第5節　原根，基和指標

57

按照歐拉先生的說法，我們把屬于指數p-1的數稱為原根。那么，如果a是原根，方冪a，a2，a3，…，ap-1的最小剩余都各不相同。那么，容易推出在這些最小剩余中將出現1，2，3，…，p-1中的每個數，因為這兩組數的所含數的個數相同。這就意味著，任意一個不被p整除的數一定同余于a的某個方冪。這個性質非同尋常，它非常有用，能簡化與同余式有關的算術計算，正如對數的引入簡化了普通的算術運算。我們任意選擇某個原根a作為基或基數，用它表示所有不能被p整除的數。并且，如果ae≡b（mod p），就稱e為b的指標。例如，如果對于模19我們取原根2作為基數，那么就有

而且，顯然地，對于固定的基數，每個數有很多指標，但是它們都對于模p-1同余；所以，當遇到指標的問題，對于模p-1同余的指標可以視作是等價的，正如對于模p同余的數也被視作等價一樣。