第二章 數學的未來

為了預見數學的未來，正確的方法是研究它的歷史和現狀。

在某種意義上，這不正是我們數學家的專業程序嗎？我們習慣于外插法，這是一種從過去和現在推導未來的方法，因為我們充分地了解這相當于什么，所以關于它給予我們的結果的有效范圍，我們不會冒使我們自己受騙的危險。

迄今我們已經有了不幸的預言家。他們輕率地重申，所有能夠解答的問題都已經被解決了，除了拾遺之外，沒有留下什么事情。幸好，過去的情況使我們消除了疑慮。人們往往以為，所有問題都被解決了，或者至少已列出了一切容許的解的清單。可是，解這個詞的意義擴大了，不可解的問題變得最使大家感興趣，未曾料到的其他問題呈現出來。對于希臘人來說，好解就是只使用直尺和圓規的解；后來，它變成用求根法得到的解，接著它又變成只利用代數函數和對數函數的解。這樣一來，悲觀主義者發現他們自己總是被挫敗，總是被迫退卻，因此我現在認為不再有悲觀主義者了。

所以，我的意圖并不是反對他們，因為他們已經消亡了；我充分了解，數學將繼續發展，但是問題在于它如何發展，在什么方向發展？你將回答：“在各個方向發展”，這部分為真；如果它完全為真，那可有點駭人聽聞了。我們的豐富資料不久便會成為拖累，資料的積累也會造成一堆費解的大雜燴，猶如無知的人面對未知的真理那樣莫名其妙。

歷史學家、物理學家甚至都必須在事實中做出選擇；科學家的頭腦只能顧及宇宙之一隅，永遠也不能囊括整個宇宙；以致在自然界提供的不可勝數的事實中，一些將被忽略，另一些則被保留下來。

不用說，在數學中正是這樣；幾何學家已不再能迅速地把握所有呈現在他面前的雜亂的事實；更有甚者，因為正是他——我幾乎要說他的任性——創造這些事實。他把它的要素收集在一起構造全新的組合；一般說來，自然并沒有把預先準備好的組合給予他。

毫無疑義，有時會發生這種情況：數學家著手解決問題是為了滿足物理學的需要；物理學家或工程師請求他計算某些應用方面的數值。難道能夠說，我們幾何學家應當僅限于聽候命令，而不為我們自己的歡娛來培育科學，只是力圖使我們自己遷就我們恩主的需求嗎？假如數學除了幫助那些研究自然的人之外沒有其他目標，那我們就只好聽候命令了。這種看問題的方式合理嗎？這絕不合理；如果我們不為科學而培育精密科學，那我們就既不可能創造出數學工具，待到物理學家提出請求的那一天，我們就會無能為力。

物理學家研究一種現象，也不是要等到物質生活的某種急迫需要使它成為他們必不可少的東西；他們是對的。假使18世紀的科學家因為電在他們的眼中只是好奇的玩意兒而沒有實際利益，因此忽略電的研究，那么在20世紀，我們就既不可能有電報，也不可能有電化學或電技術。所以，不得不進行選擇的物理學家并沒有僅僅以功利來指導他們的選擇。可是，他們怎樣在自然事實之間選擇呢？我們在上一章已作了說明：使他們感興趣的事實是能夠導致發現規律的事實，這些事實因而類似于許多其他在我們看來似乎不是孤立的、而是與另外的東西緊密聚集在一起的事實。孤立的事實吸引著大家的眼睛，吸引著外行人的眼睛和科學家的眼睛。但是，唯有名副其實的物理學家才知道如何觀察，把其類似是深刻的但卻是隱蔽的許多事實結合起來的結合物是什么。牛頓（Newton）的蘋果故事恐怕不是真實的，而是象征性的；不過，讓我們把它當做真實的談一談吧。好啦，我們必須認為，在牛頓之前，好多人都看見過蘋果落地；沒有一個人知道從中如何得出任何結論。假如沒有能夠在事實中選擇、分辨在哪些事實背后隱藏某種東西，以及識別什么正在隱藏著的精神，假如沒有在未加工的事實下察覺事實精髓的精神，事實也許是毫無成果的。

我們在數學中正好發現同樣的東西。從我們正在處理的各種各樣的要素中，我們能夠得到無數個不同的組合；但是，這些組合中的一個倘若是孤立的，則其毫無價值可信。我們常常含辛茹苦地構造它，但是它卻沒有效用，也許至多不過是為初等教育提供練習而已。當這個組合在一組類似的組合中找到了位置時，當我們注意到這種類似時，它就完全是另外一個樣子了。我們就不再是面對一個事實，而是面對一個定律。在那一天，真正的發現者將不是耐心地建造某些組合的工匠；真正的發現者將是揭示它們的親緣關系的人。前者看到的只是未加工的事實，只有后者才能察覺到事實的精髓。往往為了確定這種親緣關系，足以使他構思出新名詞，這個名詞是有創造力的。科學史向我們提供了大量的大家熟知的例子。

著名的維也納哲學家馬赫曾經說過，科學的作用在于產生思維經濟，正像機器產生勞力經濟一樣。這是十分正確的。原始人用他的手指或借助卵石來計算。在給兒童教乘法表時，我們使他們以后節省了用無數堆卵石進行計算的辛勞。某人已經發現，用卵石或其他東西計算，6乘7等于42，他特意把這個結果記錄下來，因此我們不需要重復它了。他沒有白費他的時間，即使他是為消遣而計算的：他的運算只花了兩分鐘；如果10億個人在他之后重復作這個運算，那總共就要花費20億分鐘時間。

于是，事實的重要性用它產生的效益來衡量，也就是說，用它容許我們節省的思維數量來衡量。

在物理學中，具有最大效益的事實是進入十分普遍的定律中的事實，由于這些事實能夠使我們根據定律預見大量的其他事實，在數學中情況正是如此。設想我從事一項復雜的運算，費力地達到了一個結果：如果我由此還不能預見其他類似運算的結果，還不能可靠地指導運算以避免人們在首次嘗試中必須屈從的摸索，那么我就沒有補償我的辛勞。另一方面，如果這些摸索本身最終向我揭示出剛剛處理的問題深刻類似于更為廣泛一類的其他問題，如果它們一舉向我表明這些問題的相似和差異，一句話，如果它們使我察覺到概括的可能性，那么我就沒有白費我的時間。因此，這不是我已經贏得的一個新結果，而是一種新的能力。

首先想到的簡單例子是代數公式的例子，當我們最后用數字代替字母時，這些公式便把一種類型的數值問題的答案給予我們。多虧它，一次代數運算就使我們省去不斷重新開始新的數值計算的辛苦。但是，這只是一個粗糙的例子；我們大家都知道，還有不能用公式表示的、更為珍貴的類似性。

既然在把早就已知的而迄今依然分離的、似乎相互陌生的要素統一起來時，新結果突然在表面上由無序統治的地方引入秩序，那么它就是有價值的。于是，它容許我們一眼看到這些要素中的每一個以及它在集合中的位置。這個新事實不僅僅因其自身而珍貴，而且唯有它才能使它所結合的一切舊事實具有價值。我們的心智像我們的感官一樣，也是軟弱的；如果世界的復雜性不是和諧的，它就會在這種復雜性中迷失；它像一個眼睛近視的人一樣，只能看到細微末節，在審查下一個枝節前，它又會被迫忘掉先前的每一個細節，由于它不能囊括整體。唯一值得我們注意的事實是那些把秩序引入到這種復雜性中去的事實，從而是使它可以理解的事實。

數學家把重大的意義與他們的方法和他們的結果的雅致聯系起來。這不是純粹的淺薄涉獵。在解中、在證明中給我們以雅致感的實際上是什么呢？它是各部分的和諧，是它們的對稱、它們的巧妙平衡；一句話，它是所有引入秩序的東西，是所有給出統一、容許我們清楚地觀察和一舉理解整體和細節的東西。可是，這正好就是產生重大結果的東西；事實上，我們越是清楚地、越是一目了然地觀察這個集合，我們就越是徹底地察覺到它與其他鄰近對象的類似性，從而我們就有更多的機會推測可能的概括。在意外地遇見我們通常沒有匯集到一起的對象時，雅致可以產生未曾料到的感覺；在這里，它再次是富有成果的，因為它這樣便向我們揭示出以前沒有辨認出的親緣關系。甚至當它僅僅起因于方法的簡單性和提出的問題的復雜性之間的強烈對照時，它也是富有成效的；于是，它促使我們想起這種懸殊差別的理由，而且每每促使我們看到，偶然性并不是理由；它必定能在某個意想不到的定律中找到。簡言之，數學雅致感僅僅是由于解適應于我們心智的需要而引起的滿足，這個解之所以能夠成為我們的工具，正是因為這種適應。因此，這種審美的滿足與思維經濟密切相關。我又一次想到厄瑞克忒翁廟的雅致的女像柱的比喻，但是我沒有必要過于經常地利用它。

正是由于同樣的理由，當相當冗長的運算導致出某一簡單的引人注目的結果時，只要我們還未證明，我們即使不能預見完整的結果，至少應該能夠預見它的大多數特性，那我們就不會心滿意足。為什么呢？這個運算似乎把我們想要知道的一切都告訴給我們，究竟是什么東西妨礙我們以此為滿足呢？這是因為，在類似的情況中，冗長的運算不可能再起作用了，而關于能使我們預見的推理——它常常有一半是直覺的——卻不是這樣。由于這種推理簡短，我們一瞥即見它的所有部分，以致我們即時地覺察到，為了使它適應于能夠出現的同一本性的問題，我們必須改變什么。于是，它能夠使我們預見這些問題的解是否將是簡單的，它至少能夠向我們表明是否值得從事這一運算。

我們剛才所說的一切足以表明，企圖用任何機械程序代替數學家的自由的首創精神，將是多么愚蠢啊。為了得到具有真正價值的結果，刻苦地進行運算，或者擁有整理事物的機械，都是不夠的；值得花時間追求的不只是秩序，而是未曾料到的秩序。機械可以嚙噬未加工的事實，而事實的精髓將總是逃脫它。

自19世紀中期以來，數學家越來越想望得到絕對的嚴格性；他們是對的，這種傾向將越來越受到強調。在數學中，嚴格性不是一切，但是沒有它便沒有一切。不是嚴格的證明微不足道。我想沒有人辯駁這個真理。但是，如果過分照字面來理解嚴格性，我們可能會被誘使得出結論，例如在1820年之前還不存在數學；這顯然是過分了；當時的幾何學家自愿地理解了我們現在用冗長的論述說明的東西。這并不意味著他們根本沒有看到嚴格性；而是他們太迅速地越過它，要明確地領會它，就必須耐心把它講一講。

但是，總是需要這么多的次數來講它；在所有其他人之前第一個強調精密性的人，把我們可以力圖仿效的論據給予我們；可是，如果將來的證明都建立在這個模型的基礎上，那么數學論文就會十分冗長；我擔心長起來，不僅因為我不贊成書刊塞滿圖書館，而且因為我擔心這樣冗長下去，我們的證明就可能失去和諧的外觀，我剛才已說明了和諧的有用性。

思維經濟是我們應該對準的目標，因此提供仿效的模型還是不夠的。需要使我們之后的人能夠省卻這些模型，不去重復已經做出的論據，而用幾句話概括它。而且，這一點有時已經達到了。例如，有一種到處都可找到的而且處處相似的推理模式。它們是完全精密的，但卻頗為冗長。于是，“收斂的一致性”這個用語突然被想到，這個用語使這些論據變得不需要了；我們不再必須重復它們了，由于它們可以被理解。這樣一來，那些克服困難的人就給我們雙重的幫助：他們首先告訴我們在緊急時像他們那樣去做，但是尤其是，他們能夠使我們在不犧牲精密性的條件下，盡可能經常地避免像他們那樣去做。

我們剛才通過一個例子已經看到名詞在數學中的重要性，不過還可以引用許多其他例子。人們很難相信，正如馬赫所說，一個精選的名詞就能使思維有多么經濟。也許我在某處已經說過，數學是把同一名稱給予不同事物的藝術。可以說，把這些在內容上不同而在形式上有可能相似的事物納入同一模式中是恰當的。當選好語言時，我們不勝驚訝地發現，對某一對象所作的論證可直接用于許多新對象；這里什么也沒有改變，甚至連名詞也沒有改，由于名稱已變成相同的了。

一個精選的名詞通常足以消除用舊方式陳述的法則所遭受的例外；這就是為什么我們創造了負數、虛數、無窮遠點等等。我們一定不要忘記，例外是有害的，因為它掩蓋著定律。

好了，這是我們用以辨認產生巨大結果的事實的特征之一。多產的事實是容許這些巧妙的語言革新的事實。再者，未加工的事實往往沒有多大興趣；我們可以多次指出它，但對科學并沒有提供多大幫助。只有當比較有見地的思想家覺察到它所代表的關系，并用名詞把它符號化時，它才會獲得價值。

此外，物理學家的做法正好相同。他們發明了“能”這個詞，這個詞格外富有成效，因為它通過消除例外而創造了定律，由于它把同一名稱給予內容不同而形式相似的事物。

在具有最幸運的影響的名詞中，我可以挑選出“群”和“不變量”。它們使我們看到許多數學推理的實質；它們向我們表明，在多少情況下，以往的數學家是在不明其義的情況下考慮群的，他們是怎樣突然地發現它們不知何故這么接近，他們原以為它們彼此相距甚遠呢。

今天，我們可以說，他們處理的是同構群。我們現在知道，在一個群中，內容幾乎沒有什么興趣，唯有形式才有考慮的價值；當我們了解一個群時，我們從而也就了解所有的同構群；由于“群”和“同構”這些名詞把這個微妙的法則濃縮在幾個符號內，并使所有的心智迅速地通曉它，因此轉變是即時的，能夠以充分的思維經濟努力完成。此外，群的觀念歸屬于變換的觀念。我們為什么要把這樣的價值放在新變換的發明上呢？因為從一個定理，能使我們得到10個或20個定理；這與在緊靠整數的右邊加一個零具有同樣的價值。

于是，這就是迄今決定數學進展方向的東西，將來肯定還將同樣地決定它。可是，所提出的問題的性質同樣有助于這個目標。我們不能忘記，我們的目的應當是什么。按照我的觀點，這個目的是雙重的。我們的科學與哲學和物理學二者相毗鄰，我們為我們的兩個鄰居而工作；因此，我們總是看到，而且還將繼續看到，數學家在兩個相反的方向上前進。

另一方面，數學科學必須反思自身；由于反思自身就是反省創造它的人類心智，因而它是有用的；因為它真正是人類心智從外界所借取的東西最少的創造物之一，所以它就更加有用了。這就是為什么某些數學推測是有用的，例如專門研究公設、非尋常幾何、特殊函數的推測。這些推測距通常的概念以及距自然界和應用愈遠，它們就愈加充分地向我們表明，當人類心智越來越多地擺脫外部世界的羈絆時，它能夠創造出什么東西，因此它們就愈加充分地讓我們在本質上了解人類心智。

但是，我們必須指揮我們的主力部隊向其他方面前進，即向自然界方面前進。在這里，我們遇到了物理學家和工程師，他們對我們說：“請給我積分這個微分方程吧；我可能在一周后需要它，由于到那時我要完成一項建筑圖。”我們回答說：“這個方程不能歸入可積類型之一；你也知道可以積分的方程并不多。”“是的，我知道；但是到那時你有什么作用呢？”通常相互諒解也就夠了；工程師實際上不需要無限項的積分；他需要知道積分函數總的概貌，或者他只要求實際上能夠從這個積分推演出來的某一個數，倘若這個積分已知的話。通常它不是已知的，但是沒有它我們也能計算出這個數，只要我們確切地知道工程師需要什么數以及要達到什么近似程度就可以了。

從前，只有當一個方程的解能夠借助于有限數目的已知函數表示時，人們才認為解了方程；但是，這種可能性百中難得其一。我們經常能夠做的，或者恰當地講，我們應該經常力圖去做的，可以說是定性地解決問題；也就是說，力圖去了解表示未知函數的曲線的一般形狀。

依然要尋找問題的定量的解；可是，如果未知數不能用有限的運算決定，那么它總是可以用能使我們計算它的無限收斂級數來表示。能夠認為這是它的真實解嗎？我們聽說，牛頓曾給萊布尼茲（Leibnitz）寄了一個字謎，其內容大致是aaaaabbbeeeeii等。萊布尼茲當然一點也不理解它；但是，我們掌握這個字謎的秘訣，了解它的意思，把它譯成現代詞語就是：“我能夠積分一切微分方程”；而我們卻被誘使說，牛頓要不就是十分幸運，要不就是有奇怪的錯覺。牛頓只是想說，他能夠形成（用未定系數法）一個形式上滿足所提出的方程的冪級數。

這樣的解今天不會使我們滿意，其理由有二：因為收斂太慢，因為相互緊隨的項不服從任何規律。相反地，Θ級數在我們看來好像是完美無缺的，首先因為它收斂很快（這有利于希望盡可能快地得到一個數的實際人），其次因為我們一瞥即見項的規律（這可以滿足理論家的審美需示）。

但是，這樣一來，就不再有已解的問題和未解的問題；有的只是或多或少已被解決的問題，或者它們可以通過程度不同的迅速收斂的級數來解，或者它們由程度不同的和諧的定律來支配。不過，往往發生這種情況：不完美的解把我們引向比較完美的解。有時，級數收斂過慢，以致計算無法實際進行，我們僅僅得以證明問題的可能性。

于是，這位工程師覺得這是一種嘲弄，這恰恰由于它沒有幫助他在規定的日期完成他的建筑圖。他不想了解，它是否將會有益于22世紀的工程師們。但是，至于我們，我們卻不這么認為，能為我們后代省卻一天工作，有時也比為我們同代人節約一個小時更為使我們感到幸福。

可以說，有時通過在經驗上摸索，我們達到一個充分收斂的公式。工程師說：“你們還需要什么？”可是，不管怎樣，我們仍不滿足；我們希望預見那個收斂。為什么？因為只要我們一次知道怎樣預見它，我們就會知道下一次如何預見它。我們成功了；如果我們不能再次有效地預期這樣做，那么成功在我們看來也不過是小事一樁而已。

隨著科學的發展，對它做整體的理解也變得更加困難；于是，我們企圖把它分割成小塊，而滿足于這些小塊之一：換句話說，企圖使它專門化。如果我們在這條道路上繼續走下去，那就會為科學的進步設置嚴重的障礙。正如我們所說，科學進步正是由于它的各部分之間未曾料到的結合引起的。過分專門化便會妨礙這些結合。希望像海德堡會議和羅馬會議這樣的會議，通過使我們彼此之間接觸，將向我們打開鄰近領域的視野，促使我們把鄰近領域與我們自己的領域加以比較，以便探尋我們自己的小群落之外的東西；因此，它們將是對剛才所提到的危險的最好補救辦法。

然而，我在概括上拖延的時間太長了；現在是逐一詳述的時候了。

讓我們分別審查一下各門特殊學科，它們聯合起來構成了數學；讓我們看看，每門學科完成了什么，它向哪里發展，我們對它可以有什么希望。如果原先的觀點是正確的，那么我們就會看到，過去的最大進展發生在這些學科中的兩個結合之時，發生在我們開始意識到它們形式的類似性而不管它們內容的差別之時，發生在它們相互之間如此模仿以致一個獲勝而另一個也會受益之時。與此同時，我們可以在同類的結合中預見未來的進步。

算術

與代數和分析相比，算術的進步慢得多，容易看到其中的原因。連續性的感覺是一種寶貴的指導，但是算術家卻缺少它；每一個整數都與其他整數相分離——也就是說它具有自己的獨立存在性。它們中的每一個都是一種例外，這就是在數論中普遍定理比較稀少的原因；這也是存在的定理隱藏得比較多，而且比較長期地使研究人員為難的原因。

如果說算術落后于代數和分析，為此最有效的做法是，力圖使算術仿效這兩門學科，以便從它們的進展中獲得好處。因此，算術家應當把與代數的類似作為指導。這些類似是大量的，在許多情況中，即使還沒有充分仔細地研究它們是否可以利用，但至少長期以來已預見到它們，甚至這兩門學科的語言表明，人們已清楚地認識它們。我們這樣談論超越數，我們這樣闡明超越數的未來分類，已經讓超越函數的分類作為模型，我們迄今還沒有十分明確地看到如何從一種分類過渡到另一種分類；但是，假如人們已認識到它，那么它已經被完成了，它已不再是將來的工作了。

我想起的第一個例子是同余理論，在其中可以找到與代數方程理論完全的平行性。的確，我們將會成功地完成這種平行性，例如這種平行性必須在代數曲線理論和兩個變量的同余理論之間成立。而且，當要解決與幾個變量的同余有關的問題時，這將是通向解決許多不定分析問題的第一步。

代數

代數方程理論還將長期地引起幾何學家的注意，人們可以著手研究的方面是很多的、很不同的。

我們無須認為代數走到了盡頭，因為它給我們以形成所有可能組合的規則；依然要尋找滿足某種條件的有趣的組合。這樣一來將形成一種不定分析，其中的未知數將不再是整數，而是多項式。這時，代數本身將仿效算術，以致整數與具有任意系數的整多項式或具有整系數的整多項式可以類比。

幾何學

看起來，好像幾何學包含的無非是在代數或分析中已經包括的東西；幾何學事實只不過是用另一種語言表達的代數事實或分析事實。因此，可以認為，在我們考察之后，沒有多少特別與幾何學有關的東西供我們談論了。這也許是沒有明確認識到精心構造的語言的重要性，不理解借助于表示這些事物的方法以及分類它們的方法把什么添加到事物本身之中。

首先，幾何學的考慮導致我們向我們自己提出新問題；如果你樂意的話，這些問題可以是解析問題，但是在解析方面，我們向我們自己永遠也提不出這樣的問題。不過，解析因這些問題受益，正如它因為了滿足物理學的需要而必須解決的問題受益一樣。

幾何學的巨大優點在于下述事實：在其中感官能夠幫助思維，有助于發現前進的道路，許多心智都偏愛把解析問題化為幾何學形式。不幸的是，我們的感官不能把我們帶得很遠，當我們想超越經典的三維時，感官就舍棄我們。這難道意味著，超過感官似乎希望把我們束縛于其內的有限領域，我們只能依靠純粹解析，所有大于三維的幾何學都是徒勞的和無目的的嗎？前一輩的大師們可能回答“是”；今天，我們如此熟悉這個概念，以致我們甚至能在大學課程中談及它了，而不會引起過多的驚訝。

但是，它有什么用處呢？這很容易看到：首先，它給我們以十分方便的術語，這種術語簡潔地表達了通常解析語言用冗長的用語才能講清的東西。而且，這種語言使我們用同一名稱稱謂相似的事物，使我們突出類似性，讓我們永遠不再忘記它。因此，這種語言還能使我們在對我們來說太重要的而我們卻無法看見的空間中找到我們的道路，這種空間使我們總是回想起視覺空間，視覺空間無疑只是它的不完善的圖像，但不管怎樣總是一種圖像。與前面所有的例子一樣，這里又一次出現了與簡單事物的類似性，這使我們能夠理解復雜事物。

這種大于三維的幾何學不是簡單的解析幾何學；它不是純粹定量的，而是定性的，正是在這方面，它變得尤其有趣。有一種學科叫拓撲學，它把研究圖形的不同要素的位置關系作為它的對象，而不管各要素的大小。這種幾何學是純粹定性的；即使圖形不是精密的，是孩子粗略地摹擬的，其定理卻依然為真。我們也可以創造出大于三維的拓撲學。拓撲學的重要性是巨大的，但也不能強調得太過分了；拓撲學的主要創始人之一黎曼（Riemann）從中得到的好處足以證明這一點。我們必須得到它在多維空間中的完備結構；我們因而將有一種工具，能使我們實際上能在多維空間內觀察，以彌補我們的感官。

假如只講解析語言，那么拓撲學問題也許還不會提出；或者確切地講，我弄錯了，這些問題確實出現了，由于它們的解答對于一大堆解析問題是必不可少的，但是它們是一個接一個地單獨來到的，我們未能察覺到它們共同的結合物。

康托爾主義

上面我已經說過，我們需要繼續回到數學的第一原理，還說過這對于研究人類心智有什么好處。這種需要喚起了兩種努力，它們在最近的數學編年史上占據了十分突出的位置。第一種是康托爾主義，它對數學提供了顯著的幫助。康托爾（Cantor）把一種新的考慮數學無窮的方法引入科學。康托爾主義的特征之一在于，它不是通過建立越來越復雜的構造上升到一般，不是通過構造來定義的，正如學究們所說的，它從最高類出發，只通過最近類和種差來定義。它有時在某些心智上引起的極端厭惡便由此而來，例如埃爾米特（Hermite）即是其中之一，他特別偏愛的觀念就是把數學科學和自然科學加以對照。就我們大多數人而言，這些偏見已經煙消云散了，但是卻出現了這樣的情況：我們意外地碰到了某些悖論，即某些表面上的矛盾，它們會使愛利亞人芝諾（Zeno the Eleatic）和邁加拉學派（the school of Megara） ^[2] 感到高興。因此，每一個人都必須尋求補救辦法。就我個人——不僅僅是我一個人——而言，我認為，重要的事情永遠是引入能用有限的詞完備定義的實體。不管采納什么治療方案，我們都可以指望像請來的醫生那樣高興，因為他是仿效絕妙的病理學方面的案例來診治的。

公設的探討

另一方面，人們曾努力列舉或多或少隱藏的公理和公設，把它們作為各種不同的數學理論的基礎。希爾伯特（Hilbert）教授獲得了最輝煌的成果。乍看起來，這個領域似乎是很有限的，當花不了多長時間把目錄編好后，就不會有什么事可做了。但是，當我們清點了所有的東西后，就將有多種分類這一切的方法；一個健全的圖書館總可以找到某些要做的事情，每一種新分類法都會對哲學家有所啟發。

在這里，我要結束這一考察了，我不會夢想使考察完善。我認為，這些例子將足以表明，數學科學通過什么機制在過去取得了進步，它們將來必須在什么方向上進展。

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[1] 這一學派為古希臘詭辯論哲學家歐克萊得斯（約公元前450—前380）所創，因其出生地邁加拉（墨伽拉）而得名，它對斯多葛學派有影響。——中譯者注