無窮的魅力和危險

有這樣一個普遍經驗：極限通常比逼近它們的近似值簡單。圓比所有接近它的多邊形（有很多突起）都更簡單，也更優美。同樣地，在比薩證明中，極限矩形比有荷葉邊的形狀（有難看的隆起和尖點）更簡單，也更優雅。對分數1/3來說亦如此，它比所有逼近它的笨拙分數都更簡單，也更悅目，因為后者的分子和分母大而丑陋，比如3/10、33/100和333/1 000。在所有這些例子中，極限形狀或極限數字都比其有限的近似物更簡單，也更具對稱性。

這就是無窮的魅力，在無窮遠處，一切都變得更好了。

知道了這個經驗之后，我們再回過頭看無窮多邊形的例子。我們是否可以孤注一擲地說，圓就是一個有無窮多條無窮短邊的多邊形呢？不，我們絕對不能這樣做，也絕對不能屈服于這種誘惑，否則就會犯下實無窮的錯誤，并被推入邏輯的地獄。

為了說明原因，假設我們暫時接受了這個想法，即圓確實是一個邊長無限短的無窮多邊形。那么，這些邊究竟有多長呢？長度為0嗎？如果是這樣，無窮乘以0（所有邊的長度之和）就一定等于圓的周長。但假設現在又出現一個周長加倍的圓，那么無窮乘以0也必定等于這個更大的周長。于是，無窮乘以0既等于前一個圓的周長，又等于后一個圓的周長。這簡直是胡說八道！既然我們找不到定義無窮乘以0的一致性方法，將圓視為無窮多邊形的觀點也就站不住腳了。

盡管如此，這種直覺還是有些許吸引力的。就像《圣經》中的原罪一樣，微積分的原罪——把圓看作邊長無窮短的無窮多邊形的誘惑——也讓人無法抗拒，它利用禁忌知識的前景和借助一般手段無法獲得的洞見誘惑著我們。幾千年來，幾何學家一直在努力計算圓的周長。如果圓可以被由許多條微小直邊構成的多邊形替代，這個問題就會變得簡單許多。

數學家一邊聽著巨蛇的嘶嘶聲，一邊努力克制著原罪的誘惑，通過利用潛無窮而不是更吸引人的實無窮，找到了解決圓的周長問題和其他曲線之謎的方法。在接下來的章節中，我們將會看到他們是如何做到的。但在此之前，我們需要更深刻地了解實無窮究竟有多危險。它會引發許多其他錯誤，包括老師常常告誡我們不要犯的一個錯誤。