4.4　威爾科克森的秩和檢驗(yàn)

威爾科克森秩和檢驗(yàn)也是一種常用的非參數(shù)檢驗(yàn)方法，它又被稱為曼-惠特尼-威爾科克森檢驗(yàn)（Mann-Whitney-Wilcoxon Test），簡稱MWW檢驗(yàn)。與符號秩檢驗(yàn)不同的是，秩和檢驗(yàn)可以應(yīng)用于兩個獨(dú)立的樣本數(shù)據(jù)集。如果選自一個總體的樣本值和選自另一總體的樣本值沒有關(guān)系，或者沒有某種形式的匹配，就稱這兩個樣本是獨(dú)立的。

威爾科克森秩和檢驗(yàn)與參數(shù)檢驗(yàn)法中獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)法相對應(yīng)。當(dāng)“總體正態(tài)”這一前提不成立時，不能用t檢驗(yàn)，可以用秩和檢驗(yàn)法；當(dāng)兩個樣本都為順序變量（例如由秩組成的數(shù)據(jù)）時，也需使用秩和法進(jìn)行差異顯著性檢驗(yàn)。在應(yīng)用秩和檢驗(yàn)法時假設(shè)有兩個隨機(jī)選擇的獨(dú)立樣本。同樣，秩和檢驗(yàn)也不要求兩個總體服從正態(tài)分布或者其他特殊分布。威爾科克森秩和檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)一般如下

H₀：兩個樣本來自于具有相同分布的總體，即這兩個總體是相同的。

H₁：兩個樣本來自于具有不同分布的總體，即兩個總體在某方面有差異。

威爾科克森秩和檢驗(yàn)的核心思想是：如果兩個樣本抽取自相同的總體，且這些值都在數(shù)值的一個合并集中進(jìn)行了排序，那么高的秩和低的秩應(yīng)該平均地落在兩個樣本之中。如果在一個樣本中發(fā)現(xiàn)低秩特別顯著，而在另一樣本中發(fā)現(xiàn)高秩特別顯著，那么就有理由懷疑這兩個總體是不同的。

如何評估這些高秩和低秩是否平均地落在了兩個樣本中呢？我們用n₁來表示樣本1的容量，用n₂來表示樣本2的容量。用T來表示總體1觀察值的秩之和。如果原假設(shè)為真，即兩個總體具有相同的分布。我們從容量為N的總體1中抽取了一個容量為n₁的樣本1，所以樣本1的秩集就相當(dāng)于是從1，2，…，N的整數(shù)值中抽取的容量為n₁的一個隨機(jī)樣本。因?yàn)闃颖?和樣本2合并后產(chǎn)生的秩集是從1，2，…，n₁+n₂+1的一個整數(shù)集合，其均值為

所以在原假設(shè)前提下，T的期望和方差應(yīng)該分別為

其中用到了這樣的一個結(jié)論，即整數(shù)1，2，…，n具有標(biāo)準(zhǔn)差。

直觀上如果T比μ_T大很多或小很多，就有理由拒絕原假設(shè)。秩和檢驗(yàn)的拒絕域具體給出了，當(dāng)原假設(shè)被拒絕時T和μ_T差異的大小。在具體執(zhí)行時拒絕的臨界值可以從相關(guān)的統(tǒng)計(jì)表中查到。

對于備擇假設(shè)而言，當(dāng)兩個總體在某方面有差異，具體可以分成三種情形，首先是總體1是總體2的一個右平移，給定顯著水平，差臨界值表得到T_U，若T＞T_U，U表示Upper即右邊界，則可以拒絕原假設(shè)。其次是總體1是總體2的一個左平移，差臨界值表得到T_L，若T＜T_L，L表示Lower即左邊界，則可以拒絕原假設(shè)。顯然前兩種都是單尾的。最后一種則是雙尾的，即總體1和總體2互為平移，若T＞T_U或者T＜T_L，則拒絕原假設(shè)。

來看一個例子，現(xiàn)在討論的都是n₁≤10且n₂≤10的情況。有研究人員想檢驗(yàn)一下酒精對于反應(yīng)時間的影響。10名參與者飲用了指定劑量的含酒精飲料，另外10名則飲用同樣多的不含酒精的飲品（一種安慰劑）。參與者并不知道自己所喝的飲料中是否含有酒精。表4-17給出了這20個人對一系列測試的反應(yīng)時間（以秒計(jì)）。請問酒精是否使得反應(yīng)時間延長了？

根據(jù)描述，建立如下原假設(shè)及備擇假設(shè)。

H₀：對應(yīng)于安慰劑和酒精的兩個反應(yīng)時間總體分布相同。

H₁：對應(yīng)于安慰劑的反應(yīng)時間之總體分布是對應(yīng)于酒精的反應(yīng)時間之總體分布的左平移，及飲酒會延長反應(yīng)時間。

將兩組數(shù)據(jù)混合后排序，并編秩，中間計(jì)算結(jié)果如表4-18所示。

對于α=0.05，執(zhí)行單尾檢驗(yàn)，n₁=n₂=10，查表可得T_L=83。計(jì)算T的值，即從總體1中抽取的樣本的秩和，T=T_X=1+2+3+4+5+6+7+8+16+18=70。因?yàn)?i>T＜T_L，則拒絕原假設(shè)，進(jìn)而認(rèn)為安慰劑總體的反應(yīng)時間小于酒精總體。

在R中同樣可以使用wilcox.test（）函數(shù)來執(zhí)行威爾科克森秩和檢驗(yàn)，此時只需將參數(shù)paired的值置為默認(rèn)值FALSE即可，因?yàn)槟J(rèn)值為FALSE，所以也可缺省。示例代碼如下。

可見P值為0.003 421＜α=0.05，同樣拒絕原假設(shè)。

當(dāng)兩個樣本容量都大于10時，T的抽樣分布近似于正態(tài)；于是可以在威爾科克森秩和檢驗(yàn)中用z統(tǒng)計(jì)量代替T，即

理論上，威爾科克森秩和檢驗(yàn)要求總體分布是連續(xù)的，所以任意兩個數(shù)值相等的概率為零。在介紹秩的概念時，我們已經(jīng)給出了相等秩的處理方法。此時我們還需調(diào)整T的方差，調(diào)整后的值為

其中，k是相等數(shù)據(jù)的組數(shù)，t_j是第j組相等的觀察值中數(shù)據(jù)的個數(shù)。當(dāng)沒有相等數(shù)據(jù)時，對所有的j，t_j=1，這時情況與我們最初給出的方差公式一致。實(shí)際上，除非有許多相等數(shù)據(jù)，否則，調(diào)整對的影響不大。

來看一個例子。研究人員想確定一個湖泊中的清理工程是否奏效。為此在工程開始前，他們從湖中抽取了12個水樣，然后測定其中的溶解氧含量（單位：ppm），因?yàn)槿芙庋鹾吭谝归g有所波動，因此所有測量均在下午2點(diǎn)的高峰期進(jìn)行。工程開展前后的數(shù)據(jù)如表4-19所示。

根據(jù)描述，提出下列原假設(shè)與備擇假設(shè)

H₀：清理前后數(shù)據(jù)的分布相同。

H₁：清理前數(shù)據(jù)的分布是清理后數(shù)據(jù)分布的一個右移。

注意如果溶解氧含量降低，則說明清理工程有效，而表現(xiàn)在分布上即為清理前數(shù)據(jù)的分布是清理后數(shù)據(jù)分布的一個右移（或者說，清理后數(shù)據(jù)分布發(fā)生了左移）。

同樣，混合24個樣本觀察值，并賦與相應(yīng)的秩，處理兩個或兩個以上相同觀察值的方法遵循前面介紹的方法，即取平均值。中間結(jié)果如表4-20所示。

因?yàn)?i>n₁和n₂的值都大于10，所以可以使用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z。如果想要檢驗(yàn)出清理后觀察值的分布向左平移，那么就應(yīng)該期望樣本X的秩和就應(yīng)該較大。因此，如果z=（T-μ_T）/σ_T值較大，就應(yīng)該拒絕原假設(shè)。其中，T=T_X=10+14+14+14+17+18+19+20+21+22.5+22.5+24=216。另外根據(jù)前面給出的公式可以算得

所以檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z的值為

從圖4-2可見，這個值大于1.645，位于拒絕域內(nèi)，所以拒絕原假設(shè)。從而得出結(jié)論：清除前的分布是清除后分布的一個右平移，即清除后溶解氧的含量小于清除前的含量。

還可以用下面的代碼計(jì)算相應(yīng)的P值。

最后直接使用R提供的wilcox.test（）函數(shù)來執(zhí)行秩和檢驗(yàn)，易見最終得到的P值與前面人工算得的一致，因?yàn)?i>P值小于0.05，同樣可以據(jù)此推翻原假設(shè)，進(jìn)而認(rèn)為清理工程確實(shí)有效。

威爾科克森秩和檢驗(yàn)具有非常優(yōu)異的效力，所涉及的計(jì)算也更簡單。所以即使在正態(tài)分布得以滿足的條件下，研究人員也更傾向于使用秩和檢驗(yàn)，而非本書前面介紹的參數(shù)檢驗(yàn)。