十一 分工合作

關于計算工作的題目，它對我來說一向是有點兒神秘感的。今天馬先生一寫出這個標題，我便很興奮。

“我們先講原理吧！”馬先生說，“其實，拆穿西洋鏡的原理也很簡單。工作，只是勞力、時間和效果三項的關聯。費了多少力氣，經過若干時間，得到什么效果，所謂工作的問題，不過如此。想透了，和運動的問題毫無兩樣，速度就是所費力氣的表現，時間不用說就是時間，而所走的距離，正是所得到的效果。”

真奇怪！一經說明，我也覺得運動和工作是同一件事了，然而平時為什么想不到呢？

馬先生繼續說道：“在等速運動中，基本的關系是：

“距離=速度×時間。

“而在均一的工作中——所謂均一的工作，就是經過相同的時間，所做的工相等——基本的關系，便是：

“工作總量=工作效率×工作時間。

“現在還是轉到問題上去吧。”

例一：甲四日可完成的事，乙需十日才能完成。若兩人合做，一天可完成多少？幾天可以做完？

不用說，這題的作圖和關于行路的，骨子里沒有兩樣。我們所躊躇的，就是行路的問題中，距離有數目表示出來，這里卻沒有，應當怎樣處理呢？但這困難馬上就解決了，馬先生說：

“全部工作就算1，無論用多長表示都可以。不過為了易于觀察，無妨用一小段作1，而以甲、乙二人做工的日數4和10的最小公倍數20作為全部工作。試用豎的表示工作，橫的表示日數——兩小段1日——甲、乙各自的工作線怎么畫？”

到了這一步，我們沒有一個人不會畫了。OA是甲的工作線；OB是乙的工作線。大家畫好后爭著給馬先生看，其實他已知道我們都會畫了，眼睛并不曾看到每個人的畫上，盡管口里說“對的，對的”。大家回到座位上后，馬先生便問：

“那么，甲、乙每人一日做多少工作？”

圖上表示得很清楚，1E是四分之一，1F是十分之一。

“甲一天做四分之一，乙一天做十分之一。”差不多是全體同聲回答。

“現在就回到題目上來，兩人合做一日，完成多少？”馬先生問。

“二十分之七。”王有道回答。

“怎么知道的？”馬先生望著他。

“四分之一加上十分之一，就是二十分之七。”王有道。

“這是算出來的，不行。”馬先生。

這可把我們難住了。

馬先生笑著說：“人的事，往往如此，極容易的，常常使人發呆，感到不知所措。——1E是甲一日完成的，1F是乙一日完成的，把1F接在1E上，得D點，1D不就是兩人合做一日所完成的嗎？”

不錯，從D點橫著一看，正是二十分之七。

“那么，試把OD連起來，并且引長到C，與OA、OB相齊。兩人合做二日完成多少？”馬先生問。

“二十分之十四。”我回答。

“就是十分之七。”周學敏加以修正。

“半斤自然是八兩，現在我們倒不必管這個。”馬先生說得周學敏有點兒難為情了，“幾天可以完成？”

“三天不到。”王有道

“為什么？”馬先生。

“從C看下來是二又十分之八的樣子。”王有道。

“為什么從C看下來就是呢？周學敏！”馬先生指定他回答。

我倒有點兒替他著急，然而出乎意料之外，他立刻回答道：

“均一的工作，每天完成的工作量是一樣的，所以若干天完成的工作量和一天完成的工作量，是‘定倍數’的關系。OC線正表示這關系，C點又在表示全工作的橫線上，所以OK便是所求的日數。”

“不錯！講得很透徹！”馬先生非常滿意。

周學敏進步得真快！下課后，因為欽敬他的進步，我便找他一起去散步。邊散步，邊談，沒說幾句話，就談到算學上去了。他說，感覺我這幾天像是個“算學迷”，這樣下去會成“算學瘋子”的。不知道他是不是在和我開玩笑，不過這十幾天，對于算學我深感舍棄不下，卻是真情。我問他，為什么進步這么快，他卻不承認有什么大的進步，我便說：

“有好幾次，你回答馬先生的問話，都完全正確，馬先生不是也很滿意嗎？”

“這不過是聽了幾次講以后，我就找出馬先生的法門來了。說來說去，不外乎三種關系：一、和一定；二、差一定；三、倍數一定。所以我就只從這三點上去想。”周學敏這樣回答。

對于這回答，我非常高興，但不免有點兒慚愧，為什么同樣聽馬先生講課，我卻不會捉住這法門呢？而且我也有點兒懷疑：“這法門一定靈嗎？”

我便這樣問他，他想了想：“這我不敢說。不過，過去都靈就是了，抽空我們去問問馬先生。”

我真是對算學著迷了，立刻就拉著他一同去。走到馬先生的房里，他正躺在藤榻上冥想，手里拿著一把蒲扇，不停地搖，一見我們便笑著問道：

“有什么難題了！是不是？”

我看了周學敏一眼，周學敏說：“聽了先生這十幾節課，覺得說來說去，總是‘和一定’‘差一定’‘倍數一定’，是不是所有的問題都逃不出這三種關系呢？”

馬先生想了想：“就問題的變化上說，自然是如此。”

這話我們不是很明白，他似乎看出來了，接著說：“比如說，兩人年歲的差一定，這是從他們一生下來就可以看出來的。又比如，走的路程和速度是定倍數的關系，這也是從時間的連續中看出來的。所以說就問題的變化上說，逃不出這三種關系。”

“為什么逃不出？”我大膽地提出疑問，心里有些忐忑。

“不是為什么逃不出，是我們不許它逃出。因為我們對于數量的處理，在算學中，只有加、減、乘、除四種方法。加法產生和，減法產生差，乘、除法產生倍數。”

我們這才明白了。后來又聽馬先生談了些別的問題，我們就出來了。因為這段話是理解算學的基本，所以我補充在這里。現在回到本題的算法上去，這是沒有經馬先生講解，我們都知道了的。

馬先生提示一個別解法，更是妙：“把工作當成行路一般看待，那么，這問題便可看成甲從一端動身，乙從另一端動身，兩人幾時相遇一樣。”

當然一樣呀！我們不是可以把全部工作看成一長條，而甲、乙各從一端相向進行工作，如卷布一樣嗎？

這一來，圖解法和算法更是容易思索了。圖中OA是甲的工作線，CD是乙的，OA和CD交于E。從E看下來仍是二又十分之八多一點。

例二：一水槽裝有進水管和出水管各一支，進水管八點鐘可流滿，出水管十二點鐘可流盡，若兩管同時打開，幾點鐘可流滿？

這題和例一的不同，就事實上一想便可明白，每點鐘槽里儲蓄的水量，是兩水管流水量的差。而例一作圖時，將1F接在1E上得D,1D表示甲、乙工作的和。這里自然要從1E截下1F得1D，表示兩水管流水的差。流水就是水管在工作呀！所以OA是進水管的工作線，OB是出水管的工作線，OC便是它們倆的工作差，而表示定倍數的關系。由C點看下來得二十四點鐘，算法如下：

當然，這題也可以有一個別解。我們可以想象為：出水管距入水管有一定的路程，兩人同時動身，進水管從后面追出水管，求什么時候能追上。OA是出水管的工作線，1C是進水管的工作線，它們相交于E，橫看過去正是二十四小時。

例三：甲、乙二人合做十五日完工，甲一人做二十日完工，乙一人做幾日完工？

“這只是由例一推衍的玩意兒，你們應當會做了。”結果馬先生指定我畫圖和解釋。

不過是例一的圖中先有了OA、OC兩條線而求畫OB線，照前例，所取的ED應在1日的縱線上且應等于1F。依ED取10F便可得F點，連OF引長便得OB。在我畫圖的時候，本是照這樣在1日的縱線上取1F的。但馬先生說，那里太窄了，容易畫錯，因為OA和OC間的縱線距離和同一縱線上OB到橫線的距離總是相等的，所以無妨在其他地方取F。就圖看去，在10這點，向上看OA到OC，相隔正好是五小段。我就從10向上五小段取F，連OF引長到與C、A相齊，豎看下來是60。乙要做六十日才能做完。對于這么大的答數，我有點兒放心不下，好在馬先生沒有說什么，我就認為對了。后來計算的結果，確實是要六十日才做完。

本題照別的解法做，那就和這樣的題目相同：

甲、乙二人由兩地同時動身，相向而行，十五小時在途中相遇，甲走完全路需二十小時，乙走完全路需幾小時？

先作OA表示甲的工作，再從十五時這點畫縱線和OA交于E點，連DE引長到C，便得六十日。

例四：甲、乙二人合做一工，五日完成三分之一，其余由乙獨做，十六日完成，甲、乙獨做全工各需幾日？

“這題難不難？”寫完題，馬先生這樣問。

“難者不會，會者不難。”周學敏很頑皮地回答。

“你是難者，還是會者？”馬先生跟著問周學敏。

“二人合做，五日完成三分之一，五日和工作三分之一的兩條線交于K，連OK引長得OC，這是兩人合做的工作線，所以兩人合做共需十五日。”周學敏。

“最后一句是不必要的。”馬先生加以糾正。

“從五日后十六日共是二十一日，二十一日這點的縱線和全工作這點的橫線交于H，連KH便是乙接著獨做十六日的工作線。”

“對的！”馬先生贊賞地說。

“過O作OA和KH平行，這是乙一人獨做全工作的工作線，他二十四日做完。”周學敏說完停住了。

“還有呢？”馬先生催促他。

“在十日這點的縱線上量OC和OA的距離ED，從10這點起量10F等于ED，得F點。連OF并且引長，得OB，這是甲的工作線，他一人獨做需四十日。”周學敏真是有了可驚的進步，他的算學從來不及王有道呀！

馬先生夸獎他說：“周學敏，你已經掌握了解決問題的鎖鑰了。”這題當然也可用別的解法做，不過和前面幾題大同小異，所以略去，至于它的算法，那就是：

例五：甲、乙、丙三人合做一工程，八日做完一半。由甲、乙二人繼續，又是八日完成剩余的五分之三。再由甲一人獨做，十二日完成。甲、乙、丙獨做全工，各需幾日？

馬先生寫完題，王有道隨口說：“越來越復雜。”

馬先生聽了含笑說：“應當說越來越簡單呀！”

大家都不說話，題目明明復雜起來了，馬先生卻說“應當說越來越簡單”，豈非奇事。然而他的解說是：“前面幾個例題的解法，如果已經徹底明了了，這個題不就只是照抄老文章便可解決了嗎？有什么復雜呢？”

這自然是沒錯的，不過抄老文章罷了！

（1）先依八日做完一半這個條件畫OF，是三人合做八日的工作線，也是三人合做的工作線的方向。

（2）由F起，依八日完成剩余工作的五分之三這個條件，作FG，這便表示甲、乙二人合做的工作線的“方向”。

（3）由G起，依十二日完成這條件，作GH，這便表示甲一人獨做的工作線的“方向”。

（4）過O作OA平行于GH，得甲一人獨做的工作線，他要六十日才做完。

（5）過O作OE平行于FG，這是甲、乙二人合做的工作線。

（6）在10這點的縱線和OA交于J，和OE交于I。照10J的長，由I截下來得K，連OK并且引長得OB，就是乙一人獨做的工作線，他要四十八日完成全工。

（7）在8這點的縱線和甲、乙合做的工作線OE交于L，和三人合作的工作線OF交于F。從8起在這縱線上截8M等于LF的長，得M點。連OM并且引長得OC，便是丙一人獨做的工作線，他四十日就可完成全部工作了。

作圖如此算法也易于明白。

例六：一工程，甲、乙合做三分之八日完成，乙、丙合做三分之十六日完成，甲、丙合做五分之十六日完成，一人獨做各幾日完成？

“這倒是真正地越來越復雜，老文章不好直抄了。”馬先生說。

“不管三七二十一，先把每兩人合做的工作線畫出來。”沒有人回答，馬先生接著說。

這自然是抄老文章，OL是甲、乙的工作線，OM是乙、丙的工作線，ON是甲、丙的工作線，馬先生叫王有道在黑板上畫了出來。隨手他將在L點的縱線和ON、OM的交點涂了涂，寫上D和E。

“LD表示什么？”

“乙、丙的工作差。”王有道。

“好，那么從E在這縱線上截去LD得G,到G是什么？”

“乙的工作。”周學敏。

“所以，連OG并且引長到B，就是乙一人獨做的工作線，他要八天完成。再從G起，截去一個LD得H，到H是什么？”

“丙的工作。”我回答。

“連OH，引長到C, OC就是丙獨自一人做的工作線，他完成全工作要十六天。”

“從D起截去得F,不用說是甲的工作。聯結OF，引長得OA，這是甲一人獨做的工作線。他要幾天才能做完全部工程？”

“四天。”大家很高興地回答。

這題的算法是如此：

甲獨做：

馬先生結束這一課說：

“這課到此為止。下堂課想把四則問題做一個結束，就是將沒有講到的還常見的題都講個大概。你們也可提出覺得困難的問題來。其實四則問題，這個名詞本不大妥當，全部算術所用的方法除了加、減、乘、除還有什么？所以，全部算術的問題都是四則問題。”