1.6 基爾霍夫定律

電路中各電流、電壓遵循以下兩種基本規(guī)律的約束。

（1）電路元件性質(zhì)的約束。也稱電路元件的伏安關(guān)系（VCR），它僅與元件自身的性質(zhì)有關(guān)，與元件在電路中連接方式無關(guān)。例如，電阻的電壓與電流滿足歐姆定律等。

（2）電路連接方式的約束。也稱拓?fù)浼s束，它僅與元件在電路中連接方式有關(guān)，與元件性質(zhì)無關(guān)。基爾霍夫定律是概括拓?fù)浼s束關(guān)系的基本定律。

基爾霍夫定律（Kirchhoff's Laws）[8]包括基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL）。它反映了電路中所有支路電壓和電流所遵循的基本規(guī)律，是分析集總參數(shù)電路的根本依據(jù)。基爾霍夫定律與元件VCR構(gòu)成了電路分析的基礎(chǔ)。

為了講述基爾霍夫定律，先介紹電路中的常見術(shù)語。

（1）支路（Branch）——電路中通過同一電流的分支，通常用b表示支路數(shù)。

一條支路可以是一個二端元件，亦可以由多個元件串聯(lián)組成。圖1-20所示的電路中有三條支路，b=3。

（2）節(jié)點(diǎn)（Node）——由三條或三條以上支路連接的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。通常用n表示節(jié)點(diǎn)數(shù)。圖1-20所示電路中有a、b兩個節(jié)點(diǎn)，n=2。

（3）回路（Loop）——沿不同支路構(gòu)成的閉合路徑稱為回路，除起始節(jié)點(diǎn)和終止節(jié)點(diǎn)以外，該閉合路徑所經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)應(yīng)均為一次。通常用l表示回路數(shù)。如圖1-20所示電路中有三個回路，分別由支路1和支路2構(gòu)成、支路2和支路3構(gòu)成、支路1和支路3構(gòu)成。

（4）網(wǎng)孔（Mesh）——對平面電路，其內(nèi)部不含任何支路的回路稱網(wǎng)孔。通常用m表示網(wǎng)孔數(shù)。如圖1-20所示電路中有兩個網(wǎng)孔，分別由支路1和支路2構(gòu)成、支路2和支路3構(gòu)成。支路1和支路3構(gòu)成的回路不是網(wǎng)孔。因此，網(wǎng)孔一定是回路，但回路不一定是網(wǎng)孔。

1.6.1 基爾霍夫電流定律（KCL）

1. 基爾霍夫電流定律（KCL——Kirchhoff's Current Law）

“在集總電路中，任意時刻、任意節(jié)點(diǎn)處電流的代數(shù)和等于零?！逼渲?，可以假定流入該節(jié)點(diǎn)的電流取正號，流出該節(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)號，也可以做相反的假設(shè)。

∑i=0　（1-19）

應(yīng)用該定律前，必須假定各支路電流的參考方向，各支路上電流的參考方向，如圖1-21所示。

對節(jié)點(diǎn)①，假定流入該節(jié)點(diǎn)的電流取正號，流出該節(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)號，應(yīng)用∑i=0

i₂+i₄-i₅-i₇=0

上式也可寫成

i₂+i₄=i₅+i₇

即，任意時刻流入節(jié)點(diǎn)①電流等于流出節(jié)點(diǎn)①電流。

推廣，任意節(jié)點(diǎn)有

i_流入=i_流出?。?-20）

式（1-20）是KCL的另一種形式，它表明，“在集總電路中，任意時刻，流入任意節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流出該節(jié)點(diǎn)電流之和”。KCL是描述電路中與節(jié)點(diǎn)相連的各支路電流間相互關(guān)系的定律。

例1-4　如圖1-21所示，已知i₁=-3A，i₂=1A，i₆=-4A，i₅=-1A，求i₃、i₄、i₇、i₈。

解：對節(jié)點(diǎn)a有i₁= i₄+i₆代入數(shù)據(jù)

i₄= i₁-i₆=-3-（-4）=1（A）

對節(jié)點(diǎn)①有i₂+i₄=i₅+i₇

i₇=i₂+i₄-i₅=1+1-（-1）=3（A）

對節(jié)點(diǎn)②：i₆+i₇+i₈=0代入數(shù)據(jù)

i₈=-i₆-i₇=-（-4）-3=1（A）

對節(jié)點(diǎn)d有i₅=i₃+i₈代入數(shù)據(jù)

i₃=i₅-i₈=-1-1=-2（A）

解得i₃=-2A，它表明i₃的實(shí)際方向是流入節(jié)點(diǎn)d，大小為2A。

2. 推廣的基爾霍夫電流定律

KCL也可被推廣應(yīng)用到電路中一個假設(shè)的閉合面S上，該S面又稱為廣義節(jié)點(diǎn)。

“在集總電路中，任意時刻，流入任意閉合面的電流之和等于流出該閉合面的電流之和”。

如圖1-21所示，對廣義節(jié)點(diǎn)即由虛線表示的閉合面S，應(yīng)用KCL有

i₁+i₂= i₃

上式關(guān)系的成立，不難應(yīng)用例1-4的結(jié)果得到證明。

所以，基爾霍夫定律不僅適用于節(jié)點(diǎn)，也適用于閉合面（廣義節(jié)點(diǎn)）。

注意

（1）KCL的實(shí)質(zhì)是電流的連續(xù)性，是電荷守恒的具體體現(xiàn)。在節(jié)點(diǎn)處電荷不會形成、消失或積累。

（2）KCL表示了電流的約束關(guān)系，與支路上接的是什么元件無關(guān)，并且與電路是線性還是非線性無關(guān)。

（3）KCL與電路中的其他公式一樣，列寫方程時，按照參考方向列寫即可，一般不用考慮實(shí)際方向。

如圖1-22所示，因?yàn)樽?、右兩?cè)的回路均可看作一個廣義的節(jié)點(diǎn)，流進(jìn)（或流出）廣義節(jié)點(diǎn)電流只有一個，因此i₁=0，A、B兩點(diǎn)電位相等。

1.6.2 基爾霍夫電壓定律（KVL）

1. 基爾霍夫電壓定律（KVL——Kirchhoff's Voltage Law）

“在集總電路中，任意時刻，沿任意回路繞行一周，回路中各段電壓的代數(shù)和等于零”。KVL是描述回路中各支路（或各元件）電壓之間關(guān)系的定律。

沿任意回路繞行一周有

∑u=0?。?-21）

應(yīng)用定律前，應(yīng)先選定回路的繞行方向，并任意假定各支路電壓的參考方向。

（1）標(biāo)定各元件電壓參考方向。一般地，在負(fù)載上，默認(rèn)電壓與電流成關(guān)聯(lián)方向，可以只標(biāo)出電流或電壓一個方向即可。

（2）任選回路繞行方向，順時針或逆時針。一般規(guī)定，與回路繞行方向一致的支路電壓取正號，相反的取負(fù)號。即沿回路電位降（電壓）取正，電位升是負(fù)，或反之。

圖1-23所示為電路的一部分。

沿回路1繞行一周有　u₂-u₁+u₃=0

代入電阻的VCR，上述KVL方程也可表示為

-R₂i₂-R₁i₁+R₃i₃=0

圖1-23中，R₁、R₃上電壓與電流是關(guān)聯(lián)方向，可以不用標(biāo)出電壓u₁和u₃的方向，而R₂上電壓與電流是非關(guān)聯(lián)方向，此時u₂=-R₂i₂即VCR方程加負(fù)號。

2. 推廣的基爾霍夫電壓定律

KVL也可被推廣應(yīng)用到開口電路或任一假想的回路，如圖1-24所示。

“在集總電路中，任意時刻，開口電壓U_ab等于從a到b各段電壓的代數(shù)和”。

圖1-24電路可列方程

U_ab=U₁+U₂+U_s

注意：

（1）KVL的實(shí)質(zhì)是電位的單值性，是能量守恒的具體體現(xiàn)。

（2）KVL表示了電壓的約束關(guān)系，與回路中各支路上接的是什么元件無關(guān)，與電路是線性還是非線性無關(guān)。

（3）按KVL列方程時，是按電壓參考方向列寫，與電壓實(shí)際方向無關(guān)。

例1-5　求圖1-25所示電路中電流源的端電壓u。

解法1　列出支路KVL方程（也可設(shè)想一回路，順時針繞行一周）

u-1×3-4-5=0，解得u=12V

解法2　a、b間的電壓（電位降）是5V，然后從a走到b所經(jīng)過的每個器件上的電位降（電壓）為正，電位升為負(fù)，因此

5=u-1×3-4，解得u=12V

說明：第一個方法只是為了應(yīng)用基爾霍夫電壓定律的回路，第二個方法應(yīng)用更直觀。