第一部分：玩弄數字
第一章 大數
1.你能數到多大
曾有一個故事，兩位匈牙利貴族決定玩一個游戲，誰說出最大的數誰就贏了。
“好呀，”其中一位說，“你先說你的數。”
經過幾分鐘絞盡腦汁的思考之后，第二位貴族終于說出了他能想到的最大的數。“三。”他說。
現在是第一位貴族的思考時間，但一刻鐘之后他最終放棄了。“你贏了。”他同意道。
顯然這兩位匈牙利貴族不代表很高層次的智力[1]，況且這個故事可能更多的是對貴族的惡意詆毀，但這樣的對話卻可能真實發生在霍屯督人[2]之間。根據非洲探險家的記載，我們可以確認在一些霍屯督部族的詞匯表中沒有大于三的數字的詞匯。當問詢一位當地人他有多少個子女或者他殺過多少敵人的時候，如果答案大于三他會回答“許多個”。因此即使是霍屯督部族最兇殘的戰士，在數數方面也比不過美國幼兒園里的孩子，他們可以數到十呢！
現在我們習慣于認為我們想寫多大的數字就可以寫多大的數字——無論是用美分為單位表示戰爭的經費，還是用英寸[3]為單位表示星際間的距離——只要在數字的后面加上一連串的零即可。你可以一直寫零到你的手腕發酸為止，在你手酸之前，你甚至能寫出比可觀測宇宙中的原子總數更大的數字：300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000。
或者你可以寫成：3×1074。
這里10右上角的小字數字74表示的是3之后有74個零，換句話說，3要乘以74個10。
但古人并不知道這種“算數簡示”的方法。事實上它在不到2000年前才被一位不知名的印度數學家發明。在他的偉大發明——這確實是一項偉大的發明，盡管我們通常沒有意識到這點——之前，每個數位上的數字是用專門的符號，也就是我們現稱的十進制單位，反復書寫而成的。例如數字8732，古埃及人寫作：
而在愷撒的辦公室里，他的辦事員會將其寫成如下形式：
MMMMMMMMDCCXXXII
后一種表現形式你應該還很熟悉，因為羅馬數字到現在還在使用——表示書籍的卷數或章數，或者在大紀念碑上記載下歷史事件發生的日期。過去的計數要求通常不超過幾千，更高數目的十進制單位也不存在，那么讓一位無論在算數上多么訓練有素的古羅馬人寫下“一百萬”這個數字，他都會不知所措。他能實現要求的最好方法，可能就是寫下1000個M，這可能要花幾個小時（圖1）。
奧古斯都·愷撒時期的一位古羅馬人嘗試用羅馬數字寫出“一百萬”。但即使是寫滿墻上的板子可能都寫不下“一百個一千”，也就是十萬。
對于古人而言，諸如天上的星星、大海里的魚和沙灘上的沙粒這些事物的數目都是“不計其數”的，就像在霍屯督語言中“五”是不計其數的，取而代之的是“許多”一樣！
公元前3世紀大名鼎鼎的科學家阿基米德（Archimedes）曾開動他的腦筋，表明書寫十分巨大的數字是可能的。
在他的論文《數沙者》中，阿基米德說：
“有人認為沙粒的數量是無限大的，我說的不只是敘拉古[4]（Syracuse）或西西里的其他地方，而是整個地球上能夠找到的所有沙粒，無論是有人居住或者荒無人煙的地方。也有人認為沙粒的數目是有限的，只是沒有更大的數字能超越地球上所有沙粒的總數。
“顯然持有這種觀點的人，如果他們能想象出一團與地球的質量一樣大的沙子，這些沙子填充了所有的大海和空洞，一直堆到與最高的山峰相平，那么他們也會認為這些沙粒的數目是最大的。但我將嘗試表達出比整個地球質量的沙粒數目還要大的數字，甚至是整個宇宙大小的沙粒的數目。”
阿基米德在這篇著作中提出的表示大數的方法與現代科學中表示的方法類似。他從古希臘算數中存在的最大數“萬”（myriad），或者說十千開始。然后他引入了一個新數，“萬萬”（octade），他稱之為“一億”，作為“第二階單位”；“億億”（octade octade）為“第三階單位”；“億億億”（octade octade octade）為“第四階單位”，等等。
花費書上好幾頁去說明如何書寫大數似乎是一件微不足道的事情，但在阿基米德時代，找到書寫大數字的方法是一個偉大的發現，是對于數學學科的重大推進。
為計量填滿整個宇宙的沙粒的數目，阿基米德需要了解宇宙有多大。在他的時代，宇宙被認為是一個鑲嵌有星星的水晶球，與他同時代的著名天文學家，薩摩斯的阿瑞斯塔克斯（Aristarchus）估計，地球到天球邊緣的距離是10 000 000 000個體育場[5]長度，或大約1 000 000 000英里。
相比天球的體積與沙粒數量，阿基米德完成了一系列足以嚇到高中生的噩夢一般的計算，最終得出結論：
“顯然，根據阿瑞斯塔克斯估計的天球的大小，宇宙能裝下的沙粒的數目不會超過一千萬個第八階單位。”[6]
值得注意的是，阿基米德估計的宇宙的半徑是明顯小于現代科學家觀測的結果的。十億英里的長度僅僅略微超出太陽到土星的距離。隨后我們可以看到，目前通過望遠鏡已經探索到的宇宙大小有5 000 000 000 000 000 000 000英里，因而能夠填滿整個可觀測宇宙的沙粒數量應當超過：
10100（或者說1后面跟100個0）。
很明顯這要遠大于宇宙中所有原子的數目——3×1074（在本章開始時有所說明）。但我們不要忘記，宇宙并不是充滿了原子，事實上平均每立方米的空間中才有一個原子。
不過我們并不需要通過做諸如將整個宇宙充滿沙粒這樣極端的事情來得到很大的數。事實上這些大數可能會突然出現在一些很簡單的問題中，那些你根本想不到會遇上超過幾千的數字的問題。
印度的舍罕王就曾在大數的問題上吃過虧。根據古老傳說的記載，他想要賞賜宰相西薩·班·達伊爾（Sissa Ben Dahir）（圖2），因其發明并進貢了國際象棋游戲。這位宰相的要求看似很簡單：“陛下，”他跪在國王面前，“請在棋盤的第一格擺一粒麥子，第二格擺兩粒麥子，第三格擺四粒麥子，第四格擺八粒麥子。陛下，如此往下，每往后一格的麥子數目都比前一格多一倍，直到擺滿六十四格為止。”
宰相西薩·班·達伊爾—一位富有經驗的數學家，向印度的舍罕王尋求賞賜。
“愛卿，你要求得不多。”國王說，他暗喜自己對這個神奇游戲的發明者賞賜禮物的開明提議并沒有用掉他很多的寶藏庫存，“你一定會如愿以償的。”他命人拿來一袋小麥。
于是，當數麥粒的工作開始，第一格放一粒，第二格放兩粒，第三格放四粒，但在達到第十二格所占的數目之前，袋子就空了。
更多袋的小麥被帶到國王面前，但越往后的格子所需的麥粒的數目增長越是迅速，很快，他們發現整個印度的小麥產量都不能夠滿足他對西薩·班·達伊爾的許諾。要放滿所有的格子需要18 446 744 073 709 551 615粒小麥！[7]
在算數中，一列后一個數是前一個數的固定倍數（在本例中這個倍數是2）的數列被稱為幾何級數。可以證明，這樣的級數的各項之和，等于固定倍數（在本例中為2）的項數次冪（在本例中為64）減去第一項（在本例中為1），除以固定倍數與1的差。可以這樣表示：
=264?1
用具體的數字表示是：
18 446 744 073 709 551 615。
這個數不比宇宙中所有的原子的數目大，但也是足夠可觀了。假設一蒲式耳[8]的小麥包括大約5 000 000粒麥粒，那么想要滿足西薩·班·達伊爾的要求需要40 000億蒲式耳的小麥。而世界上小麥每年的平均產量大約在20億蒲式耳，大宰相要求的小麥數目需要世界維持2000年這樣的小麥產量！
舍罕王發現他欠了宰相很大一筆債，他要么面對這筆無窮無盡的債務，要么砍下宰相的頭。我們懷疑他選擇了后者。
另一個大數扮演主角的故事也來自印度，是有關“世界末日”的。波爾（W.W.R.Ball）是一位愛好數學的歷史學家，用下述文字講述了這個故事：[9]
在貝拿勒斯（Benares）[10]標記有世界之中心穹頂之下的圣殿當中放置了一塊黃銅板，上面固定著三根金剛石針，每根長一腕尺（一腕尺約合20英寸，約45厘米），大約有蜜蜂的身體那么粗。在創世紀時，梵天[11]于其中一根針上自下而上放置了從大到小64片純金片，最大的位于最下面，這就是梵天塔。值班的僧侶夜以繼日地將金片從一根針移到另一根針上，根據梵天的永恒之律，僧侶一次只能移動一片，并且要保證不能有小的金片在大的之下（圖3）。當64片金片全部從梵天創世時放置的那根針轉移到另一根針之后，這座塔、廟宇、梵天和眾生都將回歸塵土，伴隨著一聲霹靂，世界也將消失。
圖3是故事所描述的內容的圖畫，當然圖畫中的金片的數量要少一些。你也可以用紙板片替代金片、長的鐵釘替代金剛石針，自己制作這樣的智力游戲。
一位僧侶正在巨大的梵天雕像前，在“世界末日”的問題旁忙碌。圖中畫出的金片數量比64要少，因為難以畫出那么多片。
根據移動金片的要求不難發現，每移動一片金片到另一根針上所需的移動次數，是移動上一片所需的移動次數的2倍。移動第一片僅需一步，但移動之后的金片的步數就將以幾何級數增加，因而第64片移走之后總的次數將和西薩·班·達伊爾要求的麥粒數量一樣！[12]
那么，移動梵天塔上的全部64片金片的時間是多久呢？假設僧侶們日夜工作毫無休假日，且每秒移動一次，而一年大約有31 558 000秒，那么換算下來大約需要580 000億年的時間才能完成全部的工作。
將這個純屬傳說的預言和現代科學的預測對比一下還是很有意思的。根據現代的關于宇宙演化的理論，恒星、行星，都誕生于大約30億年前的無形物質之中。我們還知道，給恒星，尤其是給太陽提供能量的“原子燃料”還能維持100億~150億年。因而我們的宇宙的年齡總共也沒有超過200億年（參見“創世之日”一章）[13]，根本沒有這個印度傳說里的580 000億年那么長。當然，這也不過是個傳說罷了。
文學作品中提到的最大數恐怕要屬大名鼎鼎的“印刷行數問題”了。假設我們制造了一臺能持續一行行印刷的印刷機（圖4），每行都能夠通過替換字母或印刷符號來得到不同的組合。這樣的機器包含有一系列外緣上刻有字母和符號的圓盤。這些圓盤將以類似于汽車上的里程計數器那樣的方式裝配，每當一個圓盤滾動一圈就會帶動下一個圓盤向前滾動一個符號，來自紙卷的紙張會自動送到圓盤滾筒下印刷。這樣的自動印刷機應該不難制造，它的一種造型如圖4所示。
一臺自動印刷機剛剛印出一行莎士比亞的名句。
讓我們開動機器，然后查看印刷出來的無盡的行列，其中的大部分毫無意義。它們可能長這樣：
“aaaaaaaaaaa…”
或
“boobooboobooboo…”
抑或：
“zawkporpkossscilm…”
但既然這臺機器能打印出所有可能的字母和符號的組合，我們可以發現，在這些各種各樣的無意義的句子垃圾中也能夠找到有用的句子。
當然，有些句子有意思但是沒有意義，比如：
“horse has six legs and…”（馬有六條腿和……）
或
“I like apples cooked in terpentin…”（我喜歡用松節油煎的蘋果……）
但隨著更仔細的搜索，我們能找到莎士比亞寫的每一句話，甚至他扔進廢紙簍里紙上的句子！
事實上這種自動印刷機能印出所有人自會寫字后寫出的每一句話——每一篇散文、每一首詩、每一篇報紙上出現的社論和廣告、每一卷厚重的學術論文、每一封情書、每一條訂奶單……
除此之外，這臺機器還能印出未來世紀里將要印出的詞句。在滾筒下轉出的紙張上，我們將發現30世紀的詩篇、在未來成為現實的科學發現、將在第500屆美國國會上讀出的演講稿、公元2344年的行星際交通事故的統計記錄。印刷出的紙上將有一篇篇尚未被創作的短篇故事和長篇小說，而出版商只需在他們的地下室里放上這樣一臺機器，然后在印刷出的大量垃圾中尋找好詞句出版即可——他們現在也差不多是這么做的呀。
那為什么這無法完成呢？
好吧，我們來數一數，為得到所有的字母和印刷符號組合需要多少行。
英語字母表中有26個字母，10個數字，14種常用符號（空格、句號、逗號、冒號、分號、問號、感嘆號、破折號、連字符、引號、省略號、小括號、中括號、大括號），共計50個字符。我們還假設這臺機器有65個圓輪，表示每行有65個字符位。每行的開始都有50種字符的可能，每種可能的下一位都再有50種可能；這總共就是50×50=2 500種可能。然而前兩位字符的每一種組合我們都再對應50種第三位字符的選擇，之后的第四位同理。最后整個句子的排列可以表示為：
為感受這個數字的巨大，我們把宇宙中的每個原子都想象為一臺印刷機，那么我們就有3×1074臺同時工作的機器。進一步假設所有的機器都從宇宙創始時開始工作，它們工作了30億年之久，或者說1017秒，以原子振動的頻率印刷，也就是每秒1015行。那么到現在它們應該打印出了大約3×1074×1017×1015=3×10106行——大約只有所需總量的萬分之三。
顯然，想在這些自動印刷的材料中做任何的選取都要花費相當長的時間！