第一章 算數與數的屬性

好吧，我知道算數是十分基礎的內容，我們從一年級就開始做了。但是，我們有時太習慣于什么都用計算器，所以需要在參加SAT無計算器考試部分之前做一點簡單的算數練習。

A．乘法

我確定你記得如何計算兩位整數和三位整數的乘法，但重溫下技能總是好的，尤其是如果你總用計算器算數，或者你發現在有限的時間內做練習題的時候總會犯點算數錯誤的時候更是很有必要。

盡可能快速地完成這些訓練題會幫助你準確定位你經常會犯的錯誤點。如果有些數你時常乘錯，你應該考慮下把它們寫在抽認卡上。例如，如果你總不小心覺得9×4 = 32，你就可以做張卡來記住9×4 = 36，并且把這條加到你考試需要復習的內容中去。

B．除法

長除法屬于那種我們大部分人也許從四年級開始就一直借助計算器來計算的題目。SAT考試中盡管不太會出這類題，但你需要記得怎么做——尤其如果你不太容易一眼就認得出那些因數。（你做習題時應該就能回憶起來了。）例如，如果你很熟悉那些因子，你可能看到246/6時，就能認出24能被6整除，而6能被6整除，這樣這個分數就簡化為41了。

但如果這你認不出來，或者你對心算沒有把握，你就有必要溫習下你的長除技能，使你在紙上也能迅速計算除法并簡化分式。

你可能還需要復習下除式中各組成部分的名字。例如，此式中：

14/3=4.5

14是被除數。3是除數。4.5是商。

若數字不能被整除，會多出一個余數。然后呢？

首先，認出這些項：

14是被除數。3是除數。2是余數。

有時題目要求答案為整數，你就可以忽略余數或四舍五入。但題目有時也會就余數來提問你——余數即你除后剩下的數。例如，當你用3來除14，14里包含了4個3，還剩下2。2即為余數。

有時題目會要求答案以小數的形式給出。碰到這類情況，你可以將余數通過放在除數上方來轉化為小數。例如，14/3=4和余數2。你可以在14中放入4次3，還剩下2。因此，14除以3的結果是4余2。你可以將余數（2）放在除數（3）上，會發現14除以3=4又2/3，或4.67。

C．負數的加減法

我們都知道負數的加減法規則，但我們也不得不保持警惕。如果你不小心的話，負數在SAT考試中可能會迷惑你，讓你選了錯誤的答案。練習下還是好的，這能讓你保持警覺。

你需要記住的最重要的規則是減掉一個負數就相當于加上一個正數。減法會改變你在數字前所放的符號，所以兩個減號（即減去一個負數 ）使你要變化前面的符號兩次，最后就得到了正號。

當把一個正數和一個負數相加時，哪個數的“量”更大（換言之，哪個數絕對值更大，或當你忽略負號時哪個數更大），結果的符號就與那個數的符號一致。

D．負數的乘除法

再次強調，注意SAT考試時候中出現的負數——漏寫一個小小的符號可能會導致你得到錯誤的答案，而這個答案可能剛好又在選項中。他們知道你可能會犯這樣的錯誤，因此你應該在題目中出現負號時保持警覺。

所有的正數相乘都會得到正的結果。奇數個負數相乘會得到負的結果。偶數個負數相乘會得到正的結果。（每次遇到乘法問題中有兩個負數時，它們可以相互抵消后得正。即負負得正。）

用正數除正數會得到正數。用負數除負數會得到正數。用負數除正數，或用正數除負數，結果是負數。

當作乘除法時，奇數個負數會得到負數。

E．乘法分配律

在SAT考試中遇到負數時請高度警惕。即使你對計算規則十分熟悉，還是可能會犯小錯誤以至于得到錯誤的答案。更糟糕的是，這個答案很有可能還會在選項中。所以規則并不難，只是要小心點——你可以在有負號要表示的地方畫上小箭頭，這樣你就不會錯過任何一步了！

乘法分配律告訴我們：當碰到一個數或自變量乘以一個多項式時（幾項相加），我們可以把這個數分別乘以多項式中的每一項。例如，若表達式為x(3+y)，我們可以將其重新寫為3x+xy。

若前面的這個數是負數就要特別小心——負號會連帶著一起乘以每一項！例如，若表達式為-x(3+y)，我們可以重新寫成-3x-xy。記住一個負數乘以一個負數會是一個正數，所以比如-a(b-c)就可以再寫為-ab+ac。

一組括號前的一個負號可以當作為-1，然后將其乘以括號內表達式的每項。

F．合并同類項

通常，等式或表達式中的項是由加號或減號來隔開的。例如，3ab2c3只是一項，但3+5是一個有兩項的表達式。

“同類”項是指可以通過加或減來簡化成一項的幾個代數項。要成為“同類”項，這些項必須有一模一樣的變量（且如果對它們進行一個冪的乘方，它們乘方后得到的冪也會相同）。

例如，3和5（如上述表達式所示）即為“同類”項，因為他們都沒有變量。x和3x為同類項，因為他們有相同的變量（x）且變量有相同的次數/冪（1）。這就意味著你可以將它們相加：x+3x=4x。（可以把同類項當作你要相加的某個“東西”。就像1個橙子加上3個橙子是4個橙子，1個“x”加上3個“x”是4個“x”。

如果兩項不“同類”，你無論加或減都不能把它們合并在一起。比如，給定表達式x+xy，你不能用加法把它簡化，但你可以提取公因式，下一部分中會講到。

你可以合并同類項來解決一個等式。例如，要解答3b+2b=15，用合并同類項來簡化可以得到5b=15。接著，用消去法使未知數的系數為1可以得到b=3。

G．提取公因數

與乘法分配律相對的就是，當一個多項式的所有項有一個共同的因數時，你可以“提取”這個公因式，然后把它放到多項式的前面，但確保把留下的多項式放在括號內，這樣你就能確定表達式的值還是一樣的。

例如，在多項式3a+3b中，你可以看到兩個代數項都有共同因數3，如果提取公因數能幫助你解答題目的話，則多項式可重新表達為3(a+b)。這么做可能是為了簡化分式、比較式子大小、代入數值、或者為了其他簡化解決SAT問題。

H．移項

要求解等式中的一個變量，我們需要將它“孤立”出來，或讓它只有自己本身。要這么做，我們得先集合含有此變量的所有項，把它們放在等號的一邊，然后把沒有該變量的項移到等式的另一邊。

你如何把一個項移到等式的另一邊呢？

- 如果它是個加數，移后就減去它。

- 如果它是個減數，移后則加上它。

- 如果它是個乘數，移后就除以它。

- 如果它是個除數，移后則乘以它。

- 如果它是個乘方，移后則將其開方。

- 如果它是個根式，移后則將其乘方。

換言之，把它逆運算后移到另一邊。如果你準備參加SAT考試，那你每次解一個等式時都會做到很多此類的練習。

要解一個變量的值而不確定從何入手？嘗試下移項，然后你就會發現你必須要做的是什么了。

I．運算次序

運算次序能告訴你在一個表達式或等式中你應該以什么樣的順序來進行各種不同的運算。這個通常會利用縮寫PEMDAS來記憶。它代表的是：

Parentheses（括號）

Exponents（指數）

Multiplication 和 Division（乘除）

Addition 和 Subtraction（加減）

利用此方法來記憶運算次序是十分重要的，首先把乘除歸為一類，把加減歸為一類。

首先要解決或簡化括號里的內容。（在括號內也需要遵循運算次序）。

接著，簡化指數式（乘方或開方）。

然后從左往右依次做乘除運算。（對于乘法來說，不依次計算沒有影響，而對除法來說是有的。）

然后從左往右依次做加減運算。（對于加法來說，不依次計算并沒有影響，而對減法來說是有的。）

如果你不希望從左往右書寫的順序對你的運算產生影響，你還可以用分式來把除法轉化為乘法，或者把減法轉化為負數的加法。

在含有變量的等式中，你不能只按照運算次序來做，應該先移項，然后你可以在可能的時候根據運算次序來進行簡化。

1A： 乘法1

在下面的乘法表內填空。不得使用計算器。任何你無法快速解答或解答錯誤的題，請制作在抽認卡上，每天復習一次。

 

1A. 乘法2

簡化以下乘式（“解答”出來）。不得使用計算器。

438×23

250×19

13×320

4×189

16×17

42×500

17×59

11×90

51×31

57×19

41×18

32×630

88×47

36×803

28×193

22×66

841×48

333×82

901×26

32×84

92×704

302×11

78×87

809×13

25×41

 

1A. 乘法3

計算以下乘式。不得使用計算器。

13×804

38×14

18×903

92×92

114×77

203×29

94×92

450×21

84×85

502×53

411×31

899×25

24×29

93×41

51×101

48×19

53×82

403×101

92×98

14×15

29×37

345×21

29×13

380×41

82×51

 

1B. 除法1

計算商和余數。不得使用計算器。例如，190÷12=15余10。

180÷17

12÷5

230÷15

310÷9

49÷3

911÷10

454÷8

515÷6

450÷110

328÷15

147÷7

782÷23

80÷7

412÷29

333÷11

287÷101

87÷5

50÷40

970÷20

88÷12

235÷6

653÷45

399÷11

108÷2

49÷5

 

1B. 除法2

簡化每個除法表達式。不得使用計算器。答案用小數表示。如有必要最多四舍五入至百分位。例如，196÷12=16.33

193÷2

19÷3

181÷4

29÷5

214÷3

22÷8

31÷3

388÷5

330÷4

41÷3

47÷8

411÷2

58÷4

510÷3

67÷2

640÷8

63÷4

725÷4

777÷8

82÷5

841÷4

88÷3

98÷8

966÷5

92÷3

 

1C：負數的加減法1

判斷以下計算的結果為正還是負。不得使用計算器。

14+29

242-400

53-(-42)

12+129

-6+5

-142+200

53-42

-242+200

-53+(-42)

142-(-200)

5-(-6)

-53-42

42+200

-142-(-200)

142-(-100)

5-6

242-200

53+42

-5-6

-5+6

-42+200

-142+100

-142-(-100)

-53-(-42)

-5-(-6)

 

1C：負數的加減法2

判斷以下計算的結果為正還是負。不得使用計算器。

4+19

4+(-5)

-98-99

4+1302

-17-(-12)

-98-(-99)

-(-12)-13

-16-(-15)

12-(-17)

98-99

-16-15

-4-(-5)

 

 

 

-98+(-99)

4-5

98-(-99)

17-(-12)

-16+15

-12-(-17)

-4-5

16-(-15)

-99-(-98)

-12-16

 

1D. 負數的乘除法1

判斷以下計算的結果為正還是負。不得使用計算器。

 

1D. 負數的乘除法2

判斷以下計算的結果為正還是負。不得使用計算器。

 

1E. 乘法分配律1

利用乘法分配律重新書寫以下表達式。

-x(3+y)

-x(-3+y)

4(r-s)

-(-x-y+2z)

-3(x-y-2z)

-(-a-3b+2c)

-(-a-b-c)

5(-a-2b)

-x(-a-b)

-(x-y-2z)

-x(-a+b)

-(a-b-c)

5(-3a+b)

-x(-3-y)

-(a-b+c)

-3(-x-y+2z)

-x(a+b)

-(a-3b+2c)

-4(r-s)

4(-4-2s)

-x(a-b)

-4(r+s)

-3(x+y+2z)

5(a-2b)

-(x+y-2z)

 

1F. 合并同類項1

利用合并同類項重新書寫以下表達式。（某些式子可能沒有同類項）

x+xy

a+2a+2

b-2b2++14b

x+y-4y

-r-19r

d+2e

xy+xy

z-2yz+3z

y+3y

xy+3xy

x+y+y2

4z-2z+3

y2+3y

d+4d-d2

y2+3y2

b-2b2

r-19r+s

x+y+z

2+y-4y-5

4z-2z+z2

b-2b+14b

y2+5

r-19r+s-3s

r+3r

a+2a-a2

 

1F. 合并同類項2

利用合并同類項來解以下方程。

3b+7b=50

2x-5x=12

v-2v=18+v

3a+7a=-30-5a

2a-a=34

-2r+3r=-r+6

3x+5x=8+4x

2x+5x=-49

-2a-a=4+a

b+b=50

-b-2b=60

b-2b=50

3a+4a=30+2a

2a+15a=34

3x+x=16+2x

3a+7a=-30+5a

-2a-a=33

-2r+3r=12+2r

-2a+a=4+a

4v+6v=18+v

2x-5x=-42

v-3v=17-v

-2x-6x=16

4v+6v=18-8v

3x-2x=16+2x

 

1G. 提取公因式

對以下表達式進行提取公因式。例如，將重新表達為。

3a+15

-7p-14pq

2b2+ab2

5xy+10x

st+5t

4m+n

-16x+4xz

4r2-4

7p+21pq+q

ab-bc

2b2+4a

4r2-ar2

-16x+xz

a+ab+b

10+12a

10b+5

-7p-14pq+p

20st+5t

-12x-4xb

r-rs

-p-pq

4m-6n

2ab-6bc

5xy-5y

st+t

 

1H. 移項1

通過移項來解以下方程。盡可能快速地完成本頁題目，不得使用計算器——在計時器上記錄你的用時（將會在下一次練習中用到）。

 

1H. 移項2

通過移項來解以下方程。嘗試用比完成前一頁更快的速度來完成本頁，同時要保持全對。

1I. 運算次序1

簡化以下表達式。

-(4+9)+3

3+6-(4×2)2

-5(8-3)-(4+3)2

-5(4-1)2

8+3(5-4)-3

5(4-12)

(3-6)2-6÷2

(3-5)2-(6) (-9)

-5-(7-1)2

-5+(7-1)2

4-2(9-1)

-5(8-3)+(3÷1)2

3-(6-4)×22

3+6-4×2

3-62-6÷2

8-3×5-(4+3)2

8-3(5-4)+32

3+6-4×22

8+3(5-4)-32

3-62×6÷2

5-7-12

3+(6-4)×22

5×7-12

5(4-1)2

(3-5)2-(6)(9)

 

1I. 運算次序2

求以下等式中的x。不得使用計算器。

5x+4=5+9

-5+3(7-6)2=2x

x-(2+4)2=2x-(9-8)

4-12+2(2+1)2=x+22

-2(4+62)+x=100÷52

5x+4=(5-3)2

-12+2÷(2+1)2=x+22

5+3(7-6)2=2x

x-42=2x-(3-1)2

x-2+42=2x-(3-1)2

4-12-3(2+6)2=x+9

4-12+3(2+6)2=x+22

x-(2+4)2=2x

-2(4+6)2+x=100÷52

7-(3+2)2=4-2x

-5-3(7-6)2=2x

-3(4+6)+x=-40

x-2+42=2x-(9-8)

(4-4)2=2x-(3-1)2

(7-3)2+2=4-2x

(4-1)2-3(2+6)=x-9

-2(4+6)2+x=-100

(4-1)2-3(2+6)2=x-9

-2(4+62)-x=100÷52

(7-3)2+3=-2(4-2x)