第二十六章　反比例函數(shù)

第一節(jié)　反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1. 體會(huì)反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式.

2. 能畫(huà)出反比例函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像和表達(dá)式理解反比例函數(shù)圖像的性質(zhì).

3. 能用反比例函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.

知識(shí)精講

1. 反比例函數(shù)的概念：形如（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫作反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù).

注：① 自變量x在分母上，指數(shù)為1.

② 比例系數(shù)k≠0.

③ 自變量x的取值范圍是x≠0，函數(shù)值y的取值范圍是y≠0.

④ 反比例函數(shù)的其他形式：y=kx-1（k≠0）.

2. 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì).

（1）圖像：反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，也稱(chēng)為雙曲線.

（2）反比例函數(shù)的性質(zhì)，如表26-1-1所示.

注：（1）y隨x變化的趨勢(shì)必須指出“在每個(gè)象限內(nèi)”或“在每一分支上”這一條件.

（2）（k為常數(shù)，k≠0）中自變量x≠0，函數(shù)值y≠0，所以雙曲線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，兩個(gè)分支逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交.

3. 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式. 只需將反比例函數(shù)圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出k，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的解析式.

方法提煉

1. 反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）圖像上的任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之積等于比例系數(shù)k．

2. |k|的幾何意義，如表26-1-2所示.

3. 反比例函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)性.

（1）中心對(duì)稱(chēng)圖形：對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn).

（2）軸對(duì)稱(chēng)圖形：對(duì)稱(chēng)軸是直線y=x和直線y=-x.

4. 數(shù)形結(jié)合思想.

（1）點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，點(diǎn)的坐標(biāo)是連接函數(shù)圖像和函數(shù)解析式的紐帶.

（2）點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度之間的相互轉(zhuǎn)化：坐標(biāo)確定，線段長(zhǎng)度確定；線段長(zhǎng)度確定，點(diǎn)的坐標(biāo)可能不唯一確定.

典例精析

例題1. 已知：函數(shù)是反比例函數(shù)，求m的值.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)反比例函數(shù)的變式：y=kx-1，得m2-5=-1，且m+2≠0.

【解】由題意得：m2-5=-1，∴m2=4，∴m=±2.

∵m+2≠0，∴m≠-2，∴m=2.

例題2. （1）已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，2），則這個(gè)函數(shù)的圖像位于（　　）.

A. 第二，三象限

B. 第一，三象限

C. 第三，四象限

D. 第二，四象限

（2）已知反比例函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　　）.

A. y1>y2>y3

B. y1>y3>y2

C. y2>y1>y3

D. y2>y3>y1

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)點(diǎn)P（-1，2）在第二象限可確定雙曲線的另一支在第四象限. 或者求出函數(shù)解析式觀察圖像，再確定圖像所經(jīng)過(guò)的象限.

（2）本題考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，由于三點(diǎn)不在同一象限內(nèi)，不能用反比例函數(shù)增減性來(lái)比較大小，可以求出y1，y2，y3的值來(lái)比較大小，也可借助函數(shù)圖像比較大小，如圖26-1-1所示.

【答案】（1）D　（2）C

典題精練

1. 已知點(diǎn)M（-2，3）在雙曲線上，則下列各點(diǎn)一定在該雙曲線上的是（　　）.

A. （3，-2）

B. （-2，-3）

C. （2，3）

D. （3，2）

2. 已知函數(shù)是反比例函數(shù)，且圖像在第二、四象限內(nèi)，則m的值是（　　）.

A. 2

B. -2

C. ±2

D.

3. 已知點(diǎn)（-1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函數(shù)的圖像上. 下列結(jié)論中正確的是（　　）.

A. y1>y2>y3

B. y1>y3>y2

C. y3>y1>y2

D. y2>y3>y1

4. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2x與的圖像大致是（　　）.

5. （1）如圖26-1-2所示，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥x軸于點(diǎn)A，△ABO的面積為1.5，則k的值是（　　）.

A. 3

B. -1.5

C. -3

D. -6

（2）反比例函數(shù)在第一象限的圖像如圖26-1-3所示，則k的值可能是（　　）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

（3）如圖26-1-4所示，點(diǎn)B、P在函數(shù)的圖像上，四邊形COAB是正方形，四邊形FOEP是長(zhǎng)方形，下列說(shuō)法不正確的是（　　）.

A. 長(zhǎng)方形BCFG和長(zhǎng)方形GAEP的面積相等

B. 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）

C. 的圖像關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)

D. 長(zhǎng)方形FOEP和正方形COAB的面積相等

6. 反比例函數(shù)的圖像上有（x1，y1）、（x2y2）、（x3，y3）三個(gè)點(diǎn)，其中x1<x2<0<x3，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是________.

7. 函數(shù)的圖像與直線y=x沒(méi)有交點(diǎn)，那么k的取值范圍是________.

8. 如圖26-1-5所示，點(diǎn)A、B是函數(shù)y=x與的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)，作AC⊥x軸于點(diǎn)C，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則四邊形ACBD的面積為_(kāi)_______.

9. 已知反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3）.

（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）判斷點(diǎn)B（-1，6），C（3，2）是否在這個(gè)函數(shù)的圖像上，并說(shuō)明理由.

10. 如圖26-1-6所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=mx與雙曲線相交于A（-1，a）、B兩點(diǎn)，BC⊥x軸，垂足為C，△AOC的面積是1.

（1）求m、n的值；

（2）求直線AC的解析式.

中考真題

真題1. （河北）定義新運(yùn)算：，則函數(shù)y=2⊕x（x≠0）的圖像大致是（　　）.

真題2. （四川宜賓）如圖26-1-7所示，直線y=x-1與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，m）．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P（n，-1）是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EP交直線AB于點(diǎn)F，求△CEF的面積.