一個基本圖形在解決中考試題中的應用

姬新建

在近幾年的中考試卷中，圖形變換的思想方法是一個考查的重要方向，這使得基本圖形的應用的重要性顯得越來越突出，下面就一個基本圖形在中考命題中的應用談談粗淺的認識.

如圖1，點C是線段AB的中點，請你利用該圖形畫一對以點C為對稱中心的全等三角形.

方法一：

延長DC到點E，使CE=DC，連接AD，BE，則△ACD≌△BCE，且關于點C成中心對稱（如圖2）.

方法二：

連接AD，過點B作BE∥AD交DC的延長線于點E，則△ACD≌△BCE，且關于點C成中心對稱（如圖2）.

在2005年大連市中考題中就有這個基本圖形的影子.并且使用這個基本圖形之后，問題思路變得很清晰.

1. 如下頁圖①，把正方形CGEF的對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），取線段AE的中點M.探究：線段MD、MF的關系，并加以證明.

說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；

（2）如果你經歷說明（1）的過程后，可以從下列①、②、③中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明.①DM的延長線交CE于點N，且AD=NE；②將正方形CGEF繞點C逆時針旋轉45°（如圖②），其他條件不變；③在②的條件下，且CF=2AD.

附加題：將正方形CGEF繞點C旋轉任意角度后（如圖③），其他條件不變，探究：線段MD、MF的關系，并加以證明.

探究：關系是MD=MF，MD⊥MF.

證明：如圖④，延長DM交CE于點N，連接FD、FN.

因為正方形ABCD，

所以AD∥BE，AD=DC.

所以∠1=∠2.

又因為AM=EM，∠3=∠4，

所以△ADM≌△ENM.

所以AD=EN，MD=MN.

因為AD=DC，

所以DC=NE.

又因為正方形CGEF，

所以∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°.

又因為正方形ABCD，

所以∠BCD=90°.

所以∠DCF=∠NEF=45°.

所以△FDC≌△FNE.

所以FD=FN，∠5=∠6.

因為∠CFE=90°，

所以∠DFN=90°.

因為DM=MN，

所以MD=MF，DM⊥MF.

附加題：證法：如圖⑤，延長DM到N，使MN=MD，連接FD、FN、EN，延長EN與DC的延長線交于點H.

因為MA=ME，∠1=∠2，MD=MN，

所以△AMD≌△ENM.

所以∠3=∠4，AD=NE.

又因為正方形ABCD、CGEF，

所以AD=DC，FC=FE，∠ADC=90°，

∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°.

所以DC=NE.

因為∠3=∠4，

所以AD∥EH.

所以∠H=∠ADC=90°.

因為∠G=90°，∠5=∠6，

所以∠7=∠8.

因為∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，

所以∠DCF=∠FEN.

因為FC=FE，

所以△DCF≌△NEF.

所以FD=FN，∠DFC=∠NFC.

因為∠CFE=90°，

所以∠DFN=90°.

所以MD=MF，DM⊥MF.

而在2007年廣州市的中考題中，此問題又一次出現，只不過它保留了圖形中關鍵的等腰直角三角形部分，而證明的方法還是要充分利用這個基本圖形.

2. 已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，連接EC，取EC中點M，連接DM和BM，

（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，

如圖①，求證：BM=DM且BM⊥DM；

（2）如圖①中的△ADE繞點A逆時針轉小于45°的角，如圖②，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明.

（1）提示：在Rt△EBC和Rt△EDC中，，所以BM=DM.

∠BME=2∠BCE，∠DME=2∠DCE，

所以∠BMD=∠BME+∠DME=2∠BCE+2∠DCE=2∠BCA=90°.

即BM⊥DM.

（2）證明：如圖③，延長DM到F，使MF=DM，連接BF、CF、BD.

在Rt△ABC中，因為AB=BC，

所以∠BAC=∠BCA=45°.

因為M是EC中點，

所以EC=CE.

因為∠4=∠5，DM=FM，

所以△DME≌△FMC.

所以DE=CF，∠1=∠FCM.

所以AD=CF，∠FCM=∠DEM.

所以DE∥FC.

延長DE交AC于G，

所以∠DGA=∠FCA.

因為∠FCA=45°+∠FCB，

∠DGA=90°－∠2=90°－（45°－∠BAD）=45°+∠BAD，

所以∠BAD=∠BCF.

所以△BAD≌△BCF.

所以BD=BF，∠ABD=∠CBF.

又因為DM=FM，

所以BM⊥DM.

因為∠ABD+∠DBC=90°，所以∠CBF+∠DBC=90°，即∠DBF=90°.

所以.（注：此問還可以用“構造三角形的中位線的方法”，在此只給出一般解法.）

在2008年北京市的中考題中，此問題經過變化后又一次出現，把兩個正方形變成銳角是60°的兩個菱形，但問題的本質沒有變化，用同樣的方法一樣能夠解決，并且第三問沒有讓證明，如果用2005年大連市中考題的證明方法，很容易就證明了.

3. 請閱讀下列材料：

問題：如圖3，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC.若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG與PC的位置關系及.

小聰同學的思路是：延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決.

請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：

（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系及的值；

（2）將圖3中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖4）.你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明.

（3）若圖3中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），將菱形BEFG繞點B順時針旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含α的式子表示）.

解：（1）線段PG與PC的位置關系是PG⊥PC；.

（2）猜想：（1）中的結論沒有發生變化.

證明：如圖5，延長GP交AD于點H，連接CH，CG.

因為P是線段DF的中點，

所以FP=DP.

由題意可知AD∥FG.

所以∠GFP=∠HDP.

因為∠GPF=∠HPD，

所以△GFP≌△HDP.

所以GP=HP，GF=HD.

因為四邊形ABCD是菱形，

所以CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°.

由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，可得∠GBC=60°.

所以∠HDC=∠GBC.

因為四邊形BEFG是菱形，

所以GF=GB.

所以HD=GB.

所以△HDC≌△GBC.

所以CH=CG，∠DCH=∠BCG.

所以∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°.

即∠HCG=120°.

因為CH=CG，PH=PG，

所以PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°.

所以.

（3）.（如圖6，作DM∥GF，延長GP交DM于點N，延長BA交DM于M；連接CN、CG.證明略.）

通過這一問題的變化，給我們的教學提出了很多的要求，特別對我們初三年級的復習有很大的啟示。到了初三最后復習階段的教學，對每一個問題的變式、變化都要有探究的必要.而一些很簡單的知識點，把它放在一個背景下，它可能就是我們解決這個綜合問題的突破口；像上面的“構造中心對稱的全等三角形的方法”，在三個中考問題的解決中，是一個通用法.而我們知道，數學問題層出不窮、變化無窮，學生不可能做完所有的數學題；這就要求我們教給學生方法，對于什么樣的條件下，學生知道大概有什么樣的方法可用，學生才能在遇到問題時有意識地去運用.所以，我們在平時的教學中要注重變式教學，一個問題可以通過條件和結論的互變：條件不變，進行結論的引申變化；也可以通過條件的加強和放寬進行變化.當然，同一個問題的多種解法也是變化的手段.在我們平時的教學中存在著很多可以挖掘的素材，代數、幾何方面都有，代數問題用幾何的方法來解決，幾何問題用代數方法來解決也都是變式教學的一個角度.實際上同一數學問題的這些變化，也是數學的美和魅力的展現.我們如果在平時加強這方面的研究和教學，不但能讓更多的學生喜歡數學，也能讓學生在有限的時間內有最大收獲.引導學生通過有限的習題訓練達到最大的學習效果，從而避免題海戰術、疲勞作戰，提高學習效率，增強學習能力，這是我們應當追求的教學效果.

（本文獲2008—2009學年度“海淀區初三年級系列優秀論文”一等獎）