第4章　阻尼器減震結構的計算分析

4.1　阻尼比計算

4.1.1　阻尼分析

使自由振動的振幅穩(wěn)定地減小的作用稱為阻尼。振動體系的能量可由各種機制耗散，經常是多于一種的機制同時呈現。消能減震結構的阻尼比由主體結構阻尼比ζl、消能部件附加給結構的有效阻尼比ζd以及結構滯回消能等效阻尼比組成。

1.結構固有阻尼

主體結構阻尼即結構（固有）等效黏滯阻尼，源于材料重復彈性變形的熱效應以及固體變形時的內摩擦，包括鋼連接中的摩擦、混凝土微裂縫的張開與閉合、結構自身與像填充墻那樣的非結構構件之間的摩擦。但在實際建筑中，要識別或用數學描述這些能量耗散機理中的每一項幾乎是不可能的。

因此，實際結構中的阻尼通常用高度理想化的方法描述。出于多種目的，單自由度結構的實際阻尼可滿意地理想化為一個線性黏滯阻尼器或減震器。阻尼系數的選擇，一般令其所耗散的振動能量與實際結構中的所有阻尼機理組合的能量耗散相當。因此，這種理想化稱為等效黏滯阻尼。

對于多自由度結構，直接根據結構的大小、結構構件的尺寸以及所用結構材料的阻尼特性來計算阻尼矩陣的系數是不切實際的。因此，通常用振型阻尼比的數值確定阻尼，這對于具有經典阻尼的線性體系分析已經足夠了。然而，由于具有非經典阻尼體系的線性分析以及非線性結構的分析都需要阻尼矩陣，因此需要根據振型阻尼比建立結構阻尼矩陣。

在進行多自由度結構振型阻尼比估算時，最有用而又很難得到的數據是在結構強烈振動但是還沒有進入非彈性范圍的時候。在結構較小運動時確定的阻尼比不代表在結構運動較大幅值時的阻尼；另外一方面，在地震中經歷顯著屈服時記錄到的結構運動所提供的阻尼比將包括由于結構材料的屈服引起的能量耗散。這些阻尼比在運動分析時是沒有用的，因為在屈服時耗散的能量將通過非線性的力—變形關系分開來考慮。在積累足夠的大量數據庫之前，阻尼比的選擇取決于所得到的任何數據和專家意見。

建議的阻尼比可以直接應用于具有經典阻尼的結構線彈性分析。對于這類體系，當變換到無阻尼體系的固有振型時，運動方程將成為非耦合的，所估計的振型阻尼比可以直接應用于每一個振型方程。

如果待分析的體系包括兩個或兩個以上具有明顯不同阻尼水平的部分，那么經典阻尼假設將不再適用。結構—土體系統(tǒng)就是這樣的一個例子。

經典阻尼假設對于具有特殊耗能裝置的結構或者在基礎隔震系統(tǒng)之上的結構也不適用，即使結構自身具有經典阻尼。體系的非經典阻尼矩陣首先采用經典阻尼矩陣的方法，根據適合結構的阻尼比，通過計算結構自身（沒有特殊裝置或隔震器）的經典阻尼矩陣來建立；然后再包括耗能裝置或者隔震器的阻尼貢獻，從而得到整個體系的阻尼矩陣。

《建筑消能減震技術規(guī)程》（JGJ 297—2013）的3.3.3、3.3.4條文說明中規(guī)定：“……當結構處于彈性狀態(tài)時，主體結構阻尼比ζl為一定值（混凝土結構為0.05、鋼結構為0.02/0.03）”。

2.消能減震器附加阻尼

《建筑消能減震技術規(guī)程》（JGJ 297—2013）的3.3.3、3.3.4條文說明中規(guī)定：“消能減震結構由于消能器的存在，增加了結構的總阻尼比ζ。因此，消能部件附加給結構的有效阻尼比的計算是消能減震結構體系設計中的關鍵問題。當ζ計算過高時，會高估消能器的耗能能力，消能器將不能有效地保護主體結構，使結構設計偏于不安全；當ζ計算過低時，消能器不能發(fā)揮其應有的作用，將增加經費投入。因此，需合理地計算消能器附加給結構的阻尼比，使結構設計安全又經濟。”

液體黏滯阻尼器阻尼力的來源是通過在裝置內設硅油，缸筒內活塞隨著結構的運動而運動時，活塞頭向一端運動，內設硅油受到擠壓，對活塞產生反向黏滯力。同時，硅油從活塞頭上的小孔向活塞頭的另一端流去，使活塞的受力逐步減少。在活塞的往復運動中液體起黏滯阻尼作用，耗散地震風振能量，從而對結構起到減震控制作用。

3.結構滯回阻尼

《建筑消能減震技術規(guī)程》（JGJ 297—2013）的3.3.3、3.3.4條文說明中規(guī)定：“……當主體結構進入塑性狀態(tài)后，部分結構構件發(fā)生塑性變形，阻尼比相對于彈性狀態(tài)有所提高，主體結構阻尼比ζl應重新計算，并考慮結構構件塑性變形的影響。”

自20世紀60年代以來，已經進行了數百次試驗來確定地震條件下結構的力—變形特性。結構在地震中將經歷往復變形的振蕩運動，在此條件下對結構構件、組合構件、縮尺結構模型和小型足尺結構進行模擬循環(huán)試驗。試驗結果表明，結構的循環(huán)力—變形特性取決于結構材料和結構體系。以下力—變形圖表示了由于非彈性特性而產生的循環(huán)變形下的滯回環(huán)特性（見FEMA），抗震結構必須在往復重復荷載循環(huán)下保持強度和剛度。

（1）懸臂梁的往復彎曲循環(huán)

實驗室測試得到的飽滿滯回曲線如圖4-1所示，相當接近簡易模型的結果[注：圓角（鮑辛格效應）；正斜率（應變硬化）；工作結束（測量區(qū)域內循環(huán)）]。

（2）短粗鋼支撐軸向載荷循環(huán)

實驗室試驗表明，在連續(xù)循環(huán)中的強度和剛度退化，如圖4-2所示。需注意，隨著循環(huán)次數增加，曲線斜率和材料強度降低。

（3）混凝土梁的受彎循環(huán)

實驗室測試顯示輕度的捏塑滯回，如圖4-3所示。需注意的是，捏塑減少了內部環(huán)路的面積（即消耗更少的能量）；重新加載斜率的改變會帶來捏塑的外形變化，這是由于裂縫的開啟和關閉；螺栓連接、鉚接或釘接會導致類似的效果。

4.1.2　阻尼比計算原理

1.線彈性單自由度系統(tǒng)阻尼比計算原理

我國現行《建筑抗震設計規(guī)范》（GB 50011）及《建筑消能減震技術規(guī)程》（JGJ 297—2013）中關于附加阻尼比的計算方法都源于單自由度體系估算阻尼比的“每周共振能量損失法”。因而，這里首先說明一下該方法的益處。

對于一個單自由度結構的反應分析，假定體系的質量m、剛度k、固有圓頻率ω是已知的，對該體系利用每周共振能量損失法。確定黏滯阻尼比的這種方法是基于相對位移反應的穩(wěn)態(tài)振幅測量。這種反應是由諧振荷載所引起的，荷載幅值為p0，激振頻率為包含體系固有頻率而跨越較寬范圍的離散值。

考慮在穩(wěn)態(tài)諧振條件下作用在質量上的力，力的平衡要求慣性力、阻尼力、彈簧力之和等于所作用的荷載。在復平面上它們與作用荷載以向量表示，如圖4-4所示。

圖4-4中，因為θ=90°時荷載恰好與阻尼力平衡。因此，如果把一加載循環(huán)中荷載和位移之間的關系畫出，則這個圖也可稱為阻尼力—位移圖，如圖4-5所示。如果體系真的具有線性阻尼，則曲線為一橢圓，如圖4-5中虛線所示。在這種情況下，阻尼系數可直接用最大阻尼力與最大速度由下式來確定：

或

ξ=p0/（2mω2ρ）　　（4-2）

如果阻尼不是前面假定的線性黏滯阻尼，而是非線性黏滯形式，則由上述處理所獲得的作用力—位移圖形狀將不是橢圓，而是如圖4-5中實線所示的不同形狀的曲線。在這種情況下，即使所作用的仍然是純諧波荷載，反應也將不再是諧波反應。然而，每周的能量輸入等于每周阻尼能量損失ED，而求圖中作用力—位移曲線所包含的面積可獲得這個ED。這就允許對相應的位移幅值計算等效黏滯阻尼比，當將它作為線性黏滯阻尼形式使用時，與真實試驗情況每一循環(huán)損失相同的能量。也即，這個等效阻尼比與橢圓形的作用力—位移圖形相關聯(lián)，并與非橢圓圖形具有相同的面積ED。這個能量等價要求：

ED=（2π/ω）Pavg=（2π/ω）（ξeqmω3ρ2）　　（4-3）

或

ξeq=ED/（2πmω2ρ2）=ED/（2πkρ2）　　（4-4）

式（4-4）的形式更便于應用。

如果結構是線彈性的，則用這樣的方法所獲得的靜力—位移圖將如圖4-6所示，而剛度即等于直線的斜率。

而應變能為

因而

2.多自由度系統(tǒng)影響阻尼比的因素

等效附加阻尼比存在不唯一、不確定性。

（1）FEMA356規(guī)定

隔震與消能：非線性時程分析中，不允許用整體結構阻尼代替消能裝置中的黏滯效應。

（2）FEMAP-1050-1規(guī)定

振動阻尼和附加黏滯阻尼的影響都是取決于振幅的，而且它們對總體有效阻尼的相關貢獻隨著結構屈服后響應的量而變化。

（3）我國《建筑抗震設計規(guī)范》規(guī)定

消能減震結構的總阻尼比應為結構阻尼比和消能部件附加給結構的有效阻尼比的總和；多遇地震和罕遇地震下的總阻尼比應分別計算。

“附加給結構的有效阻尼比”僅僅計算了對應于結構基頻的附加阻尼比，FEMA 450指出，在應用“等效側向力”的線性分析方法時，裝有消能部件的結構對設計地震的反應需從兩部分振型模態(tài)計算而來：結構基頻模態(tài)和其余模態(tài)。“其余模態(tài)”就是近似計入了多個高階振型的影響。高階振型的影響不僅對樓層層間位移的計算很重要，而且，特別是對用速度型阻尼器消能的結構來說，對樓層層間速度的計算也有很重要的影響。因而影響速度型阻尼器的設計。當然，當使用“振型分解法”時，高階振型的影響可以直接計入。

因此評價阻尼裝置的效果不能單純依靠阻尼比的數值；在非線性分析中，使用有效阻尼來評價減震裝置的效果；評價減震效果最好的方式：最大位移和基底剪力。

3.非線彈性多自由度系統(tǒng)阻尼比計算的修改及擴展應用

將非線性黏滯阻尼等效為線性黏滯阻尼如圖4-7所示。

當每周共振能量損失法用于非簡諧共振激勵條件的多自由度、非線彈性體系時，會產生一定誤差，也會有一定限制條件。例如：用于多自由度體系的基頻振型（非線彈性體系也近似地采用相應的線彈性體系的“振型”），當等效阻尼比隨振幅、頻率等變化時（特別是非線彈性體系經受較大振動時）可采用分段線性化，或等效平均阻尼比的方法。

因此，將前述的每周共振能量損失法應用到實際消能減震結構中所需要做的修正，至少應包括如下方面：

（1）能量計算中單自由度結構的位移需轉換成多自由度結構的振型位移（如基頻振型），并進一步轉換成結構物控制點（如建筑物頂層）位移。

（2）線彈性結構的最大線性反應位移轉換成彈塑性結構的最大非線性反應位移。

（3）彈塑性結構不同的滯回環(huán)、形狀特點（如滯回環(huán)的飽滿度、剛度退化、屈服強度的降低、捏塑和滑移效應）對非線性反應位移的影響。

（4）考慮屈服后的動力P-Δ及負剛度影響。

則

其中

C0：考慮多自由度結構的頂點位移和等效單自由度結構位移的區(qū)別。

C1：考慮結構中最大的彈性和非彈性位移幅值的不同，位移應該相對穩(wěn)定并有完整的滯回曲線，且位移基于非線性單自由度的雙線性滯回模型的平均響應。

C2：對最大位移響應，考慮重要的捏塑、剛度退化和強度退化。

C3：對表現負的屈服后剛度的框架結構，動力P-Δ效應可能導致位移的大幅增加。

因為有諸多的近似取舍，在結構設計中使用等效阻尼比要十分小心。在最終的設計中最好采用基于非線性模型的直接積分等方法。

對于等效黏滯阻尼，從裝置層面來說，位移型裝置不能用速度型裝置代替。許多簡化程序允許在結構上存在這樣的替換，這就為整體結構找到了一個模糊的等效阻尼比，這種方法在初步設計中用處有限，而且在最終設計的任何情況下都不應使用。

分析消能減震結構的總阻尼的目的是預測破壞、增加阻尼、減少變形和損傷。FAMA 274提到：將消能裝置引入到建筑框架中的主要目的是降低框架的位移和破壞。這就要求基于性能的設計需要對可能發(fā)生在結構中的破壞進行量化。“破壞指數”必須進行校準，這樣它才能預測和量化在所有性能水平下的破壞。雖然層間位移角和非彈性組件的變形可以有效測定破壞情況，但是響應的主要特征丟失了。許多不同的測定破壞的措施都取決于（地震動）持續(xù)時間。

4.1.3　阻尼比計算

1.中國規(guī)范的消能部件附加阻尼比計算

按照《建筑消能減震技術規(guī)程》（JGJ 297—2013），消能部件設計及附加阻尼比應滿足的規(guī)定如下：

（1）消能部件的設計參數應符合下列規(guī)定：

①位移相關型阻尼器與斜撐、支墩等附屬構件組成消能部件時，消能部件的恢復力模型參數應符合下式規(guī)定：

Δupy/Δusy≤2/3　　（4-9）

式中　Δupy——消能部件在水平方向的屈服位移或起滑位移（m）；

Δusy——設置消能部件的主體結構層間屈服位移（m）。

②黏彈性阻尼器的新彈性材料總厚度應符合下式規(guī)定：

tv≥Δudmax/[γ]　　（4-10）

式中　tv——黏彈性阻尼器的新彈性材料總厚度（m）；

Δudmax——沿消能方向阻尼器的最大可能的位移（m）；

[γ]——黏彈性材料允許的最大剪切應變。

③速度線性相關型阻尼器與斜撐、墻體（支墩）或梁等支撐構件組成消能部件時，支撐構件沿阻尼器消能方向的剛度應符合下式規(guī)定：

Kb≥6πCD/T1　　（4-11）

式中　Kb——支撐構件沿阻尼器消能方向的剛度（kN/m）；

CD——阻尼器的線性阻尼系數[kN/（m/s）]；

T1——消能減震結構的基本自振周期（s）。

（2）消能部件附加給結構的實際有效剛度和有效阻尼比，可按下列方法確定：

①位移相關型消能部件和非線性速度相關型消能部件附加給結構的有效剛度可采用等價線性化方法確定。

②消能部件附加給結構的有效阻尼比可按下式計算：

式中　ζd——消能減震結構的附加有效阻尼比；

Wcj——第j個消能部件在結構預期層間位移Δuj下往復循環(huán)一周所消耗的能量（kN·m）；

Ws——消能減震結構在水平地震作用下的總應變能（kN·m）。

③不計及扭轉影響時，消能減震結構在水平地震作用下的總應變能可按下式計算：

Ws=∑Fiui/2　　（4-13）

式中　Fi——質點i的水平地震作用標準值（一般取相應于第一振型的水平地震作用即可，kN）；

ui——質點i對應于水平地震作用標準值的位移（m）。

④速度線性相關型阻尼器在水平地震作用下所往復一周所消耗的能量可按下式計算：

式中　T1——消能減震結構的基本自振周期（s）；

Cj——第j個阻尼器由試驗確定的線性阻尼系數[kN/（m·s）]；

θj——第j個阻尼器的消能方向與水平面的夾角（°）；

Δuj——第j個阻尼器兩端的相對水平位移（m）。

當阻尼器的阻尼系數和有效剛度與結構振動周期有關時，可取相應于消能減震結構基本自振周期的值。

⑤非線性黏滯阻尼器在水平地震作用下往復循環(huán)一周所消耗的能量可按下式計算：

Wcj=λ1FdjmaxΔuj　　（4-15）

式中　λ1——阻尼指數的函數；

Fdjmax——第j個阻尼器在相應水平地震作用下的最大阻尼力（kN）。

⑥位移相關型和速度非線性相關型阻尼器在水平地震作用下往復循環(huán)一周所消耗的能量可按下式計算：

Wcj=∑Aj　　（4-16）

式中　Aj——第j個阻尼器的恢復力滯回環(huán)在相對水平位移Δuj時的面積（kN·m）。

（3）采用振型分解反應譜法分析時，結構有效阻尼比可采用附加阻尼比的迭代方法計算。

（4）采用時程分析法計算阻尼器附加給結構的有效阻尼比時，阻尼器兩端的相對水平位移Δudj、質點i的水平地震作用標準值Fi、質點i對應于水平地震作用標準值的位移ui，應采用符合《建筑消能減震技術規(guī)程》第4.1.4條規(guī)定的時程分析結果的包絡值。分析出的阻尼比和結構地震反應的結果應符合《建筑消能減震技術規(guī)程》第4.1.4條的規(guī)定。

（5）采用靜力彈塑性分析方法時，計算模型中阻尼器宜采用《建筑消能減震技術規(guī)程》第4章給出的恢復力模型，并由實際分析計算獲得阻尼器附加給結構的有效阻尼比，不能采用預估值。位移相關型阻尼器可采用等剛度的桿單元代替，并根據阻尼器的力學特性于該桿單元上設置塑性鉸，以模擬位移相關型阻尼器的力學特性。

（6）消能減震結構在多遇和罕遇地震作用下的總阻尼比應分別計算，消能部件附加給結構的有效阻尼比超過25％時，宜按25％計算。

2.對中國規(guī)范的消能部件附加阻尼比計算的補充

當阻尼器非線性（α≠1）時，盡管中國規(guī)范給出了式（4-16）作為阻尼器耗能的計算公式，但實際操作卻很困難。

黏滯阻尼器不產生剛度，其阻尼力僅與速度有關。當阻尼器水平放置時，阻尼器出力為

當阻尼器斜向放置時，阻尼器出力為

式中，θ為阻尼器與水平面的夾角；C0為廣義阻尼系數； 為阻尼器兩端相對水平速度；α為速度指數，實際工程中取0.2～1.0。

當α=1時，阻尼器表現為線性；當α<1時，阻尼器表現為非線性。

相關文獻提出，對于結構的各階振型，結構減震的阻尼比如下：

式中，ξeff為結構設置阻尼器后的阻尼比；ξ為結構不加阻尼器時的阻尼比，對于混凝土結構一般取0.05；Wj為第j個阻尼器消耗的能量；Ws為結構的最大應變能。

對于非線性黏滯阻尼器，假定阻尼器受到u（t）=u0sin（ωkt）的簡諧激勵，將式（4-18）在一個周期內對位移積分，可得

式中，C0j為每個阻尼器可提供的阻尼系數； ；Γ（·）為伽瑪函數；θj為結構中安置的阻尼器與水平面的夾角；αj為阻尼器的速度指數。

近似認為結構的最大位移應變能與結構的最大動能相等：

式中，mi為第i層的質量；ui為第i層的水平位移；ωk為該激勵的振動頻率。

將式（4-20）、式（4-21）代入式（4-19），得結構加阻尼器后的附加阻尼比公式為

式中，ηj表示安置阻尼器的第j層中阻尼器的個數；uj表示安有阻尼器樓層的層間位移。

對于線性阻尼器，αj=1，式（4-22）變?yōu)?/p>

應用中國規(guī)范公式計算結構附加阻尼比可以手算，也是中國目前幾乎唯一被設計單位認可的計算方法，但是這種方法的最大缺點是其計算的結果與阻尼器的布置位置無關。

3.美國消能部件附加阻尼比計算方法（ASCE 7-10）

每個線性黏性阻尼器的力—速度關系可按下式描述：

式中，Cj為阻尼系數；uDj為阻尼器兩端相對位移； 為阻尼器兩端相對速度。

阻尼器兩端的相對位移和層間位移Δrj的關系是

uDj=fjΔrj　　（4-25）

式中，fj為位移放大倍數，對于傳統(tǒng)連接方式，在人字支撐連接時為1，在對角連接時為cosθj，θj為第j個阻尼器與水平面的夾角。

建筑的模態(tài)阻尼比可以根據下式計算：

式中，WD為非線性阻尼器在一個周期反應中所消耗的能量。

假設考慮一建筑受簡諧振動激勵

式中，Droof為頂層位移的振幅；Tm為減震前結構第m階的周期；{ф}m為減震前結構第m階樓層的標準化位移矩陣（將頂層位移標準化為1）。

在m階下減震系統(tǒng)每運動周期所消耗的能量為

其中

фrj=фjm-ф（j-1）m　　（4-29）

式中，фrj為第m階振型第j個自由度與第j-1個自由度的標準化位移差，而Δrj=Droofфrj。

最大應變能Ws等于最大動能，即

第m階黏滯阻尼比為

式中，wi為樓層i的重量。

現在考慮非線性黏性阻尼裝置的情況，如下：

式中，CNj為阻尼系數；αj為速度指數。

依舊可以由式（4-26）來計算阻尼比，但阻尼比會與頂層位移的振幅相關。假設振動依照式（4-27），則

其中

此時式（4-30）仍然是有效的，因此最終結構第m=1階的附加阻尼比為

4.美國滯回耗能的等效阻尼比計算

相關計算圖式如圖4-8～圖4-10所示。

從阻尼能和應變能（圖4-11）中計算“真實”黏滯阻尼比：

單自由度黏滯阻尼體系經受諧波位移u（t）=u0sin（ωt）時，彈簧和減震器總的凈出力為。

一個振動循環(huán)消耗的能量是滯回環(huán)的內部面積，可通過如下公式計算：

最大位移處，速度為0，系統(tǒng)中的應變能為

諧波諧振中的等效黏滯阻尼為

5.美國消能減震結構的總阻尼比（FEMA P-1050-1）

當分析計算本身需要等效附加阻尼比時，應（可）采用式（4-20）或類似更完善的能量估算公式。當分析計算本身并不需要等效附加阻尼比時（如非線性時程分析），不必外加估算等效附加阻尼比。當評價減震效果時，不必采用等效附加阻尼比作為一個衡量指標，更不應將所謂的“總體結構總阻尼比”（理論混淆，阻尼量隨許多因素變動）作為重要或唯一的評價指標。

（1）有效阻尼

在考慮的方向上，結構第m階振型在設計位移和最大位移下的有效阻尼βmD和βmM應該采用式（4-39）和式（4-40）計算。

式中　βHD——在結構所考慮的方向上，由結構抗力體系的屈服后滯回行為和有效延性需求μD下的阻尼系統(tǒng)單元帶來的有效阻尼部分；

βHM——在結構所考慮的方向上，由結構抗力體系的屈服后滯回行為和有效延性需求μM下的阻尼系統(tǒng)單元帶來的有效阻尼部分；

βI——在結構抗力體系處于或恰好低于有效屈服位移時，因結構構件固有耗能帶來的有效阻尼部分；

βVm——在考慮的方向上，抗力體系處于或恰好低于有效屈服位移時，由阻尼系統(tǒng)的黏滯耗能帶來的結構第m階振型的有效阻尼部分；

μD——在考慮的方向上，抗力體系基于設計地震地面運動的有效延性需求；

μM——在考慮的方向上，抗力體系基于MCER地面運動的有效延性需求。

除非有分析或者試驗數據支持其他數值，考慮方向上高階振型的有效延性需求應按1.0取。

①固有阻尼

固有阻尼βI要基于屈服或屈服前結構抗力體系的材料類型、結構外形、結構特性以及非結構構件的動態(tài)響應來確定。除非有分析或者試驗數據支持其他數值，結構固有阻尼對所有振型應不高于5％。

②滯回阻尼

結構抗力體系和阻尼系統(tǒng)單元的滯回阻尼應基于試驗或分析，或應采用式（4-41）和式（4-42）計算。

式中　qH——滯回環(huán)調整系數。

除非有分析或者試驗數據支持其他數值，考慮方向上高階振型的振動阻尼應為0。

抗力體系和阻尼系統(tǒng)單元滯回阻尼的計算，要考慮在地震作用下的多次循環(huán)時，減小滯回環(huán)面積的捏塑或其他效應。除非有分析或者試驗數據支持其他數值，否則用于設計的抗力體系的完整滯回面積的一部分應該等于系數qH，計算公式如下：

式中　TS——由比值SD1/SDS定義的周期，SD1為周期1s時的設計反應譜加速度參數，SDS為短周期范圍內的設計反應譜加速度參數；

T1——在考慮的方向上，結構基本振型的周期。

qH的值不應大于1.0，不宜小于0.5。

③黏滯阻尼

結構第m階振型的黏滯阻尼應采用下列公式計算：

式中　Wmj——模態(tài)位移為δim時，在考慮的方向上，第m階振型第j個減震裝置在一個完整動力反應循環(huán)內所做的功；

Wm——模態(tài)位移為δim時，在考慮的方向上，第m階振型的最大應變能；

Fim——第i層上第m階振型的慣性力；

δim——在考慮的方向上，結構第m階振型第i層剛度中心處的變形。

位移型減震裝置的模態(tài)黏滯阻尼，應基于與結構有效屈服位移相等的反應幅值。

單個減震裝置做功的計算，應考慮關于所研究振型的每個減震裝置的方向和參與程度。單個減震裝置的做功應按要求折減，考慮銷軸、螺栓、節(jié)點板、支撐，以及其他連接減震裝置和結構單元的構件的彈性。

（2）有效延性需求

分別基于設計地震和MCER地面運動的抗力體系有效延性需求μD、μM，應采用下列公式計算：

式中　D1D——在考慮的方向上，結構頂層剛度中心在基本振型下的設計位移；

D1M——在考慮的方向上，結構頂層剛度中心在基本振型下的最大位移；

DY——結構抗力體系在有效屈服點時，結構頂層剛度中心的位移；

R——響應修正系數；

Cd——撓曲放大系數；

Ω0——超強系數；

Γ1——在考慮的方向上，結構基本振型的參與系數；

CS1——在考慮的方向上，結構基本振型的地震響應系數；

T1——在考慮的方向上，結構基本振型的周期。

設計地震延性系數μD不應超過給定的有效延性需求的最大值μmax。

（3）最大有效延性需求

為了確定滯回環(huán)調整系數、滯回阻尼和其他參數，有效延性需求最大值μmax應采用下列公式計算：

當T1D≤TS時：

μmax=0.5[（R/（Ω0Ie））2+1]　　（4-49）

當T1≥TS時：

μmax=R/（Ω0Ie）　　（4-50）

式中　Ie——居住重要性系數；

T1D——在考慮的方向上，達到設計位移時，結構基本振型的有效周期。

當T1<TS<T1D，μmax應通過式（4-49）和式（4-50）的線性插值確定。

（4）總阻尼比的應用

圖4-12說明了由于有效阻尼的增加而引起的基本模態(tài)設計地震響應的減少（由參數B1D表示）。能力曲線是基本模態(tài)非線性反應的譜加速度—位移曲線。由阻尼引起的反應降低應用在了基本振動模態(tài)（基于割線剛度）的有效周期內。

因為使用線性分析方法，基本振型的推覆曲線形狀是未知的，因此假定了一個理想的彈塑性形狀，如圖4-13所示。這一理想推覆曲線的目的是在設計地震位移D1D處與實際的推覆曲線共用一個點。理想曲線允許依據設計地震定義全局延性需求μD，作為設計位移D1D和屈服位移DY的比值。這一延性系數用來計算很多設計參數，它不能超過抗力體系的延性能力μmax，μmax是使用傳統(tǒng)結構響應計算的。使用線性方法計算的設計案例已經得到了發(fā)展，并與非線性時程分析的結果對比良好。

阻尼系統(tǒng)單元是設計用于與基底剪力值VY相一致的基本振型設計地震力的（除了減震裝置是用于MCER設計或原型測試）。抗力體系的構件是設計用于已折減的基本振型基底剪力VI的，在線性分析（實際推覆強度未知）時，這里力的折減依據系統(tǒng)超強系數（以Ω0表示）乘以Cd/R。應用比值Cd/R進行折減是必要的，因為標準提供的Cd值都小于R值。當兩個參數值相等，且結構在彈性狀態(tài)下阻尼比為5％時，則不需要調整。由于分析的方法理論基于計算實際樓層位移角和減震裝置位移（而不是折減的基底剪力乘以Cd時的彈性狀態(tài)計算的位移），因此調整是必須的。實際樓層位移角計算后，允許樓層位移角限值要乘以R/Cd后使用。

6.美國消能減震結構設計中的迭代計算

關于阻尼器的“迭代”設計和“降度設計”，FEMA 273介紹了“側向力方法”（它是用于速度型裝置的線性靜力方法計算減震效應），步驟如下：

（1）用阻尼修正參數B、BS或B1減小橫向荷載V，評估修改后的擬橫向荷載V，與重建建筑中假定的有效阻尼對應。

擬橫向荷載是橫向慣性力的總和，且必須應用到線彈性的模型中以產生位移，該位移應約等于實際結構經受與設計地震一致的地面運動時產生的位移。

（2）使用修正后的V計算橫向慣性力Fx。樓層慣性力等于該層的響應加速度乘以它的質量。

（3）使用橫向力Fx，并線性分析數學模型，來計算每一層i處的橫向位移di。

（4）使用位移δi估計有效阻尼βeff，如下：

式中　Wj——與樓層位移δi一致的一個完整循環(huán)里裝置j所做的功；

Wk——框架中的最大應變能；

Fi——第i層的慣性力以及遍布所有樓層的總和。

（5）在第（1）到（4）步之間迭代，直到用來計算修正后的等效基底力的有效阻尼的估算值等于隨后第（4）步中計算的有效阻尼。

（6）消能裝置在高階振型的阻尼力必須忽略NSP的應用。

4.1.4　附加阻尼比實用計算方法

1.能量平衡阻尼比計算方法在PERFORM-3D軟件中的應用

作為臨界阻尼的比值，模態(tài)阻尼比的概念嚴格地限定只在線性結構特性中應用。然而，為非線性特性計算一個近似的等效阻尼比也是可能的。如果一個有黏滯阻尼的線性單自由度結構受到恒定振幅的強制正弦振動，則能量會在每個循環(huán)中消散。

（1）“彈性”黏滯阻尼

①阻尼矩陣

當指定模態(tài)阻尼時，PERFORM使用的阻尼矩陣是基于已經計算了振型形狀的振型。可以指定要計算的振型多達50個，但是考慮更多的振型是沒必要的，一般情況下，同一結構考慮的振型數量和線性分析的數量一樣就夠了。PERFORM利用動力學原理，使用振型和周期來計算隱含的阻尼矩陣，矩陣如下所示：

式中，N為有阻尼的振型數量；Tn為振型周期；ξn為振型阻尼比；M為質量矩陣；фn為振型形狀。

當使用模態(tài)阻尼時，建議增加少量的Rayleigh阻尼。

為了得到分析的每一步的平衡方程的解，結構剛度矩陣被劃分了；然而，阻尼矩陣不劃分。受剛度矩陣劃分影響的阻尼矩陣的所有項包括在剛度矩陣之中（它們是“等式左邊項”）。其余系數不包括于剛度矩陣中，但會在每步最后因計算抵抗力而導致平衡失衡時考慮（它們是“等式右邊項”）。因為這樣，阻尼力引起一些平衡失衡。這些失衡附加于任何由非線性表現引起的失衡。這趨向于增加能量平衡的誤差，但經驗表明影響通常很小。

②物理解釋

考慮模態(tài)阻尼的物理意義以及理解線性和非線性結構中模態(tài)阻尼之間的差異是很有用的。由于一個線性結構在地震動力荷載下變形的形狀持續(xù)改變，在此形狀能夠被分解為多個振型的任何時刻，每一振型在其自然頻率上獨立振動。如果假定了模態(tài)阻尼，每一模態(tài)都是獨立衰減。幾十年的經驗已經表明，線性分析中假設模態(tài)阻尼是合理的。

原則上這可以擴展到非線性結構。如果結構的表現在線性和良好定義的非線性“事件”（如形成塑性鉸）之間，振型可以在每一“事件”（即結構剛度變化的每一時間）重新計算，因此模態(tài)阻尼可以假設。

然而，在每一“事件”重新計算振型（實際上是阻尼矩陣）過于耗費時間。因此，當模態(tài)阻尼用于一個非線性結構時，假設阻尼矩陣保持恒定。在任何時刻，結構變形的形狀仍然包含彈性振型的貢獻。然而，與線性情況不同，這些形狀的振動的有效周期不是線性周期，形狀通常不獨立（不解耦），且變形包含的形狀不包含線性振型。具有下列影響：

a.振型仍然衰減，有效阻尼系數不變，但有效周期可能已經改變（可能增加），阻尼的量（表示為臨界阻尼的比例）通常改變。

b.變形形狀中只有對應于線性振型的部分衰減，其他所有變形不衰減。

這不能證明基于線性振型的阻尼模型是無效的，它僅表明物理解釋是困難的。這種類型的模型可能是目前可用的模型中最好的。

（2）近似阻尼比

①能量的類型

對于一個動力分析，有如下7種不同類型的能量：

a.質量中的動能。

b.構件中的可恢復應變能。

c.構件中的不可恢復非彈性的能量耗散。

d.αM阻尼器的黏滯能量耗散。

e.構件中的βK阻尼的黏滯能量耗散。

f.模態(tài)阻尼的黏滯能量耗散。

g.液體阻尼器組件的黏滯能量耗散。

PERFORM-3D在分析的每一步都計算上述每一個能量（帶有如下所述某些近似）。PERFORM-3D也計算結構上的外部做功，對于地震分析其為基底剪力做功，然而實際上計算的是由等效慣性力做的功。PERFORM-3D能量平衡圖示意的截圖如圖4-14所示。

②近似阻尼比

a.概述

作為臨界阻尼的百分比，模態(tài)阻尼比的概念僅嚴格地適用于線性結構特性。然而，它能夠計算非線性表現的近似等效阻尼比。

b.理論

如果一個帶有黏滯阻尼的線性單自由度結構受到一恒定振幅的強迫正弦振動，能量會在每一循環(huán)耗散。在一個完整周期內，耗散的能量和對應周期的最大應變能之間的關系為

式中，ξ為阻尼比。

如果一個線性單自由度結構受到地震荷載，應變能將隨時間變化，如圖4-15（a）所示。每一應變能峰值對應一個半循環(huán)。如果知道全部數量的半循環(huán)所耗散的能量，阻尼比可按下式計算

式中，N為半循環(huán)的數量（應變能峰值）。

對于一個多自由度非線性結構，應變能的變化可能更復雜，如圖4-15（b）所示。然而，有效阻尼比可以按下式粗略地估計：

式（4-58）中，假設應變能峰值的均值為平均應變能的2倍。

c.步驟

PREFORM-3D執(zhí)行了上述理論。

使用“Energy Balance”選項，選擇荷載工況并點擊“Plot”繪出結構的能量平衡圖。我們可以鍵入定義時間段的數據（從T1到T2）和此范圍內應變能峰值的數量。

在能量圖中，選擇一個應變能波谷并記錄相應時間（移動光標到波谷來顯示時間）。然后依次向前數若干應變能峰值，并記錄在另一個波谷的時間。鍵入時間和峰值的數量，并點擊“Calculate”來顯示此段的近似阻尼比，則非彈性能量耗散和黏滯阻尼的四種可能類型（模態(tài)、αM、βK及液體阻尼器）的阻尼比便都計算出來了。

2.ATC 40對能量平衡阻尼比計算方法的修改

規(guī)范公式用于基底剪力法、振型疊加法、時程分析法時，計算細節(jié)有所不同。可以考慮如下修正（ATC 40：Push-over修正性能譜方法）：

（1）按規(guī)范公式計算的附加阻尼比是等效的，用來假設在結構將經歷地震的多個循環(huán)中，結構位移等于最大位移。

（2）很可能只有幾個循環(huán)的振幅接近最大值，多數循環(huán)振幅都較小。

（3）直觀地講，基于一個小于最大值的位移，使用有效周期和阻尼應該更精確。

（4）基于有限的經驗，最大值的80％的位移是合理的。

（5）常見的影響為增加周期并減少阻尼，從而增加位移需求。

3.Push-over分析中等效阻尼比的估算

（1）Push-over分析

所有Push-over方法對每個試驗點使用一個振動周期，周期取決于結構剛度。這個周期與阻尼比一起，用于鍵入反應譜來獲得譜加速度需求。

FEMA 440給出了三種不同滯回環(huán)的有效剛度和阻尼比的計算方程，還有不基于特定滯回環(huán)的第四個方程組。用戶也可以選擇指定值。

在一個帶有黏滯阻尼的線性結構中，能量由黏滯阻尼耗散。如果結構隨一恒定振幅和周期振動，阻尼比作為臨界阻尼的百分比為

對于Push-over方法，這個方程用在能力譜方法中，將非彈性耗散的能量轉換為等效阻尼比。方程不用于系數方法或線性化方法。

對于ATC 40能力譜方法，阻尼比是在試驗位移處計算的。耗散的能量為滯回環(huán)的面積，最大應變能為割線剛度線下的面積或0.5HΔ。對于修正的能力譜方法，阻尼比是在有效位移下計算的。兩種情況中，滯回環(huán)的面積以及阻尼比取決于能量比。

（2）使用PREFORM-3D進行Push-over分析

如果結構有使用液體阻尼器構件的單元，這些單元對于Push-over分析的剛度為零。因此，它們不生成抵抗力且對性能曲線沒有影響。然而，因為液體阻尼器增加阻尼的量，它們能夠影響需求曲線以及位移需求。如果有必要，你可以對這些附加阻尼作出解釋。此方法非常近似，但對初步設計可能很有用。

應用此方法，要做如下兩件主要事情：

①當定義液體阻尼器構件的屬性時，要指定“靜力pushover”屬性（在“ComponentProperties”選項中），默認的屬性為零。

②使用能力譜方法，這是明確地考慮阻尼量的唯一方法。其他方法考慮阻尼不明確，且不能考慮液體阻尼器的附加阻尼。

在“Component Properties”選項中設置液體阻尼器構件時，選擇“Static Pushover”頁，在此頁上指定一個黏滯系數C和一個速度指數n。為了計算靜力分析中的能量耗散，組件中的力F按下式計算：

這里為變形率，變形率計算如下：

在一個Push-over分析期間，PERFORM-3D計算每個黏滯桿單元在性能曲線上每一點的軸向變形δ。所有這一變形假設集中于液體阻尼器構件，也就是說，在帶有阻尼器的構件中彈性桿組件表現得非常剛。PERFORM-3D假設結構為恒定振幅的正弦振動，且振動的周期為當前的正割周期。因此，變形率也以正弦形式變化，且阻尼器中力的變化能夠計算（只有n=1時，其為正弦）。因此一個振動循環(huán)耗散的能量便可以得出，這個能量為所有黏滯桿構件耗散能量的總和，且由方程（4-59）轉化為阻尼比。

繪制帶有黏滯桿構件的結構能力曲線時，將液體阻尼器提供的阻尼比繪制在水平軸上。

當計算需求曲線時要考慮附加阻尼比。此阻尼對位移需求的影響能夠由在“Details”頁中指定的一個值“液體阻尼器的有效性系數”看出。為忽略附加阻尼可指定此系數為0，為使用全阻尼則指定為1。因為方法是近似的，經驗表明，系數在0～1之間可以使結果估計的更精確。