5.1.2　課本外的基礎知識

（1）空間直線

① 空間直線位置關系有三種:相交、平行、異面。

相交直線:共面有且僅有一個公共點；

平行直線:共面沒有公共點；

異面直線:不同在任一平面內，無公共點。

② 平行公理　平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理　如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如圖5-1所示）。

（直線與直線所成角θ∈[0°，90°]，向量與向量所成角θ∈[0°，180°]）

推論　如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等。

③ 兩異面直線的距離　等于公垂線段的長度。

空間兩條直線垂直的情況:相交（共面）垂直和異面垂直。

（2）直線與平面平行、直線與平面垂直

① 空間直線與平面位置分三種　相交、平行、在平面內。

② 直線與平面平行判定定理　如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（線線平行?線面平行）。

③ 直線和平面平行性質定理　如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行（線面平行?線線平行）。

④ 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直。

? 如圖5-2所示，若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理）。

? 三垂線定理的逆定理亦成立。

直線與平面垂直的判定定理1　如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面（線線垂直?線面垂直）。

直線與平面垂直的判定定理2　如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。

性質　如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

⑤ A.垂線段和斜線段長定理　從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，有下面三個性質:

　　　　射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；

　　　　相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；

　　　　線段比任何一條斜線段短。

B.射影定理推論　如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上。

（3）平面平行與平面垂直

① 空間兩個平面的位置關系　相交、平行。

② 平面平行判定定理　如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行?面面平行）。

推論　垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行。

兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線平行于另一平面。

③ 兩個平面平行的性質定理　如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行（面面平行?線線平行）。

④ 兩個平面垂直判定1　兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直。

兩個平面垂直判定2　如果一條直線與一個平面垂直，那么經過這條直線的平面垂直于這個平面（線面垂直?面面垂直）。

注:如果兩個二面角的平面分別對應互相垂直，則這兩個二面角互補。

⑤ 兩個平面垂直性質定理　如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面。

推論　如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們的交線垂直于第三平面（圖5-3）。

⑥ 兩異面直線任意兩點間的距離公式

l=（θ為銳角取減，θ為鈍角取加，綜上，都取減則必有θ∈（0，]）

⑦ 最小角定理　cosθ=cosθ1cosθ2（θ1為最小角）

（4）棱柱、棱錐

棱柱

① A.直棱柱側面積　S=Ch（C為底面周長，h是高）該公式是利用直棱柱的側面展開圖為矩形得出的。

B.斜棱住側面積　S=C1l（C1是斜棱柱直截面周長，l是斜棱柱的側棱長），該公式是利用斜棱柱的側面展開圖為平行四邊形得出的。

② {四棱柱}?{平行六面體}?{直平行六面體}?{長方體}?{正四棱柱}?{正方體}。

{直四棱柱}∩{平行六面體}={直平行六面體}。

③ 棱柱具有的性質

A.棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等；直棱柱的各個側面都是矩形；正棱柱的各個側面都是全等的矩形。

B.棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形。

C.過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形。

④ 平行六面體

定理1　平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分。

注:四棱柱的對角線不一定相交于一點。

定理2　長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和。

推論1　長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為α、β、γ，

則cos2α+cos2β+cos2γ=1。

推論2　長方體一條對角線與同一個頂點的三個側面所成的角為α、β、γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=2。

棱錐

棱錐是一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形。

注:①一個三棱錐四個面可以都為直角三角形。

　② 一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以V棱柱=Sh=3V棱錐

①A.正棱錐定義　底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心。

注:① 正四棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形（不是等邊三角形）。

　② 正四面體是各棱相等，而正三棱錐的底面為正三角形，側棱與底棱不一定相等。

　③ 正棱錐定義的推論:若一個棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形（即側棱相等），則底面為正多邊形。

B.正棱錐的側面積　S=Ch’（底面周長為C，斜高為h’）。

C.棱錐的側面積與底面積的射影公式　S側=（側面與底面成的二面角為α）。

② 棱錐具有的性質

A.正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫作正棱錐的斜高）。

B.正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形。

③ 特殊棱錐的頂點在底面的射影位置

A.棱錐的側棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心。

B.棱錐的側棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心。

C.棱錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心。

D.棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心。

E.三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心。

F.三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心。

G.每個四面體都有外接球，球心是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑。

H.每個四面體都有內切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑。

球

① 球的截面是一個圓面。

A.球的表面積公式:S=4πR2。

B.球的體積公式:V=πR3。

② 緯度、經度

A.緯度　地球上一點P的緯度是指經過P點的球半徑與赤道面所成的角的度數。

B.經度　地球上A、B兩點的經度差，是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的兩個半平面的二面角的度數，特別地，當經過點A的經線是本初子午線時，這個二面角的度數就是B點的經度。

附:①圓柱體積:V=πr2h（r為半徑，h為高）；

② 圓錐體積:V=πr2h（r為半徑，h為高）；

③ 錐體體積:V=Sh（S為底面積，h為高） ；

④ 內切球:當四面體為正四面體時，

設邊長為A，h=a，S底=a2，S側=a2，

得a2·a=a2·R+·a2·R?R=a/a·a。

注:球內切于四面體。

VB－ACD=·S側·R·3+S底·R=S底·h。

⑤ 外接球:球外接于正四面體，可如圖（圖5-4）建立關系式。

（5）空間向量

① A.共線向量　共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合。

B.共線向量定理　對空間任意兩個向量、≠0）， ∥的充要條件是存在實數λ（具有唯一性），使=λ。

C.共面向量　若向量平行于平面α或在α內，則與α的關系是平行，記作∥α。

D.共面向量定理　如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數對x、y使。

空間有任一點O和不共線三點A、B、C，

則=x+y+z（x+y+z=1）是PABC四點共面的充要條件。

注:D是證明四點共面的常用方法。

② 空間向量基本定理　如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組x、y、z，使。

推論　設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P， 都存在唯一的有序實數組x、y、z使 =x+y+z（這里隱含x+y+z≠1）。

注:設四面體ABCD的三條棱，，其中Q是△BCD的重心，則向量）用即證。

對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，滿足=x+y+z，則四點P、A、B、C是共面?x+y+z=1。

③ A.空間向量的坐標　空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱坐標），z軸是豎軸（對應為豎坐標）。

令=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），

則=（a1±b1，a2±b2，a3±b3），

λ=（λa1，λa2，λa3）　（λ∈R），

·=a1b1+a2b2+a3b3 ，

∥?a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3　（λ∈R）?

⊥?a1b1+a2b2+a3b3=0

||=

（向量模與向量之間的轉化:||2=·?||=）

空間兩個向量的夾角公式

cos<>=

[令=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3）]

空間兩點的距離公式:d=。

B.法向量　若向量所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作⊥α，如果⊥α，那么向量叫作平面α的法向量。

C.向量的常用方法

ⅰ.利用法向量求點到面的距離定理　如圖，設N是平面α的法向量，AB是平面α的一條射線，其中A∈α，則點B到平面α的距離為；

ⅱ.異面直線間的距離 d=（l1，l2是兩異面直線，其公垂向量為，C、D分別是l1，l2上任一點，d為l1，l2間的距離）；

ⅲ.直線AB與平面所成角β=arcsin為平面α的法向量）；

ⅳ.利用法向量求二面角的平面角定理　設分別是二面角α－l－β中平面α，β的法向量，則、所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（、方向相同，則為補角，、反方，則為其夾角）。

二面角α－l－β的平面角θ=arccos或π－arccos為平面α，β的法向量）。

（6）三視圖與直觀圖　原圖形與直觀圖面積之比為2:1。

（7）表 （側）面積與體積公式

① 柱體

表面積:S=S側+2S底；

側面積:S側=2πrh；

體積:V=S底h

② 錐體

表面積:S=S側+S底；

側面積:S側=πrl；

體積:V=S底h

③ 臺體

表面積:S=S側+S上底+S下底；

側面積:S側=π（r+r’）l；

體積:V=（S++S’）h

④ 球體:面積:S=4πR2；

體積:V=πR3