第6節(jié)　指標的運算

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關(guān)于指標的定理與關(guān)于對數(shù)的定理是完全相似的。

任意多個因數(shù)的乘積的指標對于模p-1與各個因數(shù)的指標的和同余。

一個數(shù)的方冪的指標對于模p-1與這個數(shù)的指標與冪指數(shù)的乘積同余。

因為上述定理比較簡單，這里省去對它們的證明。

從上文可知，如果要構(gòu)造出這樣一張表，表中給出所有的數(shù)對于不同的模的指標，可以忽略所有比模大的數(shù)以及所有的合數(shù)。本書結(jié)尾給出了一張樣表（表1）。此表第1列是從3到97的所有質(zhì)數(shù)以及質(zhì)數(shù)冪，這些數(shù)將作為模；在下一列，和這些數(shù)相鄰的，是那些被選作為基數(shù)的數(shù)；接下來是連續(xù)質(zhì)數(shù)的指標。在每一列第1排，這些質(zhì)數(shù)按照同樣的順序排列，這樣便于找到對應(yīng)一個給定質(zhì)數(shù)關(guān)于給定模的指標。

例如，如果p＝67，基數(shù)為12，Ind 60≡2Ind 2＋Ind 3＋Ind 5（mod 66）≡58＋9＋39≡40。

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如果a，b都不能被p整除，形如a/b（mod p）的表達式的值（參考條目31）的指標對于模p-1同余于分子a的指標與分母b的指標的差。

令c是表達式的任意一個值，則bc≡a（mod p），所以

Ind b＋Ind c≡Ind a（mod p-1）

以及

Ind c≡Ind a-Ind b

那么，如果有兩張表，其中一張表給出任意整數(shù)對于任意質(zhì)數(shù)模的指標，另一張表給出屬于給定指標的整數(shù)，那么，所有的一次同余方程都能輕易解出，因為它們能簡化為模為質(zhì)數(shù)的同余方程（條目30）。例如，給定同余方程29x＋7≡0（mod 47），簡化為x≡（-7）/29（mod 47）。從而有Ind x≡Ind（-7）-Ind 29≡Ind 40-Ind 29≡15-43≡18（mod 46）。現(xiàn)在3的指標是18，所以x≡3（mod 47）。我們還沒有給出第2張表，但到了第6章我們給出另一張表，可以實現(xiàn)相同的作用。