第2講 數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值

提分導(dǎo)練

提分點(diǎn)一 數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

【例1】畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)：

-2,0,1,-0.5,.

分析：如下表：

解：如圖2-1所示.

【類題訓(xùn)練】

1．（期末·濟(jì)南）如圖2-2所示，點(diǎn)A表示的數(shù)可能是（?。?

A.-0.8

B.-1.2

C.-2.2

D.-2.8

2．如圖2-3所示，在數(shù)軸上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，其中表示有理數(shù)-2.5的點(diǎn)是（　）.

A.A點(diǎn)

B.B點(diǎn)

C.C點(diǎn)

D.D點(diǎn)

提分點(diǎn)二 利用數(shù)軸解決實(shí)際問題

【例2】利用數(shù)軸解答：有一座三層樓房不幸起火，一位消防員搭梯子爬往三樓去救人.當(dāng)他爬到梯子正中一級時(shí)，二樓窗口噴出火來，他就往下退了3級，等到火過去了，他又爬了7級，這時(shí)屋頂有磚掉下，他又往后退了2級，幸好沒事，他又爬8級，這時(shí)他距離梯子最高層還有1級.問這個(gè)梯子共有幾級？

分析：利用數(shù)軸，設(shè)梯子正中一級為原點(diǎn)，爬上為正，后退為負(fù)，在數(shù)軸上畫出消防員的實(shí)際行走路線，E點(diǎn)即為消防員最后到達(dá)位置，而此時(shí)離梯子最高層還有一級，說明梯子從正中間一級開始向上為11級，向下也為11級，所以共有23級.

解：如圖2-4所示，

設(shè)梯子正中一級為原點(diǎn)，爬上為正，后退為負(fù)，那么消防員的實(shí)際行走路線為A→B→C→D→E，而E點(diǎn)對應(yīng)為10，說明梯子從正中往上為11級，往下也為11級，加上正中一級，總共為23級.

【類題訓(xùn)練】

3．在一條筆直的東西走向的馬路上，有少年宮、學(xué)校、超市、醫(yī)院四家公共場所.已知少年宮在學(xué)校東300m，超市在學(xué)校西200m，醫(yī)院在學(xué)校東500m.

（1）你能利用所學(xué)過的數(shù)軸知識(shí)描述它們的位置嗎？

（2）小明放學(xué)后要去醫(yī)院看望生病住院的奶奶，他從學(xué)校出發(fā)向西走了200m，又向東走了700m，你說他能到醫(yī)院嗎？

提分點(diǎn)三 利用絕對值解決實(shí)際問題

【例3】檢測足球時(shí)，超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù).從輕重的角度看，在下面各球中最接近標(biāo)準(zhǔn)的球是（?。?

分析：絕對值最小的即為最接近標(biāo)準(zhǔn)的足球.|-0.8|＜|+0.9|＜|+2.5|＜|-3.6|.故選C.

【類題訓(xùn)練】

4．檢測4個(gè)排球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù).從輕重的角度來看，在下面各球中最接近標(biāo)準(zhǔn)的球是（?。?

提分點(diǎn)四 相反數(shù)，絕對值與數(shù)軸相結(jié)合的問題

【例4】如圖2-5所示，圖中數(shù)軸的單位長度為1.請回答下列問題：

（1）如果點(diǎn)A，B表示的數(shù)是互為相反數(shù)，那么點(diǎn)C表示的數(shù)是多少？

（2）如果點(diǎn)D，B表示的數(shù)是互為相反數(shù)，那么點(diǎn)C表示的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？圖中表示的5個(gè)點(diǎn)中，哪一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)的絕對值最小，最小的絕對值是多少？

分析：根據(jù)相反數(shù)的概念，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，確定原點(diǎn)求解即可.

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A，B表示的數(shù)是互為相反數(shù)，原點(diǎn)就應(yīng)該是線段AB的中點(diǎn)，即在C點(diǎn)右邊一格，C點(diǎn)表示數(shù)“-1”；（2）如果點(diǎn)D，B表示的數(shù)是互為相反數(shù)，那么原點(diǎn)在線段BD的中點(diǎn)，即C點(diǎn)左邊半格，點(diǎn)C表示的數(shù)是正數(shù)；點(diǎn)C表示的數(shù)的絕對值最小，最小的絕對值是0.5.

【類題訓(xùn)練】

5．（期末·滄州）如圖2-6所示，在數(shù)軸上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，其中表示-2的相反數(shù)的點(diǎn)是（?。?

A.點(diǎn)A

B.點(diǎn)B

C.點(diǎn)C

D.點(diǎn)D

6．如圖2-7所示，單位長度為1，如果點(diǎn)A，C表示的數(shù)的絕對值相等，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（?。?

A.1

B.-1

C.2

D.-2

7．如圖2-8所示，單位長度為1，點(diǎn)A， B表示的數(shù)是互為相反數(shù)，則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（?。?

A.2

B.-4

C.-1

D.0

提分點(diǎn)五 比較有理數(shù)的大小

【例4】（期中·泰安）如圖2-9所示，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D表示的數(shù)分別是：-1.5，-3，2，3.5.

（1）將點(diǎn)A，B，C，D表示的數(shù)按從小到大的順序用“＜”號(hào)連接起來；

（2）若將原點(diǎn)改在點(diǎn)C，則點(diǎn)A，B，C， D所對應(yīng)的數(shù)分別為多少？將這些數(shù)按從小到大的順序用“＜”號(hào)連接起來；

（3）改變原點(diǎn)位置后，點(diǎn)A，B，C，D所表示的數(shù)大小順序改變了嗎？這說明了數(shù)軸的什么性質(zhì)？

分析：（1）將點(diǎn)A，B，C，D表示的數(shù)按左小右大的順序，用“＜”號(hào)連接起來即可；（2）將原點(diǎn)改在C點(diǎn)時(shí)，各點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)都小2，由此找出點(diǎn)A，B，C， D所對應(yīng)的數(shù)，用“＜”號(hào)連接起來即可；（3）根據(jù)（2）易得出答案.

解：（1）-3＜-1.5＜2＜3.5；

(2)-3.5,-5,0,1.5;

-5＜-3.5＜0＜1.5;

（3）沒有改變；這說明了數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

【類題訓(xùn)練】

8．比較-3，1，-2的大小，下列判斷正確的是（?。?

A.-3＜-2＜1

B.-2＜-3＜1

C.1＜-2＜-3

D.1＜-3＜-2

9．畫一條數(shù)軸，然后在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(diǎn)，并比較大小.

,2,3,-2.7,,-3,0.

提分檢測

1．（期中·大連）如圖2-10所示，在數(shù)軸上四個(gè)點(diǎn)所表示的有理數(shù)中，比小的數(shù)的點(diǎn)是（　）.

A.點(diǎn)A

B.點(diǎn)B

C.點(diǎn)C

D.點(diǎn)D

2．下列各對數(shù)中，互為相反數(shù)的是（?。?

A.-（-3）和+3

B.+（-5）和-（+5）

C.-（-6）和+（+6）

D.2和+（-2）

3．（中考·婁底）已知點(diǎn)M，N，P，Q在數(shù)軸上的位置如圖2-11所示，則其中對應(yīng)的數(shù)的絕對值最大的點(diǎn)是（?。?

A.M

B.N

C.P

D.Q

4．（中考·福州）A，B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，在下列四個(gè)選項(xiàng)中，點(diǎn)A，B所表示的數(shù)互為相反數(shù)的是（　）.

5．（期末·北京）圖2-12是地鐵昌平線路圖.在圖中，以正東為正方向建立數(shù)軸，有如下四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)表示昌平東關(guān)站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為0，表示昌平站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為-1.5時(shí)，表示北邵洼站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為1.2；

②當(dāng)表示昌平東關(guān)站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為0，表示昌平站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為-15時(shí)，表示北邵洼站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為12；

③當(dāng)表示昌平東關(guān)站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為1，表示昌平站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為-14時(shí)，表示北邵洼站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為13；

④當(dāng)表示昌平東關(guān)站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為2，表示昌平站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為-28時(shí)，表示北邵洼站的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為26.

在上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（?。?

A.①②③

B.②③④

C.①④

D.①②③④

6．（期中·廈門）數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”.某數(shù)軸的單位長度是1cm，若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長為2019cm的線段AB，則線段AB蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（?。?

A.2017或2018

B.2018或2019

C.2019或2020

D.2020或2021

7．（?？肌S岡）如圖2-13所示，有一個(gè)半徑為個(gè)單位長度的圓片，將圓片上的點(diǎn)A放在原點(diǎn)，并把圓片沿?cái)?shù)軸逆時(shí)針滾動(dòng)一周，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A′的位置，則點(diǎn)A′表示的數(shù)是________；若點(diǎn)B表示的數(shù)是-3.14，則點(diǎn)B在點(diǎn)A′的________（填“左邊”“右邊”或“重合”）.

8．李老師不小心把墨水灑在了如圖2-14所示的數(shù)軸上.請同學(xué)們幫助他把這條數(shù)軸補(bǔ)充完整，并在補(bǔ)好的數(shù)軸上標(biāo)出你喜歡的一個(gè)正整數(shù)，一個(gè)負(fù)整數(shù)，一個(gè)負(fù)分?jǐn)?shù).

9．如圖2-15所示，數(shù)軸的單位長度為1，且數(shù)軸上各相鄰點(diǎn)之間的距離均為1.

（1）如果點(diǎn)B與點(diǎn)F表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點(diǎn)D表示的數(shù)是什么？

（2）如果點(diǎn)D與點(diǎn)H表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點(diǎn)C表示的數(shù)是什么？

10．如圖2-16所示，在數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，請回答：

（1）將點(diǎn)B向左移動(dòng)3個(gè)單位后，三個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)誰最?。渴嵌嗌?？

（2）將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位后，三個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)誰最小？是多少？

（3）將點(diǎn)C向左移動(dòng)6個(gè)單位后，這時(shí)點(diǎn)B表示的數(shù)比點(diǎn)C表示的數(shù)大多少？

（4）怎樣移動(dòng)點(diǎn)A，B，C中的兩個(gè)點(diǎn)，才能使三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)相同？有幾種移動(dòng)的方法？

高分必練

1．（競賽·希望杯）如圖2-17所示，在數(shù)軸上的六個(gè)點(diǎn)滿足AB=BC=CD=DE=EF，則在點(diǎn)B，C，D，E對應(yīng)的數(shù)中，最接近-10的點(diǎn)是（　）.

A.點(diǎn)B

B.點(diǎn)C

C.點(diǎn)D

D.點(diǎn)E

2．（自招·蕪湖）小明做題時(shí)，畫了一個(gè)數(shù)軸，在數(shù)軸上原有一個(gè)點(diǎn)A，其表示的數(shù)是-3，由于粗心，小明把數(shù)軸的原點(diǎn)標(biāo)錯(cuò)了位置，使點(diǎn)A正好落在了-3的相反數(shù)的位置.想想，要把數(shù)軸畫正確，原點(diǎn)要向哪個(gè)方向移動(dòng)幾個(gè)單位長度？（　）.

A.向右移6個(gè)單位長度

B.向右移3個(gè)單位長度

C.向左移6個(gè)單位長度

D.向左移3個(gè)單位長度

3．（自招·臨汾）已知數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，它們的距離為2，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，那么所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離和等于________.

4．如圖2-18所示，在數(shù)軸上有兩個(gè)點(diǎn)A， B，回答下列問題：

（1）將點(diǎn)A向左平移個(gè)單位后，表示的數(shù)是多少？

（2）將點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位后，表示的數(shù)是多少？

（3）點(diǎn)B做怎樣的平移得到的數(shù)與點(diǎn)A表示的數(shù)互為相反數(shù)？

（4）如果把上圖中的數(shù)軸的原點(diǎn)移到點(diǎn)B，那么在新的數(shù)軸中，點(diǎn)A表示的數(shù)是多少？

（5）怎樣移動(dòng)才能使點(diǎn)A表示的數(shù)永遠(yuǎn)都大于點(diǎn)B表示的數(shù)？