2.4.4　證明主成分的方差是依次遞減

設相關系數矩陣R的p個特征根為λ₁≥λ₂≥…≥λ_p，相應的特征向量為，得

（2.57）

相對于的方差為：

Var(F₁)=a₁XX'a'₁＝a₁Ra'₁=λ₁

（2.58）

同樣有Var(F_i)=λ₁，即主成分的方差依次遞減，并且協方差為：

（2.59）

綜上所述，根據證明可知，主成分分析中的主成分協方差是對角矩陣，其對角線上的元素恰好是原始數據相關矩陣的特征值，而主成分系數矩陣A的元素則是原始數據相關矩陣特征值相應的特征向量。矩陣A是一個正交矩陣。

于是，變量(x₁,x₂…x_p)經過變換后得到新的綜合變量為

（2.60）

新的隨機變量彼此不相關，且方差依次遞減。