四、釋疑解難

問題1　行列式定義的實質是什么？

答：由n階行列式D的定義可以知道：D就是行列式中所有取自不同行、不同列的n個元素之積的代數和，記為，而每項所帶的符號是唯一確定的，撇開每個項隨帶的符號，就是：凡是取自D中不同行、不同列的n個元素之積，一定是中的一項；反過來，中任一項也一定是D中不同行、不同列的n個元素之積．利用這個原則以及每一項的“定號”規則，對行列式的一些問題的解決可起到事半功倍的作用．

例如，考慮以λ為參數的4階行列式（該行列式在第四章中有重要的應用）：

不進行具體計算，由行列式定義即得出以下結論．

（1）D（λ）是一個關于λ的4次多項式，這是因為D（λ）中有正項（a11-λ）（a22-λ）（a33-λ）（a44-λ），而其他各項的λ的冪次均低于4，而且該多項式中λ4的系數等于1．

（2）多項式D（λ）中λ3的系數是-（a11+a22+a33+a44），即為主對角線元素之和的相反數，這是因為D（λ）中的任一項，若它不含某主對角線元素作為其因子，則它至少不含兩個主對角線元素作為其因子．于是，除了（a33-λ）（a44-λ）（a11-λ）（a22-λ）項外，其余各項的λ的冪次至多是2；也即D（λ）中λ3的系數就是（a33-λ）（a44-λ）（a11-λ）（a22-λ）中λ3的系數，而后者顯然是-（a11+a22+a33+a44）．

問題2　為什么n（n≥4）階行列式不能按對角線展開？

答：二階、三階行列式可以按對角線展開，而四階及四階以上的行列式不能按對角線展開，因為它不符合n（n≥4）階行列式的定義．例如，對于四階行列式，如果按對角線法則，則只能寫出8項，這顯然是錯誤的，因為按照行列式的定義可知，四階行列式一共有4！項，即四階行列式是24項的代數和．另外，按對角線做出的項的符號也不一定正確，比如，乘積項a14a21a32a43其列排列4123的逆序數為3，應取負號而不是正號．所以，在計算n（n≥4）階行列式時，對角線法則失效．

問題3　計算行列式的常用方法有那些？

答：計算行列式的方法通常有

（1）用對角線法則計算行列式，它只適合二、三階行列式；

（2）用n階行列式的定義計算行列式；

顯然有

上三角形行列式　

下三角形行列式　

對角形行列式　

另外　

（3）利用行列式的性質計算行列式；

（4）利用行列式按某一行（列）展開定理計算n階行列式；

（5）利用數學歸納法計算n階行列式；

（6）利用遞推公式計算n階行列式；

（7）利用范德蒙行列式的結論計算特殊的n階行列式；

（8）利用升階（加邊）法計算n階行列式；

（9）化三角形法計算n階行列式；

（10）綜合運用上述各法計算n階行列式．

在實際計算中，又常常根據行列式的具體特點，采用相應的方法（有時需要幾種方法結合使用）．請注意學習、總結例題中的計算方法，由此及彼，舉一反三，逐步提高計算能力．

問題4　（1）余子式與代數余子式有什么特點？（2）它們之間有什么聯系？

答：（1）對于給定的n階行列式，那么元素aij的余子式Mij和代數余子式Aij僅與位置（i，j）有關，而與D中第i行、第j列元素的大小和正負無關．

（2）它們之間的聯系是Aij=（-1）i+jMij，因而當i+j為偶數時，二者相同，即Aij=Mij；當i+j為奇數時，二者相反，Aij=-Mij．

問題5　什么是行列式按行（列）展開定理？它有何應用？

答：行列式按行（列）展開定理是指下述兩個定理．

定理1　n階行列式D等于它的任意一行（列）所有元素與它們對應的代數余子式的乘積之和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin　（i=1，2，…，n）

=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj　（j=1，2，…，n）

定理2　行列式的某一行（列）所有元素與另一行（一列）對應元素的代數余子式的乘積之和等于零，即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0　（i≠j），

a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0　（i≠j）．

應用一　計算行列式的值．

行列式按某一行（列）展開能將高階行列式的計算轉化為若干個低價行列式的計算，是計算數字行列式的常用方法．值得注意的是，展開前往往先利用行列式的性質，將某行（列）的元素盡可能多消成零，然后利用定理或者推論：

推論：一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都是為零，那么這行列式等于aij與它的代數余子式的乘積，即

例1　計算行列式的值

解　觀察，注意到第3列元素相對簡單有規律一點，所以選擇第3列，利用行列式的性質，保留一個非零元素，其余的都化為零．

應用二　求某行（列）元素的代數余子式的（代數）和

已知行列式D及其元素aij的代數余子式Aij和任意n個數k1，k2，…，kn，求和式或

首先應注意，上面的和式均表示某個行列式，其第i行或第j列元素為k1，k2，…，kn，因此將D的第i行或第j列元素改為k1，k2，…，kn，即為．寫出后，再算出，即為所求的和式．

如果k1，k2，…，kn恰為D中某行但不是第i行，或為某列但不是第j列，則上述和式的值為0．

例2　已知，求A11-2A12+3A13-4A14．

解　注意到a31=2，a32=-4，a33=6，a34=-8，

那么由行列式的性質，a31A11+a32A12+a33A13+a34A14=0

即　2A11-4A12+6A13-8A14=2（A11-2A12+3A13-4A14）=0．

注：不要直接去計算代數余子式，那樣很麻煩．

例3　設行列式，求第4行元素余子式之和．

解　【分析：注意本題是要求第4行元素的余子式的和，而不是代數余子式的和，這是有差別的．一種辦法是直接計算，分別求出四個余子式；另一種是將余子式轉化為代數余子式，再根據行列式的展開定理歸結為一個4階行列式的計算．】

用A4j（j=1，2，3，4）表示第4行各元素的代數余子式，由于A4j=（-1）4+jM4j于是有