6.2 拿破侖的難題
我們上一章的問題是如何只用直尺而不用圓規的情況下畫圓，下面我們要看到的題目與上面的要求正好相反，只能用圓規而不能用直尺。
法國皇帝拿破侖曾經給法國的數學們出了一個題目：在已知圓心的條件下，不使用直尺，如何將一個圓周等分成四份？
圖50 只用圓規，如何把圓周分成四等分？
請看圖50，假設要把圓周O分成四等分。從圓周上任意一點A出發，用半徑的長度依次在圓周上作出B、C、D三點。顯而易見，AC弧線是三分之一的圓周長，而AC直線則是內接等邊三角形的一邊，長度等于
，其中r是圓的半徑。直線AD必然是圓周的直徑。以AC為半徑，從A點和D點分別作弧，則相交于M點。現在我們要證明的是，直線MO的長度恰好等于這個圓周的內接正方形的邊長。
因為在△AMO中，直角邊MO：
這也就是內接正方形的邊長。
現在，我們只要把MO的長度依次用圓規在圓周上劃分，就能夠得到圓周的內接正方形的四個頂點，這四個頂點將圓周分成了四等分。
還有一種與這個題目類似，但是要容易一些的題目。
問題是這樣的，請看圖51，如何不使用直尺，把A、B兩點間的距離增加到五倍或者N倍呢？
圖51 只用圓規，如何把A、B兩點間的距離增加到n倍（n是整數）
以B點為圓心，以AB為半徑畫一個圓。從A點出發，用AB的距離在圓周上依次量三次，我們就得到了C點，毫無疑問，這個C點就是在直徑上和A點相對的一點。AC的長度是AB長度的兩倍。
再以C點為圓心，以BC為半徑畫一個圓。這樣又可以得到在直徑上和B點相對的一點，也就是從A點出發，距離是AB三倍的一個點。以此推論，就能得到五倍或者N倍的長度。