西科維奇（Abram S.Besicovitch）發現，這個人其實可以通過一個辦法躲開獅子的捕食。于是，這個人終于得救了。雖然證明過于復雜，超出了本書的范圍，但這個辦法本身很容易理解：在每一個瞬間，人都沿著垂直于他和獅子連線的那條直線，朝著接近圓心的方向奔跑，獅子就永遠追不上他了。

下面這道題也有一個圓形“競技場”和一個饑餓的捕食者，但難度要小一些。

22

狐貍和鴨子

在圓形的湖面上，有一只鴨子漂浮在水中央。一只狐貍在岸邊徘徊。狐貍的奔跑速度是鴨子在水面上游動速度的4倍，而且守在湖岸邊的狐貍會不斷調整自己的位置，以便去抓住那只鴨子。

鴨子只有上岸后才能飛起來。鴨子有沒有辦法游到湖邊（并在上岸后飛到安全地點）而不被狐貍抓住呢？

乍一看，這只鴨子的前景并不樂觀。

如上頁圖所示，假設狐貍在湖面的頂部。如果鴨子以最快的速度，沿直線并朝著與狐貍相反的方向前進，那么當它游到岸邊時，狐貍已經在那兒等著它了。我們只需一些基本的幾何知識，就可以證明這一點。設鴨子需要完成的距離（湖的半徑）為r，那么狐貍奔跑的距離就是πr。（狐貍需要跑完半個圓周的距離，圓的周長是2πr，其中π約等于3.14。）因此，狐貍奔跑的距離是鴨子游泳距離的3.14倍。由于狐貍的速度是鴨子的4倍，所以它會先到那兒。

題目的要求是設計出一條路徑，讓鴨子在狐貍無法及時趕到的地點著陸。

約翰·馮·諾伊曼（他曾迅速解決“折返的蒼蠅”問題，即本書第10題）和經濟學家奧斯卡·莫根施特恩一起，被認為是博弈論的創始人。博弈論就是對決策的數學分析。馮·諾伊曼最初考慮的都是室內游戲，但隨著課題不斷擴展，博弈論在許多領域得到了廣泛的應用，如心理學、哲學、政治、社會學，當然，還有娛樂性的趣味問題。只要個體根據特定的規則進行互動，并以“贏”為目標——換句話說，盡可能獲得對自己最有利的結果，博弈論就可以模擬他們的行為。下面這道題中的獅子就是一個這樣的例子。

23

邏輯性很強的獅子

圍欄里有10只獅子，它們最喜歡的食物是羊。獅子知道，任何獅子吃了羊之后都會昏昏欲睡，因此很可能會被附近的其他獅子吃掉。吃了獅子的獅子也會昏昏欲睡，因此也有被吃掉的危險。

一只羊被放進圍欄里。每只獅子都迫不及待地想要吃掉它，但它們只會在確信自己不會被吃掉的情況下才會去吃羊。

羊會面臨什么樣的命運呢？

（附加問題：如果一開始圍欄里有11只獅子，結果會怎樣？）

明確一下，羊只能被一只獅子吃掉，而不能被分享。我們還要把獅子當成完美的邏輯學家，所有行為都符合它們的最大利益。

豬是非常聰明的生物，即使它們沒有博士學位。下面這道題描述的是1979年劍橋大學巴布拉漢研究所的巴茲爾·鮑德溫（Basil Baldwin）和G.B.米斯（G.B.Meese）進行的一項有關豬的實驗。這個實驗之所以出名，是因為它表明博弈論可以完美地模擬動物的行為。

24

屋子里的兩頭豬

屋子里有兩頭豬。大一點兒的那頭豬占支配地位，小一點兒的那頭則處于從屬地位。按下一根桿的一端，食物就會被放到另一端的碗里。由于桿和碗之間有一段距離，因此按桿的那頭豬只能第二個趕到食物旁邊。

請問，哪頭豬吃得多？

討論完食物之后，我們在本章最后一個趣味問題中再來一點兒酒吧。

25

10只老鼠和1 000只瓶子

你繼承了1 000只瓶子。999只里都有酒，但有一只瓶子里裝的是毒藥。要想知道瓶子里裝的是酒還是毒藥，唯一的辦法就是把它喝了。但是，喝了毒藥就會死人。

值得慶幸的是，你有10只老鼠。如果老鼠喝了毒藥或者混有酒的毒藥，就會在一小時后死亡。如果老鼠喝的是酒，就能活下來。如何在第一批老鼠喝完第一口并過了一小時后確定哪一只瓶子里裝的是毒藥？

在時間不受限制的情況下，10只老鼠足以幫你找到裝有毒藥的瓶子。例如，你可以將這1 000只瓶子分成10組，每組100個。然后，每組分配1只老鼠，讓它從這一組中的每個瓶子里喝一口。一小時后，一只老鼠就會死去，這樣一來，裝有毒藥的瓶子就會被限制在100只瓶子之中。再將這100只瓶子分成9組，剩下的9只老鼠分別對應其中一組。同樣，被毒死的老鼠可以準確定位裝有毒藥的那一組瓶子。繼續這個操作，這些老鼠就會不斷縮小范圍，直至找出裝有毒藥的那只瓶子。

不過，給老鼠分組的做法過于麻煩，也沒有必要。最好的做法是讓所有老鼠同時接受考驗，讓它們同時喝下配方各不相同的雞尾酒。至少有一只老鼠會在你的大規模試毒過程中存活下來。

下一章的內容也跟避免死亡有關。在下一章，我們首先會看到一只好奇的動物，還會遇到也許是最廣為人知的一個趣味問題。