4.5　克魯斯卡爾-沃利斯檢驗

如果從總體1中隨機抽取了一組樣本，又從總體2中隨機抽取了一組樣本；威爾科克森秩和檢驗就可以用來分析這兩個樣本所代表的總體1和總體2是否具有相同的分布。現在如果有來自三個或更多獨立總體的樣本數據，能否用一種方法來分析它們所代表的總體是否具有相同的分布呢？這時所采用的方法就是克魯斯卡爾-沃利斯（Kruskal-Wallis）檢驗，又稱H檢驗。本書后面還會介紹到單向方差分析（ANOVA），該方法可以用來檢驗一些樣本均值之間的差別是否顯著，但方差分析要求所有有關的總體都是正態分布的。如同其他非參數檢驗一樣，克魯斯卡爾-沃利斯檢驗并不要求總體服從正態分布或者任意其他的特殊分布。

克魯斯卡爾-沃利斯檢驗的原假設和備擇假設一般如下：

H₀：樣本來自于具有相同分布的總體。

H₁：樣本來自于具有不同分布的總體。

克魯斯卡爾-沃利斯檢驗的統計量定義為

其中n_i是樣本i的觀察值數量，i=1，2，…，k，k是樣本的個數，n_T是混合后的總樣本容量，即

另外，T_i是樣本i在總的樣本觀察值中的秩和。對于給定的顯著水平α，如果統計量H超過自由度為k-1的χ²的臨界值，則拒絕原假設。

通常要求每個樣本中至少有5個觀察值，這樣檢驗統計量H的分布才能用χ²分布來近似。這個檢驗統計量H其實就是本書后面將要討論的方差分析中檢驗統計量F的秩形式。當對秩進行處理，而非對原始值進行處理時，許多量是已經預先知道的。例如，所有秩的和可以表示為n_T（n_T+1）/2。表達式

其中

合并了秩的加權方差，以得到這里的給出的檢驗統計量H。這個H的表達式與前面給出的表達式在代數上是相等的。但前面H的形式處理起來更加簡便。盡管克魯斯卡爾-沃利斯檢驗計算起來非常容易，但它并沒有F檢驗那樣有效，因此它可能會需要更加明顯的差別來拒絕零假設。

當樣本觀察值的秩有大量相等時，用

來進行修正，其中t_j是第j個相等秩組中的觀察值數量。

下面結合一個例子來演示使用克魯斯卡爾-沃利斯檢驗的基本方法。為研究煤礦粉塵作業環境對塵肺的影響，將18只大鼠隨機分到X、Y和Z三個組，每組6只，分別在地面辦公樓、煤炭倉庫和礦井下，12周后測量大鼠全肺濕重（單位：g），數據見表4-21，問不同環境下大鼠全肺濕重有無差別？

首先，根據描述提出下列原假設和備擇假設：

H₀：三組沒有差異（即它們來自同一總體）。

H₁：三組中至少有一個和其他組不同。

在計算統計量H之前，首先從低到高排列18個樣本數據，并編秩。中間數據的處理結果如表4-22所示。其中處理相等數據時的方法前面已經多次講到，這里不再贅述。

計算三組秩和的結果如下

T_X=1.5+1.5+5+6+8+10=32

T_Y=3+8+8+11+12.5+14=56.5

T_Z=4+12.5+15+16+17+18=82.5

根據三組秩的和可以對統計量H進行計算

因為含有相同大小的數據，所以使用H′，對H進行修正。其中

將該值代入到H′，于是可得

可見，盡管涉及相等的秩幾乎占到總數的一半，H′的值和H仍然非常相近。由于自由度為k-1=2，所以可在R中使用下面的代碼來計算P值。

由于P值小于0.05，所以拒絕原假設，認為三個組的測試結果之間存在有顯著的差異。

上述計算結果在R中可以使用非常簡單的代碼來得到，下面的代碼同樣得出了7.5055的H′統計量以及0.023 45的P值。

本章向讀者介紹了幾種常用的非參數檢驗方法。與參數檢驗方法相比，非參數檢驗方法不受總體分布的限制，適用范圍更廣，使用起來也更簡便。但還需指出，當測量的數據能夠滿足參數統計的所有假設時，非參數檢驗方法雖然也可以使用，但效果遠不如參數檢驗方法。當數據滿足假設條件時，參數統計檢驗方法能夠從其中廣泛地充分地提取有關信息。非參數統計檢驗方法對數據的限制較為寬松，只能從中提取一般的信息，相對參數統計檢驗方法會浪費一些信息。所以對于參數檢驗方法而言，應該注意把握它們適用的條件，在具有應用時，更應審慎檢查這些條件是否滿足。針對具體問題，要注意分析問題本身所提供的信息，審慎選擇檢驗方法。