4.1　三角函數、解三角形、平面向量基礎部分

4.1.1　三角函數

（1）角的概念的推廣

A.任意角　在數學上，我們規定，按逆時針方向旋轉形成的角叫作正角；按順時針方向旋轉成的角叫作負角。如果射線沒有作任何旋轉，那么也把它看成一個角，叫作零角。

一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S={ββ=α+360°k，k∈Z}，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數倍的和。

例4-1　在0°到360°的范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角:

① 650°；②－150°；③－990°15’。

解：① 因為650°=360°+290°

所以650°的角與290°的角終邊相同，是第四象限角。

② 因為－150°=－360°+210°

所以－150°的角與210°的角終邊相同，是第三象限角。

③ 因為－990°15’=－3×360°+89°45’

所以－990°15’的角與89°45’的角終邊相同，是第一象限角。

B.弧度制　我們已學習過角的度量，規定周角的為1°的角，這種用度作為單位來測量角的單位制叫作角度制。除了采用角度制外。在科學研究中還經常采用弧度制。

把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，記作1rad（圖4-1）。用弧度作為角的單位來測量角的單位制稱為弧度制。

基本關系式:

例4-2　利用弧度制證明下列關于扇形面積的公式S=?R，其中R是半徑，?是弧長，α（0<α<2π）為圓心角，S是扇形的面積。

證明:由公式?=，S=，可得S=?R。

例4-3　把下列各角從弧度化為度:

① ；② 3.5

解：① rad=×=180°

② 3.5rad=3.5×≈200.54°

例4-4　把下列各角從度化為弧度:

① 252°；② 11°15’

解：① 252°=252×rad=rad

② 11°15’=11.25°=11.25×rad=rad

（2）任意角的三角函數

A.任意角的三角函數的定義

一般地，對任意角α，我們規定:

① 比值叫作α的正弦，記作sinα，即sinα=；

② 比值叫作α的余弦，記作cosα，即cosα=；

③ 比值（x≠0）叫作α的正切，記作tanα，即tanα=；

對于確定的角α，比值和都唯一確定，故正弦和余弦都是角α的函數。當α=+kπ（k∈Z）時，角α的終邊在y軸上，故有x=0，這時tanα無意義。

B.三角函數在各象限的符號（圖4-2）

C.單位圓三角函數　一般地，我們把半徑為1的圓叫作單位圓。

如圖4-3所示，設角α的頂點在圓心O，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過點P作PM垂直x軸于M，做PN垂直y軸于點N，則點M、N分別是點P在x軸、y軸上的正射影（簡稱射影）。由三角函數的定義可知，點P的坐標為（cosα，sinα），即P（cosα，sinα），其中cosα=OM，sinα=ON。

這就是說，角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點的橫坐標和縱坐標。

以A為原點建立y’軸與y軸同向，y’軸與α的終邊（或其反向延長線）相交于點T（或T’），則tanα=AT（或AT’），我們把軸上向量、和（或）分別叫作α的余弦線、正弦線和正切線。

D.同角三角函數的基本關系式

例4-5　已知sinα=，且α是第二象限的角，求角α的余弦值和正切值。

解：由sin2α+cos2α=1，得cosα=±

因為α是第二象限的角，cosα<0，所以

cosα=－=－，tanα==－

例4-6　化簡。

解：原式==cosα

例4-7　求證tan2α－sin2α=tan2αsin2α

證明:原式右邊=tan2α（1－cos2α）=tan2α－tan2αcos2α

　　　　 　　=tan2α－cos2α=tan2α－sin2α=左邊

因此，原等式成立。

（3）誘導公式（表4-1）

（4）三角函數的圖像與性質（表4-2）

（5）對y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的研究

①振幅:A；②周期:T=；③頻率:f=；④相位:ωx+φ；⑤初相:φ。

（6）已知三角函數值求角　一般地，對于正弦函數y=sinx，如果已知函數值y（y∈[－1，1]），那么在[－]上有唯一的x值和它對應，我們可以記為

x=arcsiny（其中－1≤y≤1，－≤x≤），即arcsiny（|y|≤1）表示[－]上正弦等于y的那個角。

同理，在區間[0，π]上符合條件cosx=y（－1≤y≤1）的角x，記為x=arccosy。