第2章　接收分集——最大比合并

2.1　系統模型和ML接收機

我們從單輸入多輸出（Single-Input Multiple-Output，SIMO）系統的例子開始介紹，其中接收機有N個接收天線，如圖2-1所示。在這種情況下，測量向量y的數學模型為：

y=hs+ρn （2.1）

其中，信道向量h的元素h_i是方差為1的復正態隨機變量，噪聲向量n的元素n_i也是方差為1的復正態隨機變量，兩者相互獨立。

假設接收機已知h，利用SISO例子中的方法，來獲取SIMO的ML檢測器，這種情況下，的表達式就變成：

式（2.2）在的最小二乘（Least Square，LS）解處取得全局最小值（見附錄E）：

而可以改寫為：

由于最小二乘解的性質，上式等號右邊的最后一項為0：

所以可以繼續簡化為：

因此，在接收分集的情況下，式（2.2）這一ML檢測器可簡化為：

其中，為最小二乘解[見式（2.3）]。

上述結果表明，在接收分集場景中，最優解是先對s做最小二乘估計，得到，隨后的處理與SISO相同。

在接收分集的情況下，最小二乘解也被稱為最大比合并（Maximum Ratio Com bining，MRC）^[15-16]。當接收天線數為2時，式（2.3）可寫作：

這意味著，先將信道的相位影響從每個天線接收的信號中去除，然后根據信道強度（每天線SNR），對去除信道相位影響的信號進行加權求和。

2.2　錯誤概率評估

在式（2.3）中代入式（2.1），會得到：

注意噪聲項的方差為，因此經過MRC合并后的SNR，即處理后SNR（post processing SNR，ppSNR）為因此，對于給定的h，其錯誤概率與式（1.6）類似：

通過對式（2.10）基于復正態分布h進行平均，得出錯誤概率：

參考附錄B，使用式（B.7），式（2.11）的上界可以簡化為^[6]：

可見，接收分集大大降低了錯誤概率。直觀來看，這種結論可以從表達式中推導出來，隱含于式（2.9）中。估計誤差的方差取決于所有信道的絕對值，而不僅僅是SISO情況下的一個信道。此外，在白噪聲信道的情況下，MRC只是對來自多天線的信號進行平均，將估計誤差的方差減小為原來的1/N。

在這一點上，先介紹MIMO中的兩個重要概念。

·首先是分集階數（Diversity Order，DO）：

這是錯誤概率曲線在高信噪比時的斜率。

·第二個是陣列增益（Array Gain，AG），定義為ppSNR與SNR的增益：

AG的另一種更有意義的定義（從性能角度來看）可能與之前的定義不一致，那就是相對于錯誤概率曲線（比如，QPSK曲線）的偏移：

在接收分集的情況下，DO和AG（根據兩個定義）都等于N。具有2個和4個接收天線的MRC的SER曲線如圖2-2所示。