2.5 利用矩陣解線性方程組

可將一般的線性方程組使用矩陣形式表示，利用矩陣運算及函數可以很容易解決線性齊次、非齊次方程的有解、無解、無窮多解等問題。

2.5.1 線性方程組的唯一解

線性方程組的矩陣形式為AX=b（A為系數矩陣，b為常數項列向量，X為未知數列向量），其唯一解為X=A?1b。

2.5.2 齊次線性方程組的通解

齊次線性方程組矩陣形式：AX=0。

格式：Z=null（A，′r′）%Z的列向量是方程AX=0的有理基礎解系

【例2-18】 求方程組的通解。

解：求基礎解系的程序如下：

運行結果如下：

通解表示的程序如下：

運行結果如下：

2.5.3 非齊次線性方程組的通解

對于非齊次線性方程組，需要先判斷方程組是否有解，若有解，則再求通解。其步驟如下：

1）判斷AX=b是否有解，若有解則進行第2）步。

2）求AX=b的一個特解。

3）求AX=0的通解。

4）AX=b的通解=“AX=0”的通解+“AX=b”的一個特解。

【例2-19】 求方程組的解。

解：在MATLAB中建立M文件如下：

運行結果如下：

說明該方程組無解。

【例2-20】 求方程組的通解。

解：在MATLAB中建立M文件如下：

運行結果如下：

所以原方程組的通解為：

2.5.4 超定方程組

超定方程組是指方程的個數大于未知數的個數的線性方程組，通常無精確解，但存在近似的最小二乘解。其解法不需要檢查系數矩陣的秩是否小于行數、列數，而直接利用廣義逆矩陣函數pinv（）計算即可。

格式：X=pinv（A）*b %A為超定方程組的系數矩陣，b為常數項列向量

【例2-21】 求方程組的解。

解：在Matlab中建立M文件如下：

運行結果如下：