第1章　身世奇妙的數字

1.1　數字產生的來龍去脈

數，作為人類對物體集合的一種性質的認識，是以長期經驗為依據的歷史發展結果。人類最早的數量概念是什么呢？是“有”和“無”。

原始人早晨出去采集或狩獵，晚上回來可能是有所收獲，也可能是兩手空空。這就是“有”和“無”這兩個數學概念產生的實際基礎。

其次就是“多”和“少”，開始只是模糊的概念，今天采集的野果比昨天多些，可是打的野獸卻比昨天少些。大致如此，沒有人去認真地管它。

可到后來，認識逐漸清晰起來，特別是在數量少的時候。例如，你抓了兩只兔子，我抓了三只。我們可以一對一地比較。你擺出一只，我也擺出一只；你再擺出一只，我又擺出一只；你沒的擺了，我還有的擺，明顯我比你多，你比我少。這里就是兔子的“集合”與“集合”之間的對應關系。

原始社會是集體勞動，共同分配的。今天打了多少野獸，分成多少份肉，一人一份——這也是對應的關系。

有和無、多和少的數量感覺，其實動物界就有了萌芽。生物學家做過實驗：在某種鳥類和黃蜂的窩邊，趁著它們不在，偷偷地增加或減少點什么——一根樹棍、幾根草、幾顆泥粒，它們回來以后，會覺察這些變化。這種能力，就是數量的感覺。

到了人類，因為有了思想意識，所以，他們能意識到有和無、多和少。

數量的多少，有個出發點，這個出發點就是一。

如果問：什么叫作“一”？翻開《辭海》可以看到：“數之始。”這又是不說還清楚，一說倒糊涂。因為，什么叫作“數”？什么叫作“始”？一個問題變成了兩個問題，而且還不止兩個問題。比如說：什么時候我們知道有“數”呢？那就是在我們數東西的時候，才知道有“數”。可是，如果只有一個東西，還用得著數嗎？

所以說“一”是一個數，這是我們現在的想法，古代人卻不一定這樣想，甚至到了18世紀還有人說“一不是數”。

你也許會說：“一是一個單位。”北京猿人采集樸樹籽作為食物，一粒樸樹籽是“一”，一堆樸樹籽也是“一”。而且一堆樸樹籽和另一堆樸樹籽堆在一起，還是一堆樸樹籽。北京猿人當然不會這樣想，他們只是一把一把地吃著，一堆樸樹籽越吃越少。

一粒樸樹籽是“一”，一小堆樸樹籽是“一”，一大堆樸樹籽也是“一”。可見“一”中包含著“多”，許多“一”加起來就是“多”，“多”中也包含著“一”。

原始人有了“一”這個概念，大概很快就有了“二、三、四、五、六……”這些數的概念了吧。就像一架梯子似的，爬上了第一級，這是“一”；繼續爬，爬到第二級，不就是“二”了嗎？

如果說認識數字像爬梯子，那原始人真比蝸牛還慢得多呢！

在很長的時期里，人們只知其一，不知其二。知道二了，也不叫“二”。例如近代許多原始部落，他們要說“二”的時候就說“眼睛”。漢語的“二”和“耳”同音。原來“二”的音是從“耳朵”的“耳”的音借用來的。

我國西藏地區的人怎樣說“二”呢？他們說“鳥的翅膀”。眼睛、耳朵、鳥的翅膀都是兩個，這些幫助原始人得到“二”的概念。

在以后很長很長的時期里，人們只知道“一”和“二”，因為他們不需要很多的數目，甚至在近代一些原始民族中還是這樣。

那么“二”以上呢？“二”以上，我們說是“三”，但是原始人就以為是“多”了。在古代漢語中就是這樣。現在我們還可以看到這種概念留下的痕跡，例如“三人為眾”，三個“木”就是“森”。我們說“再三”“三思而行”“一日不見，如隔三秋”……“三”都是多的意思。

中非的原始部落只有三個數：一、二和多。三五頭牛固然叫作多，幾十萬頭牛他們也只是說“多”。

南美巴拉圭的印第安人，他們的“四”字是“鴕鳥足趾”的意思，因為那里的鴕鳥每只腳兩個腳趾，兩只腳一共是四個腳趾。他們還用“五色的斑皮”來代替“五”字。但是更多的地方，如印度、伊朗、非洲和南美洲的一些原始民族，他們把“五”叫作“手”，佛教語的“五”和波斯語的“手”就很接近。這是大家都很容易理解的，因為一只手有五個指頭。

南美洲有的地方，把“六”叫作“手一”，“七”叫作“手二”，“十”就叫“雙手”。達曼人把“二十一”叫作“兩個人零一個手指”。

熱帶一些地方，人們永遠赤腳，捫了手指再捫腳趾，于是“二十”就叫“手腳全指”，例如墨西哥古代的瑪雅人就是這樣。在格陵蘭的某些地方干脆把“二十”叫作“一個人”，于是四十就叫作“兩個人”了。

我們今天的日歷上還用“廿”這個數目。英語中有時也說“兩個廿”“三個廿”等，而在法語中的“八十”是“四個廿”，“九十”是“四個廿加十”。

隨著人們生產斗爭的需要和交往的增多，數目也一個一個地、慢慢地而又越來越快地加多了。

到了3600多年前，我國商代的人把文字刻在龜甲或獸骨上，這就是我們現在所說的甲骨文。甲骨文記載了戰爭中殺死或俘獲的人數、狩獵時所獲得鳥獸的頭數，以及祭祀時所用牲口的數目。例如，有片甲骨上刻著：“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人。”意思是說：在八日辛亥那一天，在一次戰爭中消滅了2656個人。另外，從甲骨文的數字中，我們知道那時候已經有了“三萬”這么大的數目了。

人們為了把比較所得的結果告訴別人，就要記數。“記數”就是把數記下來的意思。在使用文字以前，許多民族是用一條繩子打成各式各樣的結扣來記數的：事情大就打一個大結扣，事情小就打一個小結扣，結扣的多少就表示數量的多少。后來逐漸有了代替實物的符號，如用刀在實物上刻道道來代替實物打結。比如說，三頭牛，三根木棒，三把石斧……是不同性質的事物，但它們卻有一個共同的特點，就是都能和三個手指頭“一對一”地搭配起來。如果把牛、木棒、石斧等事物的具體屬性暫時撇開，就可以用符號“≡”來表示它們的共同特性。像河南省安陽小屯村發現的甲骨文，就是用刀刻在甲骨上的符號。而記數符號-＝≡……，叫作象形記數法。

其實，幾乎每一個民族都有過自己的記數符號。早在四五千年前的巴比倫人，曾用有棱角的木片在泥板上壓出各種有棱角的符號記數。古埃及人象形數字雕刻在石器或木器上，比如說，“一”的記號像一根木棒；一百萬的記號是一個人高高地舉起雙臂，好像是說這個數真大啊！

隨著語言、文字的日漸進化，數字也在不斷地發展變化著，經過了漫長的歲月后，才出現了今天所使用的數字符號，像1、2、3、4、5…，這樣的數叫作自然數。自然數的問世，是從現實世界中得出的第一個“數的系統”。