1.1 基本概念

1.1.1 隨機試驗與事件

在概率論與數理統計中，“試驗”是一個廣泛的術語．我們把在一定條件下對某種現象的一次觀察、測量或進行一次科學實驗，統稱為一個試驗．一般稱滿足下面兩個條件的試驗為隨機試驗：

（1）在相同條件下可以重復進行；

（2）每次試驗結果事先不可預知，但所有可能的試驗結果事先知道．

一般用字母E表示隨機試驗．下面是一些隨機試驗的例子．

E1：拋擲一顆骰子，觀察出現的點數；

E2：將一枚硬幣連續拋擲兩次，觀察其正反面出現的情況；

E3：將一枚硬幣連續拋擲兩次，觀察其正面出現的次數；

E4：觀察一天內進入某個超市的顧客人數；

E5：觀察某型號電視機的使用壽命t；

E6：記錄某地區一晝夜的最低氣溫x和最高氣溫y．

對一個隨機試驗，我們把所有可能的試驗結果組成的集合稱為該試驗的樣本空間，記為Ω．樣本空間中的每個元素稱為樣本點．在上述6個試驗中，若以Ωi表示試驗Ei的樣本空間，則

Ω1=｛1，2，3，4，5，6｝；

Ω2=｛HH，HT，TH，TT｝，其中H表示正面，T表示反面；

Ω3=｛0，1，2｝；

Ω4=｛0，1，2，…｝；

Ω5=｛t|0≤t<∞｝；

Ω6=｛（x，y）|T0≤x≤y≤T1｝，其中T0和T1分別表示這一地區的最低氣溫和最高氣溫．

對于樣本空間應注意下面幾點：

（1）樣本空間是一個集合，它由樣本點組成，可以用列舉法或描述法來表示；

（2）在樣本空間中，樣本點可以是一維的，也可以是多維的，樣本點個數可以是有限個，也可以是無限的；

（3）對于一個隨機試驗而言，試驗的目的不同，樣本空間往往也不同．例如，E2和E3雖然都是將一枚硬幣拋擲兩次，但由于試驗目的不同，因此樣本空間不同，E2的樣本空間為Ω2=｛HH，HT，TH，TT｝，E3的樣本空間為Ω3=｛0，1，2｝．

我們把樣本空間的任一個子集稱為一個隨機事件，簡稱為事件，常用大寫字母A，B，C，…表示．因此，隨機事件就是隨機試驗的某些結果（樣本點）組成的集合．特別地，由一個樣本點組成的單點集合稱為基本事件．在一個試驗中，事件A發生當且僅當A中某個樣本點出現，這就是事件A發生的含義．

例1.1.1　在拋擲一顆骰子的試驗中，若用A表示“出現偶數點”，B表示“出現奇數點”，C表示“出現3點或3點以上”．假設試驗的目的是觀察出現的點數，試寫出樣本空間，并用樣本點表示事件A，B，C．

解　該試驗有6個可能的結果，樣本空間為Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，事件A，B，C分別表示為A=｛2，4，6｝，B=｛1，3，5｝，C=｛3，4，5，6｝．

例1.1.2　從一批計算機中任取一臺，觀察其無故障運行的時間T（單位：小時）．A為事件“恰好運行240小時”，B為事件“運行240.2小時以上”，C為事件“運行時間大于270.5小時，小于等于480.7小時”．試寫出樣本空間，并用樣本點子集表示事件A，B，C．

解　樣本空間為Ω=｛T|T≥0｝，事件A，B，C分別表示為A=｛T=240｝，B=｛T|T>240.2｝，C=｛T|270.5<T≤480.7｝．

樣本空間Ω是其自身的一個子集，因此它也是一個事件，由于它包含所有樣本點，所以每次試驗它必然發生，因此Ω表示必然事件．空集?不包含任何樣本點，每次試驗它都不會發生，故?表示不可能事件．雖然它們不是真正的隨機事件，但為了研究問題的方便，我們把它們視為特殊的隨機事件．

1.1.2 事件的關系與運算

因為事件是集合，即樣本空間的子集，所以事件之間的關系和運算可以按照集合之間的關系和運算來處理．根據“事件發生”的含義，我們不難給出事件的關系與運算的定義和規則．

設Ω是樣本空間，A，B，C及A1，A2，…都是事件，即Ω的子集，它們有以下關系．

1. 包含關系

若A的發生必然導致B的發生，則稱B包含A或A是B的子事件，記為B?A或者A?B，即A的元素全屬于B，如圖1.1所示．

2. 相等關系

若A?B且B?A，則稱A與B相等，記為A=B．

3. 事件的和

對兩個事件A和B，定義事件

C=｛A發生或B發生｝，

稱其為A與B的和事件，記為C=A∪B．事件A∪B發生，即A發生或B發生，意味著A與B至少有一個發生，如圖1.2所示．

和事件可以推廣到多個事件的情形．設有n個事件A1，A2，…，An，定義它們的和事件為

對無窮多個事件A1，A2，…，An，…，可以類似地定義它們的和事件為

4. 事件的積

對兩個事件A和B，定義事件

C=｛A發生且B發生｝，

稱其為A與B的積事件，記為C=A∩B（或C=AB）．事件AB發生意味著A發生且B發生，即A與B同時發生，如圖1.3所示．

類似地，可以定義多個事件A1，A2，…，An，…的積事件．根據事件的個數為有限和無限情況分別有下列積事件：

5. 事件的差

對兩個事件A和B，定義事件

C=｛A發生且B不發生｝，

稱其為A與B的差事件，記為C=A－B（或C=A\B），即A發生但B不發生的事件，如圖1.4所示．容易知道A－B=A－AB．

6. 互斥事件

若兩個事件A與B不能同時發生，即AB=?，則稱A與B是互斥事件，或稱它們互不相容，如圖1.5所示．若事件A1，A2，…，An中任意兩個都互斥，則稱事件組A1，A2，…，An兩兩互斥．

當事件A與B互斥時，可記它們的和事件A∪B為A+B；對于兩兩互斥的多個事件的和事件有類似的記法．

7. 對立事件

“A不發生”的事件稱為A的對立事件，記為ā，即ā=Ω－A，如圖1.6所示，并稱A與ā為互逆事件，它們是互為對立的事件，滿足A∪ā=Ω，Aā=?，=A．

例如，在拋擲硬幣的試驗中，設A為“出現正面”，B為“出現反面”，則A與B互斥且A與B互為對立；在擲骰子的試驗中，設A為“出現1點”，B為“出現3點以上”，則A與B互斥，但A與B不是對立事件．

利用事件對立關系容易知道，對于任意事件A和B，．

設A，B，C為事件，根據集合的運算規則，有以下事件運算規則．

（1）交換律：A∪B=B∪A；AB=BA．

（2）結合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（AB）C=A（BC）．

（3）分配律：A（B∪C）=（AB）∪（AC）；A∪（BC）=（A∪B）（A∪C）．

（4）對偶律：

對于多個事件情況，上述運算規則仍然成立．例如：

上述運算規則也可以推廣到無窮多個事件的情況．

例1.1.3　向指定目標連續射擊三次，觀察擊中目標的情況．分別用A1，A2，A3表示事件“第一、二、三次射擊時擊中目標”，試用A1，A2，A3表示以下各事件．

（1）只第一次擊中；

（2）只擊中一次；

（3）三次都未擊中；

（4）至少擊中一次．

解　（1）事件“只第一次擊中”，意味著第二次和第三次都不中．所以，該事件可表示為A1ā2ā3．

（2）事件“只擊中一次”，并不指定哪一次擊中，意味著三個事件“只第一次擊中”、“只第二次擊中”和“只第三次擊中”至少有一個發生，即它們的和事件發生．由于上述三個事件兩兩互斥，所以，該事件可表示為A1ā2ā3+ā1A2ā3+ā1ā2A3．

（3）事件“三次都未擊中”，就是事件“第一、二、三次都未擊中”，該事件可表示為ā1ā2ā3或

（4）事件“至少擊中一次”，就是事件“第一、二、三次射擊中至少有一次擊中”，所以，該事件可表示為A1∪A2∪A3．