2.5　多因子模型比較

2.2.5節(jié)提到，所有的多因子模型都是“不完美”的。而這句話的后半句是有些多因子模型是“有用”的。如果一個(gè)模型中的因子都有可靠的經(jīng)濟(jì)學(xué)或金融學(xué)依據(jù)，代表了某種風(fēng)險(xiǎn)[1]，且該多因子模型能夠解釋大量資產(chǎn)的預(yù)期收益，那么該模型就是有用的。然而從不同的邏輯出發(fā)，人們總能提出不同的因子，并用它們組合出不同的多因子模型。對(duì)于不同的多因子模型，應(yīng)該如何進(jìn)行比較呢？有哪些統(tǒng)計(jì)學(xué)方法能幫人們做出科學(xué)的判斷呢？介紹比較多因子模型的方法就是本節(jié)的內(nèi)容。

要比較多因子模型，可以本著“兩個(gè)目標(biāo)、兩個(gè)切入點(diǎn)、多種方法”這條邏輯主線進(jìn)行。先看兩個(gè)目標(biāo)。Barillas and Shanken（2017）指出，評(píng)價(jià)一個(gè)多因子模型要看它能否解釋用來檢驗(yàn)該模型的資產(chǎn)（英文為test assets，本書將其譯為測(cè)試資產(chǎn)）以及該模型能否解釋其他模型的因子。因此，比較不同多因子模型對(duì)同一組測(cè)試資產(chǎn)的解釋程度就是第一個(gè)目標(biāo)；而不同多因子模型兩兩相互檢驗(yàn)?zāi)芊窠忉屗说囊蜃泳褪堑诙€(gè)目標(biāo)。再來看兩個(gè)切入點(diǎn)。無論是解釋測(cè)試資產(chǎn)還是其他因子，被解釋的資產(chǎn)往往都是多個(gè)。當(dāng)評(píng)價(jià)一個(gè)多因子模型時(shí)，聯(lián)合檢驗(yàn)多個(gè)資產(chǎn)定價(jià)誤差是否為零就是第一種切入點(diǎn)；而單獨(dú)考察這些資產(chǎn)的定價(jià)誤差是否為零則是另一種切入點(diǎn)。無論采取哪種切入點(diǎn)，都有具體的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。如果目標(biāo)是聯(lián)合檢驗(yàn)定價(jià)誤差，則可以使用GRS檢驗(yàn)以及均值—方差張成（mean-variancespanning）檢驗(yàn)；如果目標(biāo)是把定價(jià)誤差獨(dú)立看待，則可以使用α檢驗(yàn)。

比較多因子模型的核心是從某個(gè)切入點(diǎn)出發(fā)，選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法。一旦有了方法，它就既可以被用來檢驗(yàn)測(cè)試資產(chǎn)，也可以被用來進(jìn)行不同模型包含的因子的相互檢驗(yàn)。換句話說，不管是用測(cè)試資產(chǎn)還是用其他模型的因子當(dāng)被解釋變量，對(duì)于統(tǒng)計(jì)方法本身是沒有太大差異的。因此，下文將以不同切入點(diǎn)介紹不同的檢驗(yàn)方法。在實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)的研究中，來自這兩個(gè)切入點(diǎn)的不同方法經(jīng)常被同時(shí)使用，其目的是讓模型之間孰優(yōu)孰劣的結(jié)論更加可靠。接下來的2.5.1節(jié)和2.5.2節(jié)兩節(jié)首先分別介紹GRS和均值—方差張成檢驗(yàn)，它們都是聯(lián)合檢驗(yàn)定價(jià)誤差的方法。這兩種方法的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（test statistic）的表達(dá)式差異并不大，而且背后也有著千絲萬縷的聯(lián)系，2.5.3節(jié)將從幾何的角度解釋它們的差異。2.5.4節(jié)將會(huì)介紹α檢驗(yàn)，它也是非常流行的一種檢驗(yàn)方法，但與前面兩種方法不同，它并不是把所有定價(jià)誤差聯(lián)合看待，而是獨(dú)立看待。最后，2.5.5節(jié)簡要介紹貝葉斯方法。

2.5.1　GRS檢驗(yàn)

GRS檢驗(yàn)由Michael Gibbons、Stephen Ross以及Jay Shanken提出，并由此得名。在2.2.1節(jié)介紹多因子模型的時(shí)序回歸檢驗(yàn)時(shí)已經(jīng)對(duì)該方法進(jìn)行了介紹，并給出了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。假設(shè)有N個(gè)用于檢驗(yàn)的資產(chǎn)，并假設(shè)待檢驗(yàn)的多因子模型中有K個(gè)因子。令=表示全部N個(gè)資產(chǎn)的定價(jià)誤差向量，表示t期N個(gè)資產(chǎn)無法被該多因子模型解釋的殘差向量，表示t期K個(gè)因子的收益率向量，則根據(jù)（2.16）可知GRS統(tǒng)計(jì)量為：

GRS檢驗(yàn)有兩個(gè)吸引人的優(yōu)點(diǎn)。首先，它的F-統(tǒng)計(jì)量是有限樣本（finite sample）下的統(tǒng)計(jì)量，即GRS檢驗(yàn)給出了給定樣本大小T下這些定價(jià)誤差應(yīng)滿足的聯(lián)合分布，該檢驗(yàn)是高度精確的。當(dāng)樣本量趨于無窮的時(shí)候，的聯(lián)合分布漸進(jìn)趨于χ2分布，但在有限樣本下使用χ2分布并不可靠，這就凸顯了GRS檢驗(yàn)的價(jià)值。其次，GRS檢驗(yàn)有非常高的檢驗(yàn)效力。當(dāng)然，任何事物都有兩面。GRS統(tǒng)計(jì)量的精確性高度依賴正態(tài)分布假設(shè)。在現(xiàn)實(shí)中，該假設(shè)可能過于嚴(yán)格而無法滿足，這會(huì)降低GRS檢驗(yàn)在實(shí)踐中的吸引力。另外，GRS檢驗(yàn)要求樣本數(shù)T大于資產(chǎn)個(gè)數(shù)N。這意味著當(dāng)用來檢驗(yàn)的資產(chǎn)個(gè)數(shù)很大時(shí)，需要使用更長窗口的歷史數(shù)據(jù)來計(jì)算GRS統(tǒng)計(jì)量。

盡管以上種種，時(shí)至今日，GRS檢驗(yàn)仍被學(xué)術(shù)界廣泛使用。比如Liu et al.（2019）使用GRS檢驗(yàn)比較了他們提出的中國版三因子模型和Fama and French（1993）三因子模型在A股市場(chǎng)上的效果。在GRS檢驗(yàn)中，將這兩個(gè)模型之間的因子互為解釋和被解釋變量。結(jié)果顯示，中國版三因子模型能夠解釋Fama and French（1993）中的因子，而Fama and French（1993）三因子模型無法解釋中國版三因子，因此中國版三因子模型更適用于A股市場(chǎng)[2]。

借助計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力，人們可以根據(jù)式（2.16）式很容易地求出GRS統(tǒng)計(jì)量。但是這個(gè)看上去復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式對(duì)理解該檢驗(yàn)背后的本質(zhì)似乎沒有太大幫助。好消息是，GRS統(tǒng)計(jì)量還有另外一種形式：

式中，表示由全部N個(gè)資產(chǎn)和K個(gè)因子構(gòu)成的某個(gè)事后（ex post）最大夏普比率投資組合的夏普比率；表示由全部K個(gè)因子構(gòu)成的某個(gè)事后最大夏普比率投資組合的夏普比率。因此，GRS統(tǒng)計(jì)量可以直觀地理解為：在K個(gè)因子之外加入N個(gè)資產(chǎn)之后，能夠獲得的最大夏普比率是否顯著高于僅由K個(gè)因子實(shí)現(xiàn)的最大夏普比率，如果夏普比率顯著提高，那么該因子模型就不能解釋這N個(gè)資產(chǎn)。注意，即便原假設(shè)被拒絕，也僅能說這N個(gè)資產(chǎn)作為一個(gè)整體無法被該多因子模型解釋，但卻無法知道具體哪個(gè)或哪幾個(gè)資產(chǎn)發(fā)揮了作用，這是因?yàn)镚RS檢驗(yàn)是聯(lián)合檢驗(yàn)。2.5.3節(jié)將從式（2.68）引出GRS統(tǒng)計(jì)量的幾何解釋。

2.5.2　均值—方差張成檢驗(yàn)

Huberman and Kandel（1987）提出的均值—方差張成（mean–variance spanning）檢驗(yàn)是另一種常見的聯(lián)合檢驗(yàn)手段。從名字就不難看出來，這種方法和Markowitz（1952）提出的現(xiàn)代投資組合理論（Modern Portfolio Theory）以及均值—方差分析有著緊密的聯(lián)系。Kan and Zhou（2012）對(duì)均值—方差張成檢驗(yàn)進(jìn)行了系統(tǒng)而全面的介紹。

這種方法的核心無疑是“張成（spanning）”兩個(gè)字。假如市場(chǎng)中有K個(gè)因子投資組合；通過按各種不同的權(quán)重配置它們又能得到許多新的組合。對(duì)于每個(gè)給定的預(yù)期收益率，都能找到這K個(gè)資產(chǎn)的唯一一種配置權(quán)重，使得該組合是所有預(yù)期收益率等于的組合中方差最低的，這個(gè)特殊的投資組合就是預(yù)期收益率為的最小方差組合。把不同的最小方差組合都繪制在橫坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)差、縱坐標(biāo)為預(yù)期收益的二維平面內(nèi)，就得到了最小方差前沿（minimum–variance frontier），它的形狀是一個(gè)拋物線，如圖2.8所示。

圖2.8中的最小方差前沿就是由這K個(gè)因子張成的（spanned），這就是這種方法得名的原因。而這種檢驗(yàn)所關(guān)注的問題是，加入N個(gè)新的（來檢驗(yàn)該模型的）資產(chǎn)后，這全部N+K個(gè)資產(chǎn)張成的新的最小方差前沿能否“優(yōu)于”僅由K個(gè)因子張成的最小方差前沿。這里，“優(yōu)于”意味著對(duì)于每一個(gè)給定的，N+K個(gè)資產(chǎn)張成的前沿上的點(diǎn)都比K個(gè)因子張成的前沿上的點(diǎn)有更低的方差，這就是均值—方差張成檢驗(yàn)的直觀解釋。

下面來看看數(shù)學(xué)上的這種檢驗(yàn)的原假設(shè)是什么。令代表t期N+K個(gè)資產(chǎn)的收益率向量，其中R1t和R2t分別為K個(gè)因子和N個(gè)資產(chǎn)的收益率向量。接下來，定義這N+K個(gè)資產(chǎn)的預(yù)期收益率和收益率的協(xié)方差矩陣：

由多因子模型可知：

R2t=α+βR1t+εt　（2.70）

利用μ和V可以求出α=μ2-βμ1以及。接下來，定義δ=1N-β1K（其中1N和1K分別為N和K階元素全是1的向量）。由此，Huberman and Kandel（1987）給出了均值—方差張成檢驗(yàn)的原假設(shè)的充要條件：

H0:α=0N, δ=0N?。?.71）

式中，0N表示N維零向量。當(dāng)原假設(shè)式（2.71）成立時(shí)，對(duì)于任何一個(gè)用來檢驗(yàn)的資產(chǎn)（或這些資產(chǎn)的組合），總能使用原始的K個(gè)因子來構(gòu)建一個(gè)投資組合，并使得該投資組合的預(yù)期收益率和測(cè)試資產(chǎn)的預(yù)期收益率相同，但方差更低。其中前者由α=0N和δ=0N（即β1K=1N）保證；而后者由式（2.70）中R1t和εt不相關(guān)，且var（εt）>0保證。這兩條關(guān)于預(yù)期收益率和方差的性質(zhì)說明，這N個(gè)資產(chǎn)無法在K的基礎(chǔ)上張成更優(yōu)的最小方差前沿，因此可以接受原假設(shè)。

除了上述數(shù)學(xué)含義外，從由全部N+K個(gè)資產(chǎn)張成的最小方差前沿上也能夠找到上述原假設(shè)的直觀解釋。Kan and Zhou（2012）指出，在這個(gè)最小方差前沿上存在兩個(gè)特殊的投資組合。其一是全局最小方差組合（global minimum–variance portfolio），其二是從均值—方差二維平面的原點(diǎn)向最小方差前沿做切線的切點(diǎn)。如果原假設(shè)成立，則條件δ=0N意味著全局最小方差投資組合中，N個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重都是零，即該組合完全由K個(gè)因子構(gòu)成。類似的，條件α=0N意味著切點(diǎn)投資組合中N個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重都是零，因此該組合同樣完全由K個(gè)因子構(gòu)成。換句話說，這兩個(gè)特殊的投資組合均僅僅由K個(gè)因子構(gòu)成，而N個(gè)資產(chǎn)對(duì)它們沒有任何貢獻(xiàn)。另外，在投資組合理論中，有一個(gè)重要的定理叫作“兩基金分離定理”（two-fund separation theorem）。它的含義是，使用最小方差前沿上的任意兩個(gè)組合就能構(gòu)造出整個(gè)前沿，即前沿上的其他組合都可以由這兩個(gè)投資組合的某種線性組合得到（Merton 1972）。根據(jù)“兩基金分離定理”，如果這兩個(gè)投資組合中均不包含N個(gè)測(cè)試資產(chǎn)，那么整個(gè)由N+K個(gè)資產(chǎn)構(gòu)成的最小方差前沿上的所有投資組合都不包含這N個(gè)資產(chǎn)，這便解釋了為什么α=0N和δ=0N是原假設(shè)成立的充要條件。

雖然以上直觀地解釋了均值—方差張成檢驗(yàn)要干什么以及它的原假設(shè)是什么，但為了進(jìn)行檢驗(yàn)，還是要用到具體的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量的。在這方面，Huberman and Kandel（1987）一文最早提出了似然比（likelihood ratio）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。而Kan and Zhou（2012）又通過Wald檢驗(yàn)和拉格朗日乘數(shù)（Lagrange multiplier）檢驗(yàn)構(gòu)建了兩個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。這三個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在大樣本下都漸進(jìn)滿足自由度為2N的χ2分布。

這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式十分接近，且均和兩個(gè)重要參數(shù)s1和s2有關(guān)。關(guān)于這兩個(gè)參數(shù)，Kan and Zhou（2012）給出了一個(gè)非常直觀的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。為了介紹它，首先需要一些鋪墊?？紤]圖2.9所示的均值—方差平面中由K個(gè)因子張成的最小方差前沿。在縱軸上?。?, r）點(diǎn)并從它向最小方差前沿做切線，找到切點(diǎn)組合。定義：

它表示這條切線的斜率。由于不同的（0, r）點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生不同的切線，因此是r的函數(shù)。當(dāng)r等于無風(fēng)險(xiǎn)利率Rf時(shí)，恰恰就是從（0, Rf）出發(fā)得到的切點(diǎn)組合的夏普比率（Sharpe 1966a）。

當(dāng)把N個(gè)資產(chǎn)加入后，使用全部N+K個(gè)資產(chǎn)張成最小方差前沿并按類似式（2.72）的方式定義便可得到s1和s2的表達(dá)式：

最后，通過s1和s2求出似然比檢驗(yàn)、Wald檢驗(yàn)以及拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量（分別記為LR、W和LM）：

這三種檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量雖然略有差異，但它們都是以某種形式將s1和s2“加”起來作為一個(gè)綜合的分?jǐn)?shù)來檢驗(yàn)原假設(shè)的。由s1和s2的定義可知，人們實(shí)際上是在均值—方差平面的縱軸上搜尋兩個(gè)特殊的r。對(duì)于第一個(gè)r，由K和N+K個(gè)資產(chǎn)張成的最小方差前沿上的相應(yīng)的兩個(gè)切點(diǎn)的值差異最大；對(duì)于第二個(gè)r，由K和N+K個(gè)資產(chǎn)張成的最小方差前沿上的相應(yīng)的兩個(gè)切點(diǎn)的值差異最小。這三種統(tǒng)計(jì)量以這兩個(gè)特殊r下兩個(gè)前沿的綜合差異來檢驗(yàn)它們是否在統(tǒng)計(jì)上有所不同，一旦結(jié)果顯示統(tǒng)計(jì)上并無顯著不同，就接受原假設(shè)。以上是大樣本下三種均值—方差張成檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)樣本量T較資產(chǎn)數(shù)N+K不足夠大時(shí)，使用上述統(tǒng)計(jì)量并不準(zhǔn)確，更好的方法是像GRS檢驗(yàn)一樣計(jì)算有限樣本下的統(tǒng)計(jì)量。從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)有限樣本下統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式十分煩瑣，且超出了本書的范疇。好消息是，Kan and Zhou（2012）給出了這些統(tǒng)計(jì)量的幾何解釋，2.5.3節(jié)將對(duì)其進(jìn)行介紹。

關(guān)于均值—方差張成檢驗(yàn)的應(yīng)用，一個(gè)很有代表性的例子是Han et al.（2016）。三位作者針對(duì)美股提出了一個(gè)趨勢(shì)因子，它不同于傳統(tǒng)的動(dòng)量或反轉(zhuǎn)，而是將不同時(shí)間尺度下收益率的動(dòng)量和反轉(zhuǎn)現(xiàn)象綜合到一起，構(gòu)建了一個(gè)綜合的趨勢(shì)因子。該文使用新的趨勢(shì)因子作為測(cè)試資產(chǎn)，用傳統(tǒng)的短期反轉(zhuǎn)、中期動(dòng)量以及長期反轉(zhuǎn)因子作為解釋變量，通過均值—方差張成檢驗(yàn)進(jìn)行了分析。結(jié)果顯示，這三個(gè)因子無法解釋新的趨勢(shì)因子，即加入新的趨勢(shì)因子后，最小方差前沿將會(huì)得到顯著提升。

2.5.3　從幾何角度比較GRS和均值—方差張成

對(duì)比式（2.75）~式（2.77）中的統(tǒng)計(jì)量（并代入s1和s2的定義）和式（2.68）中GRS檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，能夠發(fā)現(xiàn)這些表達(dá)式中都有。只不過GRS檢驗(yàn)中的默認(rèn)的是用無風(fēng)險(xiǎn)收益率Rf計(jì)算的夏普比率，而均值—方差張成檢驗(yàn)中的使用一般的r計(jì)算，這意味著它們之間注定有一些關(guān)聯(lián)。

不嚴(yán)格地說，無論是GRS檢驗(yàn)還是均值—方差張成檢驗(yàn)都是為了檢驗(yàn)新增加的N個(gè)資產(chǎn)能否在原始的K個(gè)因子上提高投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益的特征的。如果答案是肯定的，那么就拒絕原假設(shè)，即這N個(gè)資產(chǎn)聯(lián)合起來無法被K個(gè)因子解釋。既然是為了同一個(gè)目標(biāo)，那么它們之間又有什么差異呢？最直觀的說明無異于使用幾何方法解釋它們的含義，這就是本節(jié)的重點(diǎn)。從現(xiàn)代投資組合理論中的有效前沿（efficient frontier）說起。

首先假設(shè)市場(chǎng)中存在無風(fēng)險(xiǎn)收益率Rf，且人們能夠沒有任何限制地按照Rf來借貸。在這種情況下，現(xiàn)代投資組合理論指出有效前沿是圖中經(jīng)過（0, Rf）和切點(diǎn)組合的直線（圖2.10（a））。無論一個(gè)人能容忍的最大風(fēng)險(xiǎn)（即）是什么，都應(yīng)該通過無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和切點(diǎn)組合（tangency portfolio）的某種線性組合實(shí)現(xiàn)最優(yōu)選擇，因?yàn)檫@條線的斜率最高，意味著有效前沿上任何點(diǎn)的夏普比率都最高。

GRS檢驗(yàn)假設(shè)市場(chǎng)中存在無風(fēng)險(xiǎn)收益率Rf，且可以無約束借貸。回顧一下式（2.68）不難發(fā)現(xiàn)，GRS檢驗(yàn)關(guān)注的核心是在加入N個(gè)資產(chǎn)之后，使用全部N+K個(gè)資產(chǎn)得到的切點(diǎn)組合能否比僅僅使用K個(gè)因子得到的切點(diǎn)組合有更高的夏普比率。除切點(diǎn)組合外，GRS檢驗(yàn)不關(guān)心最小方差前沿上的其他點(diǎn)。圖2.11進(jìn)一步說明了這一點(diǎn)。

為了方便解釋，圖2.11中的縱坐標(biāo)采取了相對(duì)Rf的超額收益。如果被檢驗(yàn)的多因子模型無法解釋N個(gè)資產(chǎn)，那么在加入N個(gè)資產(chǎn)后能夠顯著提升切點(diǎn)組合的夏普比率。在圖2.11中，從橫坐標(biāo)上的點(diǎn)出發(fā)做一條豎直線，它和兩條切線分別相交于A、B兩點(diǎn)。由夏普比率定義可知，A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)恰恰就分別等于。由此可知，分別為線段OA和OB的長度?；仡櫼幌翯RS統(tǒng)計(jì)量式（2.68），它正是由之比計(jì)算的。因此GRS檢驗(yàn)的幾何意義就是考察線段OB的長度是否顯著大于線段OA的長度。

接下來看看均值—方差張成檢驗(yàn)的幾何含義。作為回顧，前面2.5.2節(jié)介紹了三種統(tǒng)計(jì)量，并指出這些統(tǒng)計(jì)量是大樣本下的漸進(jìn)性質(zhì)。本節(jié)的幾何解釋則給出了這些統(tǒng)計(jì)量在有限樣本中的含義。前面的介紹已經(jīng)指出，GRS檢驗(yàn)假設(shè)市場(chǎng)中存在無風(fēng)險(xiǎn)收益率Rf，以及可以按Rf無約束借貸，因此它僅關(guān)注切點(diǎn)組合。與GRS檢驗(yàn)不同，均值—方差張成檢驗(yàn)并不假設(shè)Rf的存在，因此適應(yīng)更廣泛的情況。

當(dāng)不存在無風(fēng)險(xiǎn)收益率Rf時(shí)，有效前沿由最小方差前沿的上半部分組成（圖2.10（b））。因此，為了比較K個(gè)因子張成的前沿和全部N+K個(gè)資產(chǎn)張成的最小方差前沿，僅僅比較切點(diǎn)組合是不夠的——事實(shí)上，因?yàn)椴淮嬖?span id="fohojp9" class="content-word-italic">Rf，因此也沒有傳統(tǒng)意義上的切點(diǎn)組合。這種情況的解決之道是，從兩個(gè)最小方差前沿上找到兩個(gè)特殊的點(diǎn)進(jìn)行比較，這正是均值—方差張成檢驗(yàn)的幾何含義。而三種不同檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之間的差異僅僅因?yàn)樗鼈兏髯赃x擇的特殊點(diǎn)不盡相同。

圖2.12展示了不同檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量用到的關(guān)鍵點(diǎn)。圖中gK和gN+K分別為由K個(gè)因子和全部N+K個(gè)資產(chǎn)張成的事后最小方差投資組合，這兩個(gè)點(diǎn)代表的投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差的大小由線段OD和OC的長度表示。接下來，以這兩個(gè)點(diǎn)向縱軸做垂線，找到點(diǎn)A和點(diǎn)B。從點(diǎn)A出發(fā)向K個(gè)因子的最小方差前沿做切線，切線和直線=1相交于點(diǎn)G，同樣從點(diǎn)A出發(fā)做N+K個(gè)資產(chǎn)的最小方差前沿的漸進(jìn)線，漸進(jìn)線和直線=1相交于點(diǎn)H。類似的，以點(diǎn)B為起點(diǎn)，做N+K個(gè)資產(chǎn)的最小方差前沿的切線，做K個(gè)因子的最小方差前沿的漸進(jìn)線，它們分別與直線=1相交于點(diǎn)E和F。除此之外，圖中利用（2.72）的定義給出了線段AG、AH、BE以及BF的長度。使用上述六個(gè)線段就可以解釋三種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的幾何意義。

先說似然比檢驗(yàn)。在有限樣本下，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量[3]滿足F2N,2（T-K-N）分布。按照?qǐng)D2.12的幾何解釋，似然比檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：

上式說明LR的大小和兩個(gè)比值有關(guān)。第一個(gè)比值是OD/OC，比較兩個(gè)全局最小方差組合的標(biāo)準(zhǔn)差。由于OD≥OC（K個(gè)資產(chǎn)構(gòu)成的最小方差組合的標(biāo)準(zhǔn)差一定不小于N+K個(gè)資產(chǎn)構(gòu)成的最小方差組合的標(biāo)準(zhǔn)差），因此OD/OC≥1。第二個(gè)比值是AH/BF，由于N+K個(gè)資產(chǎn)張成的事后最小方差前沿一定“優(yōu)于”僅由K個(gè)因子張成的事后最小方差前沿，因此AH/BF≥1。如果原假設(shè)成立，即事前（ex ante）兩個(gè)前沿一樣，那么可以期待OD/OC和AH/BF都不會(huì)顯著地偏離1。如果它們其中之一或者二者全部顯著大于1，那么原假設(shè)就會(huì)被拒絕。

對(duì)于Wald檢驗(yàn)和拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)，在有限樣本下，它們的統(tǒng)計(jì)量并不滿足F分布，而是十分復(fù)雜的分布。不過，參考式（2.76）和式（2.77），仍然可以寫出它們的幾何含義：

觀察式（2.79）和式（2.80）不難發(fā)現(xiàn)，W和LM這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式可以說是“完美對(duì)稱”的。W中的第一項(xiàng)是（OD/OC）2-1，它反映的仍然是兩個(gè)全局最小方差組合的標(biāo)準(zhǔn)差偏離程度，由于OD≥OC，因此該項(xiàng)中用（OD/OC）2減去1；再看LM，它的第一項(xiàng)是1-（OC/OD）2，它和（OD/OC）2-1如出一轍，只不過因?yàn)榉肿?、分母互換了位置導(dǎo)致（OC/OD）2≤1，因此該項(xiàng)中是用1減去（OC/OD）2。再看兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量中的第二項(xiàng)。W的第二項(xiàng)涉及BE和BF，它們都從點(diǎn)B出發(fā)，BE是點(diǎn)B到全部N+K個(gè)資產(chǎn)的最小方差前沿的切線，BF是點(diǎn)B到K個(gè)因子的最小方差前沿的漸進(jìn)線。（BE/BF）2-1則衡量了在K個(gè)因子的基礎(chǔ)上加入N個(gè)資產(chǎn)導(dǎo)致切線斜率平方的提升。反觀LM的第二項(xiàng)，它包括AG和AH，它們都從點(diǎn)A出發(fā)，AG是點(diǎn)A到K個(gè)因子的最小方差前沿的切線、AH是點(diǎn)A到全部N+K個(gè)資產(chǎn)的最小方差前沿的漸進(jìn)線。1-（AG/AH）2則衡量了從N+K個(gè)資產(chǎn)中去除N個(gè)資產(chǎn)（從而僅剩下K個(gè)因子）導(dǎo)致切線斜率平方的降低。這種“對(duì)稱”彰顯了幾何解釋之美、數(shù)學(xué)之美。

2.5.4　α檢驗(yàn)

前文介紹的GRS檢驗(yàn)和均值—方差張成檢驗(yàn)均是聯(lián)合檢驗(yàn)N個(gè)資產(chǎn)的定價(jià)誤差是否顯著偏離零。與它們不同，本節(jié)的α檢驗(yàn)把每個(gè)資產(chǎn)i的αi獨(dú)立看待，檢驗(yàn)其是否為零。在得到所有αi的檢驗(yàn)結(jié)果后，將它們?nèi)∑骄⒁源嗽u(píng)價(jià)多因子模型。

α檢驗(yàn)實(shí)操起來非常簡單。對(duì)每個(gè)用來檢驗(yàn)多因子模型的資產(chǎn)（可以是測(cè)試資產(chǎn)或其他模型的因子），將其超額收益作為被解釋變量，使用待檢驗(yàn)的多因子模型作為解釋變量，進(jìn)行時(shí)序回歸，估計(jì)其定價(jià)誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤（計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤時(shí)通常會(huì)采用Newey–West調(diào)整）。有了和它的標(biāo)準(zhǔn)誤，計(jì)算t-值=。在原假設(shè)下，多因子模型可以解釋這些資產(chǎn)，因此αi=0。在得到全部N個(gè)資產(chǎn)的和t-值之后，將它們的絕對(duì)值取平均作為評(píng)價(jià)多因子模型的依據(jù)。取絕對(duì)值的原因是，此處只關(guān)心定價(jià)誤差相對(duì)于0的偏離程度，而非其方向。因此，α檢驗(yàn)關(guān)注的兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)就是的均值以及|t-值|的均值。

α檢驗(yàn)在多因子模型的比較中應(yīng)用非常廣泛。最常見的做法是使用同一組測(cè)試資產(chǎn)來檢驗(yàn)不同的多因子模型，并以上述指標(biāo)偏離零的程度來評(píng)價(jià)多因子模型的“好”與“差”。這兩個(gè)指標(biāo)越低，說明一個(gè)多因子模型越能夠解釋這些資產(chǎn)，因而是“更好”的模型。在實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)研究中，應(yīng)用α檢驗(yàn)來比較模型的例子數(shù)不勝數(shù)，Hou et al.（2015）和Fama and French（2020）就是其中的代表。最后值得一提的是，α檢驗(yàn)經(jīng)常和GRS檢驗(yàn)同時(shí)使用。在本書第4章介紹多因子模型時(shí)，也將同時(shí)使用這兩種檢驗(yàn)方法進(jìn)行實(shí)證分析。

2.5.5　貝葉斯方法

由Barillas and Shanken（2018）提出的貝葉斯方法[4]也常被用于多因子模型的比較。該文作者是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)大佬，且又發(fā)表于金融學(xué)頂刊Journal of Finance，因而備受關(guān)注。考察多因子模型：

令Σ=cov（εt），如果原假設(shè)α=0成立，那么預(yù)期收益率就滿足E[Re]=βλ。Barillas and Shanken（2018）提出的貝葉斯方法假設(shè)多因子模型的參數(shù)β和Σ滿足特定的非正常先驗(yàn)分布（improper prior）[5]。而對(duì)于參數(shù)α，它在原假設(shè)下為零，在備擇假設(shè)下滿足多元正態(tài)條件分布f（α|β, Σ）=N（0, τΣ）（τ>0是一個(gè)參數(shù)）。在該方法中，因子收益率和資產(chǎn)收益率為觀測(cè)到的數(shù)據(jù)。有了參數(shù)和數(shù)據(jù)，Barillas and Shanken（2018）通過計(jì)算邊際似然度（marginal likelihood）來比較不同的多因子模型。令D代表數(shù)據(jù)、Mi代表第i個(gè)模型，則邊際似然函數(shù)為：

由定義可知，邊際似然度是在給定模型Mi下，觀察到數(shù)據(jù)D的條件概率。在貝葉斯模型比較中，不同模型的后驗(yàn)概率比與它密切相關(guān)。假設(shè)兩個(gè)多因子模型Mi和Mj，則它們的后驗(yàn)概率之比滿足：

式中，等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)是兩個(gè)模型先驗(yàn)概率之比；而第二項(xiàng)就是它們的邊際似然度之比，它又被稱為貝葉斯因子（Bayes factor）。在多因子模型比較中，通常假設(shè)兩個(gè)模型的先驗(yàn)概率一樣，因此邊際似然度的高低就會(huì)最終主宰模型的選擇。

上述描述雖然簡要，但它就是Barillas and Shanken（2018）一文的核心。利用該方法，Stambaugh and Yuan（2017）比較了他們提出的四因子模型和Fama and French（2015）五因子模型以及Hou et al.（2015）四因子模型。該文是將貝葉斯方法用于多因子模型比較的代表性研究之一。相較于GRS檢驗(yàn)或均值—方差張成檢驗(yàn)來說，貝葉斯方法在學(xué)術(shù)界的使用要少一些。這一方面和它被發(fā)表的時(shí)間較短有關(guān)[6]，另一方面該方法也存在一些被質(zhì)疑的地方。

2020年，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)的大佬Siddhartha Chib同樣在Journal of Finance發(fā)文對(duì)Barillas and Shanken（2018）的方法提出了挑戰(zhàn)（Chib et al.2020）[7]。該文直截了當(dāng)?shù)卣J(rèn)為Barillas and Shanken（2018）的方法有誤，并給出了改進(jìn)方法。

Chib et al.（2020）指出上述貝葉斯方法中參數(shù)的先驗(yàn)設(shè)定存在問題。簡單地說，在具體使用時(shí)，在參數(shù)β和Σ所滿足的非正常先驗(yàn)分布中需要確定一個(gè)常數(shù)的取值。而只有當(dāng)所有待比較的多因子模型滿足以下三個(gè)性質(zhì)時(shí)，采用邊際似然度來挑選模型才是合理的。這三個(gè)條件是：（1）不同模型的參數(shù)βi和Σi（下標(biāo)i代表模型i）滿足同樣的非正常先驗(yàn)分布；（2）該分布中的常數(shù)對(duì)所有模型相同；（3）不同模型的參數(shù)空間一樣。Chib et al.（2020）進(jìn)一步指出Barillas and Shanken（2018）的模型并不滿足上述三個(gè)條件，因此使用（2.82）來比較模型是不正確的。針對(duì)上述問題，他們對(duì)不同模型的參數(shù)βi和Σi需滿足的先驗(yàn)分布進(jìn)行了修正，并提出了改進(jìn)的貝葉斯方法。由于貝葉斯方法尚存疑問，因此本書不再對(duì)其做進(jìn)一步的討論，感興趣的讀者可參考相關(guān)文獻(xiàn)。

[1]隨著行為金融學(xué)的發(fā)展，越來越多的學(xué)者開始從這個(gè)角度提出新的因子，這些因子背后的邏輯往往不是風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，而是錯(cuò)誤定價(jià)（mispricing）。本書的第6章在介紹因子研究現(xiàn)狀的時(shí)候會(huì)涉及大量行為金融學(xué)方面的內(nèi)容。

[2]第4章會(huì)就Liu et al.（2019）提出的中國版三因子模型進(jìn)行具體的實(shí)證分析和探討。

[3]假設(shè)用來檢驗(yàn)多因子模型的資產(chǎn)數(shù)滿足N≥2。當(dāng)N=1時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式與N≥2時(shí)不同。

[4]該方法最早的版本是一篇2015年的研究手稿（working paper），在學(xué)術(shù)界得到了廣泛的傳播。不過，該論文的正式版最終于2018年發(fā)表于金融學(xué)頂刊Journal of Finance。一些使用該方法的論文引用了其早期的版本，并發(fā)表于2018年之前。本書在引用參考文獻(xiàn)時(shí)首選正式發(fā)表的版本，故而引用了Barillas and Shanken（2018）這個(gè)版本。如果行文中引用了一篇先于該文發(fā)表的、卻使用了貝葉斯方法的論文，請(qǐng)勿感到詫異。

[5]非正常分布指的是在其參數(shù)空間上的積分是無窮大的分布。在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，如果后驗(yàn)概率是正常的，那么仍然可以使用非正常先驗(yàn)分布。

[6]將貝葉斯方法應(yīng)用于資產(chǎn)定價(jià)的研究早在20世紀(jì)80年代就出現(xiàn)了，見Shanken（1987），Harvey and Zhou（1990）以及McCulloch and Rossi（1991）。

[7]這兩篇文章都發(fā)表于金融學(xué)頂刊Journal of Finance。Barillas and Shanken（2018）一文的題目是Comparing asset pricing models，而Chib et al.（2020）則直接在前文題目之前加了一個(gè)On表示評(píng)價(jià)，即On comparing asset pricing models，可謂“火藥味十足”。