第二十六章　反比例函數

第一節　反比例函數的圖像和性質

學習目標

1. 體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式.

2. 能畫出反比例函數的圖像，根據圖像和表達式理解反比例函數圖像的性質.

3. 能用反比例函數解決簡單實際問題.

知識精講

1. 反比例函數的概念：形如（k為常數，k≠0）的函數叫作反比例函數，其中x是自變量，y是x的函數，k是比例系數.

注：① 自變量x在分母上，指數為1.

② 比例系數k≠0.

③ 自變量x的取值范圍是x≠0，函數值y的取值范圍是y≠0.

④ 反比例函數的其他形式：y=kx-1（k≠0）.

2. 反比例函數的圖像和性質.

（1）圖像：反比例函數的圖像是雙曲線，也稱為雙曲線.

（2）反比例函數的性質，如表26-1-1所示.

注：（1）y隨x變化的趨勢必須指出“在每個象限內”或“在每一分支上”這一條件.

（2）（k為常數，k≠0）中自變量x≠0，函數值y≠0，所以雙曲線不經過原點，兩個分支逐漸靠近坐標軸，但是永遠不與坐標軸相交.

3. 待定系數法求反比例函數的解析式. 只需將反比例函數圖像上一個點的坐標代入函數解析式，求出k，進而確定反比例函數的解析式.

方法提煉

1. 反比例函數（k為常數，k≠0）圖像上的任意一點的橫、縱坐標之積等于比例系數k．

2. |k|的幾何意義，如表26-1-2所示.

3. 反比例函數的圖像的對稱性.

（1）中心對稱圖形：對稱中心是原點.

（2）軸對稱圖形：對稱軸是直線y=x和直線y=-x.

4. 數形結合思想.

（1）點與數的對應體現數形結合，點的坐標是連接函數圖像和函數解析式的紐帶.

（2）點的坐標和線段長度之間的相互轉化：坐標確定，線段長度確定；線段長度確定，點的坐標可能不唯一確定.

典例精析

例題1. 已知：函數是反比例函數，求m的值.

【思路點撥】根據反比例函數的變式：y=kx-1，得m2-5=-1，且m+2≠0.

【解】由題意得：m2-5=-1，∴m2=4，∴m=±2.

∵m+2≠0，∴m≠-2，∴m=2.

例題2. （1）已知反比例函數的圖像經過點P（-1，2），則這個函數的圖像位于（　　）.

A. 第二，三象限

B. 第一，三象限

C. 第三，四象限

D. 第二，四象限

（2）已知反比例函數圖像上三個點的坐標分別是A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（2，y3），則y1，y2，y3的大小關系是（　　）.

A. y1>y2>y3

B. y1>y3>y2

C. y2>y1>y3

D. y2>y3>y1

【思路點撥】（1）根據點P（-1，2）在第二象限可確定雙曲線的另一支在第四象限. 或者求出函數解析式觀察圖像，再確定圖像所經過的象限.

（2）本題考查反比例函數圖像的性質，由于三點不在同一象限內，不能用反比例函數增減性來比較大小，可以求出y1，y2，y3的值來比較大小，也可借助函數圖像比較大小，如圖26-1-1所示.

【答案】（1）D　（2）C

典題精練

1. 已知點M（-2，3）在雙曲線上，則下列各點一定在該雙曲線上的是（　　）.

A. （3，-2）

B. （-2，-3）

C. （2，3）

D. （3，2）

2. 已知函數是反比例函數，且圖像在第二、四象限內，則m的值是（　　）.

A. 2

B. -2

C. ±2

D.

3. 已知點（-1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函數的圖像上. 下列結論中正確的是（　　）.

A. y1>y2>y3

B. y1>y3>y2

C. y3>y1>y2

D. y2>y3>y1

4. 在同一平面直角坐標系中，函數y=2x與的圖像大致是（　　）.

5. （1）如圖26-1-2所示，點B在反比例函數的圖像上，過點B作AB⊥x軸于點A，△ABO的面積為1.5，則k的值是（　　）.

A. 3

B. -1.5

C. -3

D. -6

（2）反比例函數在第一象限的圖像如圖26-1-3所示，則k的值可能是（　　）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

（3）如圖26-1-4所示，點B、P在函數的圖像上，四邊形COAB是正方形，四邊形FOEP是長方形，下列說法不正確的是（　　）.

A. 長方形BCFG和長方形GAEP的面積相等

B. 點B的坐標為（4，4）

C. 的圖像關于直線OB對稱

D. 長方形FOEP和正方形COAB的面積相等

6. 反比例函數的圖像上有（x1，y1）、（x2y2）、（x3，y3）三個點，其中x1<x2<0<x3，則y1、y2、y3的大小關系是________.

7. 函數的圖像與直線y=x沒有交點，那么k的取值范圍是________.

8. 如圖26-1-5所示，點A、B是函數y=x與的圖像的兩個交點，作AC⊥x軸于點C，作BD⊥x軸于點D，則四邊形ACBD的面積為________.

9. 已知反比例函數（k為常數，k≠0）的圖像經過點A（2，3）.

（1）求這個函數的解析式；

（2）判斷點B（-1，6），C（3，2）是否在這個函數的圖像上，并說明理由.

10. 如圖26-1-6所示，在平面直角坐標系xOy中，直線y=mx與雙曲線相交于A（-1，a）、B兩點，BC⊥x軸，垂足為C，△AOC的面積是1.

（1）求m、n的值；

（2）求直線AC的解析式.

中考真題

真題1. （河北）定義新運算：，則函數y=2⊕x（x≠0）的圖像大致是（　　）.

真題2. （四川宜賓）如圖26-1-7所示，直線y=x-1與反比例函數的圖像交于A、B兩點，與x軸交于點C，已知點A的坐標為（-1，m）．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若點P（n，-1）是反比例函數圖像上一點，過點P作PE⊥x軸于點E，延長EP交直線AB于點F，求△CEF的面積.