3.2　數字

數字，是任何高級語言都不可缺少的東西，而且任何高級語言都支持數字的計算。Python中的數字也是最基本的對象之一，所以它是本教程中研究的第一個對象。

3.2.1　整數

數學中的整數我們都熟悉了，那么，在Python中如何表示整數（integer）呢？

進入到Python 交互模式中，輸入以下內容。

在數學中，3是屬于“整數”類型中的一個數字。那么，在Python中，3是什么類型中的數字呢？可以用type（3）這種方式來查看（見圖3-2-1）。<class 'int'>是type（3）的返回值，表明數字3的類型是int，即integer（整數）。也就是說，在Python中有一種對象類型稱為整數（或者“整數型”），用符號表示就是int。數學中學過的整數3就是這種類型中的一個對象。

使用不完全歸納方法，得到這樣的結論：數學中的所有整數值在Python中都是整數類型（int）。

注意，讀者在閱讀其他文獻的時候，或許會遇到“長整數型”的說法，即較大的整數。在現在Python版本中已經取消了這種類型，統一命名為“整數型”。

剛才使用的type函數在Python中被稱為“內置函數”，本章討論的是“內置對象”。所謂“內置”，就是當Python環境配置好后，相應的東西本地計算機已經有了。所有“內置”的在Python中都可以直接使用，不需要開發者來定義。比如“內置函數”，開發者只需了解函數的使用方法即可，不需要定義這類函數。

那么，如何了解“內置函數”的使用方法呢？

3.2.2　查看文檔

“內置函數”（built-in functions）的所有使用方法都在Python幫助文檔中——幫助文檔中不僅包含“內置函數”，還包含其他幫助內容。

閱讀Python幫助文檔的方法有兩種。一種是訪問官方網站，通過網站查看官方文檔（見圖3-2-2），進入到https://docs.python.org/3/library/functions.html頁面，可以看到Python所有內置函數以及該函數的使用文檔（見圖3-2-3）。

除了看在線文檔，還可以看本地的幫助文檔。實現這個操作要用另一個內置函數help。

在Python交互模式下這樣輸入，然后按Enter鍵，顯示圖3-2-4所示的內容（屏幕上顯示的部分內容）。

顯然，這是一種簡單的方法，特別推薦使用。

本節只研究type（object） -> the object's type，其他使用方法暫存。

?　type：函數名，后面緊跟“（ ）”。

?　object：表示參數是一個對象。

?　-> the object's type：表示這個函數的返回值是對象的類型。

當閱讀完文檔內容，按鍵盤上的q鍵，就可以退回到交互模式中。

help函數是研習Python經常用到的一種方式，用來查看聯機文檔非常方便。請讀者習慣使用，并能夠耐心閱讀文檔。

3.2.3　浮點數

對于數字，除了“整數”，還有“小數”，在Python中怎么表示呢？

進入到Python 的交互模式中，按照下面的方式操作。

在Python 中寫“小數”與在數學中的表現形式一樣，如果查看它的類型，返回值不是“decimal”（小數），而是“float”（翻譯為“浮點數”）。其實不僅是Python，很多高級語言都是如此。但是不能把小數都稱為“浮點數”，因為還有“定點數”。顯然，“浮（動）”和“（固）定”是相反的。關于“定點數”和“浮點數”的詳細內容，建議讀者自行查閱有關資料進行學習，此處不詳述。

至此，我們已經學習了兩種內置對象類型：整數和浮點數。注意，在用type函數查看數字所屬類型的時候，返回值的完整形式是“<class'int'>”或“<class'float'>”，其中class也有其他含義，第6章將對此闡述。讀者姑且知道“int和float既是對象又是對象類型”。

觀察上面的操作，能得到什么結論？

?　觀察1：int函數實現了把浮點數轉化為整數的作用，并且是截取整數，而不是四舍五入。

?　觀察2：float函數實現了把整數轉化為浮點數的作用。

浮點數類型的對象3.0和整數類型的對象3是同一個數嗎？上面這種提問，在數學中或許容易回答，但是在Python中就沒那么簡單了。兩個分屬于不同類型的對象能一樣嗎？比如，屬于“動物”類型的“張三”（此姓名純屬虛構，如有雷同實屬巧合）和屬于“植物”類型的“香樟樹”肯定不一樣。以此類推，“3”和“3.0”應該不是同一個數了。

Python中，兩個對象是否為“同一個”有嚴格的判斷標準，就是看它們的內存地址是否相同——每個對象，在計算機內存中都會有相應的地址編號。查看對象內存地址的方式是使用內置函數id。請讀者在交互模式中使用help（id）查看此函數幫助文檔。

id函數的返回值是參數對象的內存地址。如上面操作所示，兩個對象的內存地址不同，則說明它們是不同的對象。

綜上所述：int和float除了表示類型和類別，還能夠實現對象的類型轉化。

當然，對象的類型轉化是有條件的，不是任何類型的對象都能夠進行轉化。

3.2.4　變量

數學中已經熟悉了“變量”這個名詞，在Python中同樣需要“變量”。Python中的變量（variable）不是孤立存在的，而是依附在對象上的。例如：

在“x=5”中，x是變量，5是整數類型的對象，通過“=”把x和5建立了一種關系。

這里依然是變量x，它又與浮點數類型的對象“6.3”建立了關系。

以上操作過程中，并沒有規定變量x必須跟什么類型的對象建立關系，也沒有規定變量x是什么類型，而是想要讓變量與某個對象建立關系，就使用“=”實現關系的建立。這樣的關系被稱為“引用”，即可以表述為變量x與對象5（或者對象6.3）建立了“引用關系”。

發揮個人的想象力，形象地理解這種引用關系。把“對象”想象成某個實在的物體，而變量就是一枚標簽，這枚標簽可以貼到這個對象（物體）上（如x=5），也可以隨時取下來貼到另一個對象（物體）上（如同換成了x=6.3）。

這樣來看，標簽就不需要有什么類型之分了，只要有不同的名字即可。如同上面所完成的操作那樣，沒有給變量x規定為某種對象類型。這就應了Python中一個重要的觀點：對象有類型，變量無類型。

變量沒有類型，它也不能被稱為對象，所以無法獨立存在。

變量必須引用一個對象，才有存在的意義。不然它不被Python認可，就會顯示一種名為NameError的錯誤類型。

當變量引用了對象之后，變量就代表了那個對象。

變量x雖然是對象“6.3”的代表，但是這個代表也有不牢靠的時候。當它代表了其他對象（與其他對象建立了引用關系）時，這里的“6.3”就成為“沒有代表”的對象了，會被Python認為是垃圾，并自動回收。

在數學中，通常習慣用x、y之類的單個字符表示變量。但是在高級語言編程中，這樣的變量不受歡迎。Python中對變量（嚴格說是普通變量）命名的基本規則如下：

?　變量名稱由小寫字母、數字和下劃線組成，且不以數字開頭。

?　不使用保留字（關鍵字）。

?　單詞之間用單個下劃線連接。

?　使用有意義的單詞。

命名規則中提到了“保留字（關鍵字）”，怎么知道Python有哪些保留字呢？

在交互模式中執行下面的操作：

可以先不用理解操作的意義，重點看得到的返回值，里面所有的單詞都是Python的保留字，請在命名變量時，不要使用這些保留字。

【例題3-2-1】　通過操作，確認哪些變量命名合法。

代碼示例：

不合法的變量命名會被顯示SyntaxError錯誤。

3.2.5　簡單的計算

有了數字，就可以利用這些數字做簡單的運算了，如數學中常見的加、減、乘、除四則運算。

注意觀察這種寫法，在“a=10”與“b=2.5”之間用英文狀態下的“；”分割，其效果等價于下面的寫法。

下面讓變量a和b代表它們各自引用的對象參與運算。

注意，所有的運算符號都是英文狀態下輸入的，特別是乘號不要寫成“×”。

Python中的除法比上面三種運算稍復雜，表示相除的符號是英文狀態的“/”。進入Python交互模式后，練習下面的運算：

除了可以使用“/”符號進行除法運算，還可以使用“//”符號得到兩個數相除的商。

“商”肯定是一個整數，并且這個整數不是“/”操作之后得到的結果進行四舍五入（2.5四舍五入后結果是3），通俗地說是“取整”。兩個數字相除，除了“商”，還有“余數”，在Python中也提供了計算余數的符號。

除了運算符號，內置函數divmod能夠同時獲得商和余數。

在Python中，數字之間的加、減、乘、除運算與數學中的四則運算的規則是一樣的。

除了四則運算，Python也提供了其他簡單運算的方式。比如：

雖然Python（也可以說是計算機）擅長計算，但是有時候會遇到看似難以理解的現象。

這幾個簡單的運算為什么不能得到精確的結果呢？原因在于十進制數和二進制數的轉換。計算機用二進制數進行計算，但在上面的例子中輸入的是十進制數，所以計算機需要把十進制的數轉化為二進制數，再進行計算。但是，在將類似0.1這樣的浮點數轉化為二進制數時，有時候就出現問題了。

0.1轉化為二進制是：0.0001100110011001100110011001100110011001100110011…

0.1轉化為二進制數后，不會精確等于十進制數的0.1。同時，計算機存儲的位數是有限制的，所以出現了上述現象。

這種問題不僅在Python中會遇到，在所有支持浮點數運算的編程語言中都會遇到，這不是Python的Bug。

明白了這種問題產生的原因后，該怎么解決呢？就Python的浮點數運算而言，大多數計算機每次計算誤差不超過1/253。對于大多數任務來說，這已經足夠了，但是要謹記，這不是十進制算法，每個浮點數計算可能帶來一個新的舍入錯誤。

一般情況下，只要簡單地將最終顯示的結果“四舍五入”到所期望的十進制位數，就會得到滿意的最終結果。

實現“四舍五入”可以使用內置函數round，如圖3-2-5所示。在Python交互模式下，可以通過help（round）來獲取完整的函數幫助文檔內容。

但是，round（）函數也不能幸免于十進制和二進制轉化的問題。

這類問題的徹底解決還有賴于其他工具。請見3.2.7節的相關內容。

在數學上，經常用科學計數法表示一些比較大的數字，如12000寫作1.2×104。在Python中也可以使用科學計數法，只不過寫法有區別。

1.2e4即表示1.2×104。

【例題3-2-2】　雞兔同籠，頭35個，腳94只，問雞、兔各多少？

代碼示例

3.2.6　math標準庫

在數值運算中，除了前面的簡單運算，還有如計算對數、正弦、余弦等初等函數的各種運算。但是在Python的內置函數中沒有這些函數。

因為這些初等函數也是常用的，所以Python提供了標準庫來滿足需要。Python標準庫是隨Python附帶安裝的，包含很多常用的模塊（關于“模塊”，請見第7章），此處要使用的math就是標準庫中的一個模塊。

這里顯示出了math模塊提供的所有函數。可以使用help函數查看聯機幫助文檔。

例如，計算數學表達式sin+lg5e2，并且結果保留2位小數。

應用math模塊，再結合前面已學和基本的初等數學知識，就能夠完成大多數初等數學的運算了。盡管如此，運算中還存在一些問題尚待解決。比如：

還有，前面提到的十進制和二進制轉化引起的計算結果不精確問題。所以，必須需要其他工具。

3.2.7　解決“異常”

前面使用標準庫中的math模塊解決了初等數學的函數問題，為了滿足運算的其他要求，Python標準庫中還有其他計算相關的模塊。比如，decimal實現了十進制數精確運算。

類似“10/3”的計算可以使用標準庫中的fractions模塊，實現基于有理數的運算。

上述計算結果雖然不是浮點數和整數類型，但是依然能夠參與數學運算。

注意，下面的方式是不支持的。

關于計算，Python中能夠使用的工具也不僅限于本書介紹的這些，還有諸如NumPy、SciPy等科學計算的專門工具。

【例題3-2-3】　假設兩個人，一個人的質量是70kg，另一個人的質量是50kg，當兩人相距0.5米的時候，它們之間的引力大小是多少？（G=6.67×10-11m3kg-1s-2）

代碼示例

計算表明，這兩個人之間的引力大小是9.3×10-7N，僅相當于大約0.095毫克的物體的重力。

本來，數學中的數字沒有最大值，但是因為計算機本身的結構問題，在編程語言中的數字不是無限大的。

3.2.8　溢出

正如讀者已知，計算機在計算的時候要把十進制的數值轉化為二進制的。比如：

在有的語言中，整數有位數的限制，如C語言中26位的短整型、32位的長整型等。在這種情況下，如果計算結果超出了給定位數表示的數值范圍，就出現了“整數溢出”的現象。而Python中沒有位數的限制，或者說Python中的整數是任意精度，所以可以表示任意大的整數了（僅受制于內存）。

請讀者自己調試，顯示變量a所引用的數字，它是一個3011位的整數。

但是，如果遇到了浮點數參與運算，則要小心“浮點數溢出”了。

【例題3-2-4】　“夜黑佯謬”，又稱為“奧爾伯斯佯謬”，是由德國天文學家奧爾伯斯于1823年提出的，其主要結論是“晚上應該是光亮的而不是黑暗的”。因為計算表明，不論白天和晚上，地球上任何一點得到的來自宇宙中恒星的亮度都是無窮大。不過，這個結論并不符合觀察的事實，我們看到的夜空是黑暗的，所以奧爾伯斯宣布這是一個需要解決的佯謬。（更詳細的內容請閱讀http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-921097.html）

這里涉及了“無窮大”，在數學中用符號∞表示，在Python中如何表示？

代碼示例

3.2.9　運算優先級

從小學數學開始，就研究運算優先級的問題，如四則運算中的“先乘除，后加減”說明乘法、除法的優先級要高于加減法。同一級別的運算按照“從左到右”的順序進行計算。

表3-2-1列出了Python 中的各種運算的優先級順序。

表3-2-1按照優先級從低到高的順序列出了Python中的常用運算符。雖然有很多還不知道是怎么回事，不過此處先列出來，等以后用到的時候可以回來查看。當然，不需要記憶，因為與數學中的規則完全一樣。在復雜的表達式中，使用括號能夠讓表達式的可讀性更強。

在程序中，可讀性是非常重要的。

3.2.10　一個簡單的程序

在2.2.5節中已經寫過了一個簡單的程序（文件hello.py）。至今已經學習過一些數值計算了，就可以把程序寫得比hello.py復雜一些了。

【例題3-2-5】　已知兩個力，F1=20N，F2=10N，這兩個力的方向夾角是60°，計算兩個力的合力大小和方向。

解題思路

用中學物理知識解決這個問題，即將兩個力放到一個直角坐標系中，利用正交分解法進行計算。

代碼示例

這段程序的開始部分用三對單引號（或者用三對雙引號）包裹著一些文字，這些內容是對本程序文件的說明（簡稱“程序文檔”），在執行這個程序文件的時候，計算機忽略它。程序文檔之后的各行語句才是計算機要執行的內容。

因為每行語句的含義都是前述各節知識所講授過的，所以不再贅述。建議讀者在每行的空白處寫下對該行代碼的注釋，說明其作用。這就是所謂的“閱讀代碼”。“閱讀代碼”是提升個人編程水平的一種重要方式。

文件保存之后，用下面的方式運行此程序。

如此這般，這個程序就運行起來了。誠然，這里還是非常簡單的程序，畢竟只學習了一種類型的對象。要想編寫復雜的程序，還要繼續學習更多的知識。