3.2 平面機構中約束類型及約束反力

靜力分析的重要任務之一就是確定未知的約束反力。

構件的運動受到約束的限制作用，意味著被約束構件受到約束的施力作用。約束施加于被約束結構或構件上的力稱為約束力或約束反力，也常簡稱為反力。由前所述，約束反力通常是由主動力所引起的。如圖3-25a所示的輪軸，在齒輪嚙合力Fn和傳動帶拉力FT1、FT2及自身重量作用下，輪軸不可能正常工作，而若把它安裝在支座A、B上，輪軸可以定軸轉動。在支座和輪軸的接觸處，輪軸受到支座的約束反力FA、FB和FN的作用（圖3-25b）。

主動力一般是已知的，而約束反力則是未知的。但是，約束反力總是作用在約束與被約束構件的接觸處，其方向總是與約束所能阻止的構件運動方向相反，據此可確定約束反力的作用點、方位或方向。下面是機械工程常見的約束類型。

3.2.1 柔性約束

工程上認為不計自重的柔索（如繩索、傳動帶、鏈條等）構成柔性約束。柔性約束只能限制物體沿柔索伸長方向的移動，因此所產生的約束反力一定是沿著柔索中心線而背離物體的拉力，并作用在柔索和物體的連接點，用FT表示。

圖3-26a所示為吊車通過繩索吊運鋼梁時，繩索對鋼梁的約束反力，如圖3-26b所示。

圖3-27a所示為一帶傳動機構，傳動時傳動帶對帶輪的約束反力如圖3-27b所示。

3.2.2 運動副約束

1.高副約束

在圖3-28a所示的凸輪傳動機構中，凸輪與頂桿構成高副約束，如果不計摩擦，凸輪只能限制頂桿沿接觸點K處公法線壓入凸輪（約束體）內部。因此，凸輪所產生的約束反力是一個沿著接觸點K處公法線指向頂桿（被約束體）的壓力，并作用在接觸點K處，一般用FN表示，如圖3-28b所示。

圖3-29a所示為齒輪傳動機構，從動輪2對主動輪1的約束反力如圖3-29b所示。

圖3-30a所示為一夾緊裝置，圖3-30b、c分別為壓板和工件所受的約束反力。

2.轉動副約束

在圖3-31a所示支座結構的鉸鏈中，銷釘和被連接構件構成轉動副約束，也稱鉸鏈約束。如果不計摩擦，銷釘限制了構件在垂直于銷釘軸線平面內沿x、y兩正交方向的運動，因此，銷釘所產生的約束反力FR由x、y方向的約束分力Fx、Fy合成，其作用線沿銷釘和構件接觸處的公法線方向并通過轉動副中心。實際上當銷釘和構件相對運動時，兩者便在接觸面的某處接觸，如圖3-31b中的K點。由于接觸處K點的位置難以確定，約束反力FR的大小和方向均為未知，因此，在實際受力分析時，通常用過轉動副中心的正交分力Fx、Fy來代替（圖3-31c）。

用鉸鏈連接的兩構件之一是固定的結構，稱為固定鉸鏈支座，如圖3-31所示。用鉸鏈連接的兩構件均不固定的結構稱為中間鉸鏈，圖3-32所示。

工程上為了適應某些構件變形時同時發生微小的偏轉和移動，常采用如圖3-33a、b所示的活動鉸鏈支座。這種支座一般是將構件的鉸鏈支座用滾子支承在光滑的支承面上，構成支座可以移動的鉸鏈約束。這種支座只能限制構件沿法線方向的移動，因此，活動鉸鏈支座的約束反力FN必垂直于支承平面，并通過鉸鏈中心，指向待定。

例如，在機械裝置中，軸兩端的支座結構通常能夠適應軸的微小變形，所以，在進行靜力分析時，將一端視為固定鉸鏈支座，而另一端視為活動支座。

圖3-34a所示為一滑動軸承裝置，軸與軸承構成的轉動副約束與鉸鏈約束相似，但軸為被約束體。軸承限制了軸在垂直于軸線平面內的徑向移動，所產生的約束反力如圖3-34b所示。

3.移動副約束

在如圖3-35a所示曲柄滑塊機構中，滑塊2在導槽1中移動，構成移動副約束，如果不計摩擦，導槽1能限制滑塊2沿接觸面公法線壓入導槽內部的運動和在圖示平面內的轉動。因此，導槽對滑塊有兩個方面的約束作用，一個是產生沿接觸面公法線且指向滑塊的壓力FN（圖3-35b），另一個是產生限制滑塊轉動的約束反力偶M。如果視滑塊受主動力的作用而無轉動趨勢，則約束反力偶M=0。為便于計算，常將沿接觸面分布的約束反力FN簡化為集中力。

圖3-36所示為機床導軌對工作臺的約束，這也是移動副約束的實例。

3.2.3 固定端約束

固定端是一種常見的約束形式。圖3-37a所示為固定在車床卡盤上的工件，圖3-37b所示為安裝在刀架上的車刀，均可用圖3-37c所示簡圖表示。其固定端A限制了它們沿任何方向的移動和轉動，即在固定端接觸面上產生任意方向的分布力系（圖3-38a），該力系可利用力的平移定理向固定端A點簡化為一個約束反力FA和一個約束反力偶MA（圖3-38b），并用兩個垂直正交的分力Fx、Fy和一個約束反力偶MA來表示（圖3-38c），其中力的指向和力偶的轉向均可任意假設，然后由計算結果來判定其正確方向和力的大小。

3.2.4 構件的受力分析與受力圖

在確定構件的約束反力時，需要分析構件所受的所有主動力和約束反力，即通過畫構件的受力圖對其受力狀況進行表達。

對于整個機構，各個構件之間的作用力為內力，要對其中某個構件作受力分析時，需將該構件從機構中分離出來，此時，其他構件對該構件的作用力均為該構件受的外力。因此，畫出被分離出來的構件（稱受力分析對象），并畫出其承受的所有主動力和約束反力，即為該構件的受力圖。

為正確畫出受力圖，常采用解除約束分析力的方法，該方法的步驟是：

1）確定受力分析對象（即構件等）。

2）將該構件單獨分離出來。

3）畫出該構件上的主動力。

4）根據該構件所受到的約束類型逐個畫出約束反力。

【例3-5】 某橫梁AB兩端分別為固定鉸鏈支座和活動鉸鏈支座，在C處承受一傾斜的集中力P，如圖3-39a所示。若不計梁的自重，試畫出梁AB的受力圖。

解 以梁AB為分析對象，解除其兩端支座約束，取為分離體單獨畫出。

作用在梁上的主動力即為載荷P，其作用方向和作用位置均已給定。A端為固定鉸鏈支座，其約束反力可用水平分力FAx和垂直分力FAy表示，方向假設；B端為活動鉸鏈支座，它對梁的約束反力垂直于支承平面，方向假設，用FNB表示。于是，梁AB的受力圖如圖3-39b所示。

梁的受力圖還可以用另一種表示方法，如圖3-39c所示。將固定鉸鏈支座A處的約束反力用合力FRA表示，其作用線和方向未知。但由于梁在載荷P、約束反力FRA和FNB三力作用下而平衡，由三力平衡匯交定理可知，這三個力作用線必定匯交于一點，而P和FNB的作用線交點為D，則FRA的作用線必交于D點，因此，約束反力FRA的作用線沿AD連線，但方向假設。

【例3-6】 圖3-40a所示為一銑床上所用夾緊工件的夾具。當擰緊螺母時，壓板便在工件1和工件2上施加壓力，使之壓緊。若不計螺母與壓板、壓板與工件及工件與夾具座之間的摩擦，試畫出螺栓、壓板與工件1的受力圖（不計自重）。

解 分別以螺栓、壓板和工件1為分離體，解除其約束，畫出各自的受力圖。

（1）畫螺栓的受力圖。壓板通過螺母對螺栓施力，故將螺栓和螺母一起作為分離體，如圖3-40b所示。螺母擰緊后受到壓板產生的反作用力是垂直于兩者接觸面向上的壓力，并可簡化為沿螺栓中心線的集中力Q′，螺栓下部受到夾具座產生的約束反力限制螺栓上移，此時螺栓為二力構件，因此，其下部的約束反力Q″與上部的力Q′是一對等值、反向、共線的平衡力，而且對螺栓桿而言是一對拉力。螺栓的受力如圖3-40b所示。

（2）畫壓板的受力圖。螺母施加在壓板上的力Q可視為外載荷，它與Q′是一對作用力和反作用力。壓板與工件形成高副約束，所以工件1（工件2）對壓板的約束反力FN1（FN2）是作用在工件與壓板的接觸點并垂直壓板表面的壓力。壓板的受力如圖3-40c所示。

（3）畫工件1的受力圖。壓板對工件的壓力F′N1與工件對壓板的約束反力FN1是一對作用力和反作用力。工件與夾具座在A、B兩點處形成高副約束，所以夾具座對工件的約束反力FNA和FNB分別是通過A、B兩點并垂直于夾具座接觸表面的壓力。工件1的受力如圖3-40d所示。

【例3-7】 曲柄沖壓機構如圖3-41a所示，設帶輪的重量為W，并不計沖頭及連桿的自重，沖頭受工件阻力Q作用。試畫出連桿、帶輪、沖頭和機構系統的受力圖。

解 分別以連桿、帶輪、沖頭和機構系統為分離體，解除其約束，畫出各自的受力圖。

（1）以連桿為分析對象。該連桿為二力桿，根據二力平衡條件，可確定連桿在B、C兩處鉸鏈的約束反力分別為FB、FC，并假設為壓力。連桿的受力如圖3-41b所示。

（2）分析與連桿相連的沖頭。作用于沖頭上的工件阻力Q為主動力。沖頭在C處鉸鏈的約束反力F′C與力FC是一對作用力與反作用力；機座上滑槽與沖頭形成移動副約束，滑槽對沖頭產生的約束反力FN是垂直于兩者接觸面的壓力，按三力平衡匯交定理，力FN必過力Q與力F′C的匯交點C。沖頭的受力如圖3-41c所示。

（3）分析帶輪。帶輪上作用于輪心向下的重力W為主動力。帶的拉力FT1、FT2分別沿帶的中心線而背離帶輪；連桿對帶輪的約束反力F′B與FB是一對作用力與反作用力；輪心A處固定鉸鏈支座對帶輪產生的約束反力用正交分力FAx和FAy表示，且通過鉸鏈中心A，方向假設。帶輪的受力如圖3-41d所示。

（4）以整個機構系統為分離體。系統受到的主動力有Q、W。去掉外部約束，即解除滑槽和固定鉸鏈支座并分別畫出其約束反力FN及FAx和FAy；畫出帶的拉力FT1、FT2。B、C兩處轉動副約束為內部約束，所產生的約束反力為系統內力，在系統內部自相平衡，故內力不應畫出。機構系統的受力如圖3-41e所示。

通過對以上例題的分析，不難發現，分析受力，特別是分析約束反力時，應注意以下幾點：

1）應根據約束類型及其性質，確定約束反力的作用位置和作用方向。

2）利用二力或三力平衡條件，有利于確定某些未知約束反力的作用方向。

3）正確利用作用與反作用定律，有助于由一個分析對象上的受力確定與之接觸的其他分析對象上的受力。