65　斐波那契（公元1175—1250年）

比伽利略早400年的天才。

斐波那契（Fibonacci），中世紀意大利數學家，長期專注研究一些數字、數列，以致它們后來被稱為斐波那契數，并將現代書寫數和乘數的位值表示法系統引入歐洲。其寫于1202年的著作《計算之書》中包含了許多古希臘、古埃及、阿拉伯、古印度甚至是中國的數學相關內容。

有感于使用阿拉伯數字比羅馬數字更有效，斐波那契前往地中海一帶向當時著名的阿拉伯數學家學習，約于1200年回國。1202年，27歲的他將其所學寫進《計算之書》。這本書通過在記賬、重量計算、利息、匯率和其他方面的應用，顯示了新的數字系統的實用價值。這本書大大影響了歐洲人的思想，可是在公元3世紀后印制術發明之前，十進制數字并不流行。

歐洲數學在古希臘文明衰落之后長期處于停滯狀態，直到12世紀才有復蘇的跡象。這種復蘇開始是受了翻譯、傳播古希臘、阿拉伯著作的刺激。對古希臘與東方古典數學成就的發掘、探討，最終導致了文藝復興時期（15—16世紀）歐洲數學的突飛猛進。文藝復興的前哨——意大利，由于其特殊的地理位置與貿易聯系成為東西方文化的熔爐。意大利學者早在12—13世紀就開始翻譯、介紹古希臘與阿拉伯的數學文獻。歐洲黑暗時代以后第一位有影響的數學家就是斐波那契，其拉丁文代表著作《計算之書》和《幾何實踐》均是根據阿拉伯文與希臘文材料編譯而成的。

斐波那契數列

和斐波那契名字緊密聯系在一起的是斐波那契數列。

斐波那契在《計算之書》中提出了一個有趣的問題：

一般而言，兔子在出生兩個月后就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有的兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？

我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：

第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對；

兩個月后生下一對小兔，總數共有兩對；

三個月以后，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對；

……

以此類推可以列出下表：

上表中數字1，1，2，3，5，8，…構成了一個序列。這個數列有十分明顯的特點，那就是：前面相鄰兩項之和，構成了后一項。

這個數列是斐波那契在《計算之書》中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a_n+2=a_n+a_n+1的性質外，還可以證明通項公式為：（n=1，2，3，…），又稱比內公式，是用無理數表示有理數的一個范例。

斐波那契數列還有兩個有趣的性質：

（1）斐波那契數列中任一項的平方數都等于跟它相鄰的前后兩項的乘積加1或減1；

（2）任取相鄰的四個斐波那契數，中間兩數之積（內積）與兩邊兩數之積（外積）相差1。

質數數量

斐波那契數列的整除性與質數生成性：

每3個連續的數中有且只有一個被2整除，

每4個連續的數中有且只有一個被3整除，

每5個連續的數中有且只有一個被5整除，

每6個連續的數中有且只有一個被8整除，

每7個連續的數中有且只有一個被13整除，

每8個連續的數中有且只有一個被21整除，

每9個連續的數中有且只有一個被34整除，

.......

我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是質數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）。

斐波那契數列的質數無限多嗎？