2.2 單純形、單純復合形與多面體^［136］

單純形（又稱單形）是代數拓撲中最簡單的幾何對象，而單純復合形是歐幾里得空間中的有限個單純形按照“規則的”方式拼成的。單純復合形的點所形成的、歐幾里得空間的子空間叫做多面體。

在代數拓撲中，點、線段、三角形和四面體被稱為單純形，圖2.1中給出了一些單純形的例子。它們分別是0維單純形（一個單獨的點）、1維單純形（以兩個不同點為端點的閉線段）、2維單純形（以不共線的三點為頂點的閉三角形）和3維單純形（以不共面的四點為頂點的閉四面體）。由位于坐標原點和單位坐標軸上的點組成的單純形被稱作坐標單純形［圖2.1中（a）～（d）］，它們與三維歐氏空間中具有一般坐標的單純形［圖2.1中（e）～（h）］是拓撲同胚的。因此，一個n維單純形具有n+1個頂點。

圖2.1 三維空間中的0，1，2，3維單純形

對于一個n維單純形有：個l維單純形。例如，3維單純形中有：4個0維單純形，6個1維單純形，4個2維單純形，1個3維單純形。

假設S=（a₀，a₁，a₂，…，a_n）表示一個n維單純形，其中（a₀，a₁，a₂，…，a_n）是此單純形n+1個頂點的序列列表，（x_1i，x_2i，…，x_ni），（i=1，2，…，n）是頂點a_i的坐標。假設S^e=（a₀，a₁，a₂，…，a_n，1）是擁有一個額外頂點（1，1，…，1）的單純形S的擴充，這n+1個矢量（x_1i，x_2i，…，x_ni，1），（i=0，1，…，n）形成一個線性無關的n+1維線性空間。此時，n維單純形S的方向可以由線性空間S^e的行列式D（a₀，a₁，a₂，…，a_n，1）來確定，即

如果（-1）ⁿD（a₀，a₁，a₂，…，a_n，1）>0，則n維單純形S的方向為正，否則為負。

設K是一個以n維歐幾里得空間Rⁿ中的單純形為元素的有限集合，如果K滿足下列兩個條件，則被叫做一個單純復合形（簡稱復形）。

（1）K中任何一個單純形的每個邊（或面），也是K中的單純形；

（2）K中任何兩個單純形的交集要么是空集，要么是它們的公共邊（或面）。

復形K中的0維單純形也稱為K的頂點，1維單純形也稱為K的棱或邊，K中單形的最大維數稱為K的維數。對單純復形K，其全體單純形的全體頂點所形成的空間稱為一個多面體，記作。K稱為的一個單純剖分。顯然，一般多面體有不同的單純剖分。

如果K中每一個單純形都確定了方向，則復形K也確定了方向（即定向）。圖2.2給出二維空間中具有7個頂點的多邊形復形，單純形和復形方向用箭頭表示。

圖2.2 一復形的單純剖分

（a） K的單純剖分；（b）單純形的方向；（c）復形的方向

對于一個n維復形K，定義K中的m維定向單純形s_i，（i=1，2，…，k），其線性組合叫做K的一個m維鏈 [可寫作C_m（K）]。其中，c_i是m維鏈的實系數。1維鏈可以看作有向的折線。

在圖2.1中，有向三角形的邊界是一個1維鏈：a₀a₁+a₁a₂+a₂a₀，而一個2維鏈是有向四面體的邊界：（a₂a₁a₃）+（a₀a₁a₂）+（a₀a₃a₁）+（a₀a₂a₃）。

鏈的概念對于定義和計算單純形和復形的邊界是非常有用的。如果s_r=（a₀，a₁，…，是一n維單純形S=（a₀，a₁，a₂ ，…，a_n）不帶頂點a_r的 （n-1）維邊 （見表2.1），則這個單純形的拓撲邊界可定義為集合。那么，所有 （n-1）維邊就可寫作?（a₀，a₁，a₂，…，a_n），符號?叫做邊界算子。表2.1列出空間Rⁱ中i維單純形的拓撲邊界。

對于一個n維復形K，其方向可由式（2.1）的行列式值來確定。通過向n+1維行列式增加1列元素為1的子式，此方向行列式變成：

其中，（-1）^r，（r=0，1，2，…，n）決定了n維單純形S=（a₀，a₁，a₂，…，a_n）拓撲邊界的代數系數（-1或+1），相應的n-1維鏈被稱作此單純形的代數邊界。簡單說，一個定向n維單純形S=（a₀，a₁，a₂，…，a_n）代數邊界可由它的n-1維單純形總和給出，即

表2.2列出了空間Rⁱ中i維單純形的代數邊界。

對于空間Rⁿ中擁有M個有向n維單純形S_i，（i=1，2，…，M）的復形K，其代數邊界?K被定義成所有n維單純形的并集，即

圖2.3為三維空間中一個有向復形K，由四個有向3維單純形組成，即S₁=（a₀，a₁，a₂，a₅），S₂=（a₀，a₂，a₃，a₅），S₃=（a₀，a₃，a₄，a₅），S₄=（a₀，a₄，a₁，a₅）。這個復形的代數邊界是2維單純形的鏈，即2維鏈（圖2.3），即

因此，對于這樣的復形，其所有單純形的邊界是一個0維鏈，即

也就是，對于一個n維維復形K的（n-1）維鏈的邊界也是一個0維鏈，即

圖2.3 三維空間中的有向復形K

（a）4個單純形的復形；（b）多面體的面的正方向（按右手螺旋準則）

于是，由式（2.6）和式（2.7）可知，對于圖2.3中的復形K有：

式（2.7）反映了一個閉曲面的拓撲性質，即空間R³中的一個有向復形的有向邊的和為零，否則，這個復形表示的是一個開曲面。