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二 隨機不確定理論

在經濟生活中,決策無處不在,決策環境復雜多變,受到來自經濟、自然、政治、技術等多方面的影響。因此,在實際生活中不確定性是不可避免的。在研究實際問題的推動下,隨機性不確定現象下的決策問題研究已成為近年來研究的重點。對于白酒企業的供應鏈網絡設計來說,配送中心的布局及成本、運營費用、運輸模式、碳排放量和社會影響力等都是很難確定的信息。隨機理論具備完善的理論體系,可以描述決策環境中的這種客觀不確定性[18]

設有非空集合Ω, Ω是可列的,例如,Ω= [0, 1],A是一個在Ω的Borel代數。A中的每一個元素是一個事件。為給出一個關于概率的公理化定義,有必要為每一個事件A分配一個數字Pr{A} 用于表示事件A可能發生的概率。為保證Pr{A} 具備一些特定的概率所應該具有的性質,必須滿足如下公理[19]

公理1. (歸一性)Pr{Ω} = 1。

公理2. (非負性)對任一的A∈Ω有Pr{A} ≥0。

公理3. (可列可加性)對每一個可數序列的互不相交的事件{A }i,有:

【定義2.10】(概率空間)集函數Pr稱為概率,如果它滿足上面的三條公理,相應的(Ω,A,Pr)稱為概率空間。

【定義2.11】(隨機變量)[20]設(Ω,A,Pr)是一個概率空間。一個定義在Ω上的實值函數ξ稱為隨機變量,如有:

其中,B是在R = (-∞,+∞)上的Borel集的σ代數,也就是說,一個隨機變量ξ是從(Ω,A,Pr)到(R,B)的可測轉換。注:對所有在R上的區間I,要求ξ-1(I)∈A。定義在(R,B)上的隨機變量ξ包含了在R上的測度Prξ,可將其定義如下:

可見,P為SS上的概率測度,稱其為ξ的概率分布。

【例2.1】若概率空間(Ω,A,Pr)是(ω123),且Pr1} =0.3, Pr2} = 0.5,Pr3} = 0.2。函數ξ表示為:

則ξ為一個隨機變量。

【定義2.12】[21](1)如果Pr{ξ < 0} = 0,則該隨機變量是非負的;(2)如果Pr{ξ≤0} = 0,則該隨機變量是正的;(3)如果存在一個有限序列{x1,x2,…,xm} 滿足:

則該隨機變量是簡單的;(4)如果存在一個可數序列{x1,x2,…} 滿足:

則該隨機變量是離散的。

【定義2.13】[22]有定義在概率空間(Ω,A,Pr)上的隨機變量ξ1和ξ2,若?ω∈Ω,有ξ1(ω)= ξ2(ω),則ξ1= ξ2

【定義2.14】[23]如果?x∈R有:

則F(x)可稱為隨機變量ξ取值小于等于x的分布函數。

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