2.4.3　主成分的導出

根據主成分分析的數學模型的定義，要進行主成分分析，就需要根據原始數據以及模型3個條件的要求，求出主成分系數，以便得到主成分模型。這就是導出主成分所要解決的問題。

（1）根據主成分數學模型的條件①要求主成分之間互不相關，為此主成分之間的協差陣應該是一個對角陣。對于主成分，

F＝AX

（2.49）

其協差陣應為，

（2.50）

（2）設原始數據的協方差陣為V，如果原始數據進行了標準化處理，那么協方差陣等于相關矩陣，即有

V=R=XX'

（2.51）

（3）根據主成分數學模型條件③和正交矩陣的性質，若能夠滿足條件③最好要求A為正交矩陣，即滿足

AA'=I

（2.52）

將原始數據的協方差代入主成分的協差陣公式，得

（2.53）

展開上式，得

（2.54）

展開等式兩邊，根據矩陣相等的性質，這里只根據第一列得出的方程為：

（2.55）

為了得到該齊次方程的解，要求其系數矩陣行列式為0，即

（2.56）

|R-λ₁I|=0

顯然， 是相關系數矩陣的特征值，是相應的特征向量。根據第二列、第三列等可以得到類似的方程，于是是方程|R-λI|=0的p個根， 為特征方程的特征根， 是其特征向量的分量。