1.3 測量模型

基于狀態(tài)的非貝葉斯模型，即狀態(tài)只包含位置和方向信息，我們下面給出一個通用的節(jié)點間和節(jié)點內(nèi)測量的數(shù)學(xué)模型。

1.3.1 節(jié)點間測量

節(jié)點間測量表示為，是在節(jié)點k處進(jìn)行的對于節(jié)點j的測量。例如，從節(jié)點j發(fā)出，節(jié)點k從接收的射頻或者聲波信號中獲得的信息，或者由節(jié)點k的視覺傳感器拍攝到的節(jié)點j的圖像信息。一般來說，節(jié)點間測量只依賴于兩個節(jié)點之間的狀態(tài)差異。接下來我們將詳細(xì)介紹節(jié)點間相對位置和速度的測量 ^[1]。

? 相對位置：節(jié)點間的相對位置信息可以通過射頻或者聲波信號等的測量得到。選定n₀=0，節(jié)點間相對位置的測量可以描述為

其中，g₀（·）表示關(guān)于節(jié)點間相對位置的函數(shù)，表示測量的隨機(jī)噪聲。式（1-3）中相對位置測量的似然函數(shù)可以寫為

? 相對速度：節(jié)點間的相對速度信息可以通過射頻或聲波信號等的多普勒頻移測量得到。由于速度可以被建模為節(jié)點位置的一階差分，因此，選定n₀=1，節(jié)點間相對速度的測量可以描述為

其中，g₁（·）表示關(guān)于節(jié)點間相對速度的函數(shù)。這里再次使用了式（1-6）中的標(biāo)記作為相對速度測量的隨機(jī)噪聲，盡管符號相同，但是應(yīng)該理解其實際對應(yīng)于不同的測量。相對速度測量的似然函數(shù)可以寫為類似式（1-7）的形式，不再贅述。

1.3.2 節(jié)點內(nèi)測量

節(jié)點內(nèi)測量表示為，是對節(jié)點k自身進(jìn)行的測量。例如，來自節(jié)點本身慣性測量單元（IMU）和視覺傳感器的信息。值得注意的是，與速度和加速度相關(guān)的測量可以被建模為移動節(jié)點在幾個連續(xù)時刻的位置和方向的函數(shù)。因此，式（1-3）中不同類型的節(jié)點內(nèi)測量的似然函數(shù)對應(yīng)于n₀的不同取值。下面我們舉例說明幾種典型測量類型的似然函數(shù)。

? 位置：節(jié)點的位置信息可以直接通過視覺或者雷達(dá)傳感器相對于已知位置的局部參考點測量得到。選定n₀=0，節(jié)點位置的測量可以描述為

其中，h₀（·）表示關(guān)于節(jié)點位置的函數(shù)，是測量的隨機(jī)噪聲。位置測量的似然函數(shù)可以寫為類似式（1-7）的形式。

? 速度：節(jié)點的速度信息通常可以用多普勒頻移測量得到，并且可以被建模為節(jié)點位置的一階差分。因此，選定n₀=1，節(jié)點速度的測量可以描述為

其中，h₁（·）表示關(guān)于節(jié)點速度的函數(shù)。

? 加速度：節(jié)點的加速度信息一般可以通過IMU測量得到，并且可以被建模為節(jié)點位置的二階差分。盡管IMU的測量值位于本地坐標(biāo)系中，但是為了簡單起見，我們此處考慮在全局坐標(biāo)系中測量得到的加速度。選定n₀=2，節(jié)點加速度的測量可以描述為

其中，h₂（·）表示關(guān)于節(jié)點加速度的函數(shù)。

? 方向：與節(jié)點位置相似，節(jié)點的方向信息可以用磁力計、視覺傳感器或者雷達(dá)傳感器在已知的局部參考環(huán)境中測量得到。描述節(jié)點方向的測量，可以將式（1-9）中的替換為，并替換相應(yīng)的函數(shù)h₀（·）得到。

? 角速度：與節(jié)點速度相似，節(jié)點的角速度信息通常通過陀螺儀測量得到，并且可以被建模為節(jié)點方向的一階差分。描述節(jié)點角速度的測量，可以通過將式（1-10）中的替換為，并替換相應(yīng)的函數(shù)h₁（·）得到^[2]。

1.3.3 測量實例

1.3.1節(jié)和1.3.2節(jié)中描述了通用的節(jié)點間和節(jié)點內(nèi)測量的數(shù)學(xué)模型。為了更加直觀地表示網(wǎng)絡(luò)定位與導(dǎo)航，并進(jìn)一步發(fā)展該理論基礎(chǔ)，我們接下來給出一個測量實例。

信號度量（如TOA和AOA）可用于估計節(jié)點間的相對位置。隨著寬帶傳輸和陣列信號處理技術(shù)的發(fā)展，人們可以獲得準(zhǔn)確的TOA和AOA測量，這對于高精度定位是至關(guān)重要的。我們考慮在準(zhǔn)靜態(tài)場景中通過節(jié)點之間收發(fā)射頻信號來獲得節(jié)點間測量的情形。由節(jié)點j發(fā)送、節(jié)點k通過單路徑傳播信道接收的無線信號可以寫為

其中，s（t）是一個已知的波形（其傅里葉變換為S（f）），和分別是信道的增益和延時，表示觀測噪聲，其建模為雙邊能量譜密度為N₀/2的加性高斯過程，[0，T_ob）是觀測的時間間隔。延時和節(jié)點位置之間的關(guān)系為

其中，c表示信號的傳播速度，表示距離的偏置。在視距傳播的情況下，=0；在非視距傳播的情況下，＞0。

記為通過Karhunen-Loeve擴(kuò)展得到的向量表示，那么的似然函數(shù)，作為式（1-7）的一個特例，可以寫為

其中，延時是位置和的函數(shù)，由式（1-13）給出。信道增益和距離的偏置組成冗余參數(shù)。

最后，我們考慮一個十分簡單但非常重要的節(jié)點內(nèi)測量的實例，即在加性高斯噪聲下的速度測量，由下式給出：

其中，，σ_m是已知的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。