3.1 機械結構設計原理

結構強度校核涉及的知識主要包括理論力學、材料力學、工程力學等，下面對一些基本概念進行簡要介紹。

3.1.1 彈性變形體的基本假設

材料力學是以變形固體的宏觀力學性質作為基礎，并不涉及其微觀結構，所以，在進行理論分析時，為了使問題得到簡化，可以取彈性變形體作為材料力學中研究對象的理想化模型，但必須做出以下三個基本假設：

1）假設組成結構的固體物質是連續、毫無空隙地充滿了固體的體積。

2）假設物體內部各部分的材料性質都是完全相同的。

3）假設在固體的任意一點的各個方向都具有相同的材料性質。

當對構件進行強度、剛度、穩定性等力學方面的研究時，一般在彈性變形范圍內將材料看成均勻、連續、各向同性的彈性變形體。實踐證明，在此基礎上建立起來的分析理論和分析計算結果是能夠滿足工程設計需要的。

3.1.2 應力應變計算

當直徑為d的圓棒，在承受拉力為F的載荷時會引起圓棒變形而伸長，如圖3.1所示。

假設原始長度為l，受力變形之后的長度為l₁，則變形量為Δl=l₁-l，則應變為

由圖3.1可知，除了軸向有變形外，橫向也是有變形的，橫向產生的應變為

而橫向線應變與縱向線應變之比的絕對值為常數，此常數稱為泊松比，其表示如下：

而此桿在承受拉力為F時，桿的應力σ可表示如下：

如圖3.2所示的受力情況，圓柱試樣承受如下所示的載荷，載荷與受力截面平行，此類載荷與前面所述拉伸載荷不同，承受此載荷會使這兩個平行面間的任一（平行）橫截面產生錯動變形，此變形稱為剪切變形。

承受剪切載荷所產生的剪切力可表示如下：

承受剪切載荷所產生的角變形量即為剪切應變，可表示如下：

單向應力狀態下線彈性階段的應力應變關系服從虎克定律，即有：

式中，E為材料的彈性模量，將其推廣到一般應力狀態下各向同性材料下的廣義虎克定律，如式（3-8）所示：

以上即為材料在線彈性階段的材料本構關系。

當沖擊引起塑性變形時，文獻中有研究運動物體對桿端的縱向沖擊問題，如圖3.3所示，一個質量為m的大物體沿軸向撞擊桿端，物體的初始速度為v，在任一時刻t，應力波傳入桿一定的距離，由于連續條件，被撞擊的桿端部位移的距離等于桿的端部總的伸長，即有：

應力波的傳播速度為，則方程（3-9）變為

故有

上述為線彈性情況，當某點的應力超過材料的屈服強度時，顯然式（3-7）～式（3-11）是不適用的，對彈性情況先進行微分，基于微分結果進行擴展是可以得到塑性變形時的本構方程。首先對彈性情況的偏微分方程為

式中，s為位移；ρ為密度；應力波的傳遞速度。

式（3-12）中的彈性模量E是在初始線彈性范圍內的應力應變關系曲線的斜率，當有塑性變形時，可用來替代E，則可以確定應力應變曲線任一位置處的斜率，因此方程（3-12）可以變為：

當材料中的某一點應力超過屈服強度進入塑性狀態時，需要通過相關試驗獲得材料的應力應變關系，如圖3.4 所示為單向拉伸應力-應變關系曲線。

塑性應力與應變關系包括以下幾個特點：

1）應力與應變之間是非線性關系。

2）塑性應變是不可逆的，且應力應變關系不是唯一對應。即一個應力可以對應多個應變狀態，同時一個應變也可以對應多個應力狀態，與加載路徑或者加載歷史相關。

3）塑性應變時，材料的體積認為是不變的。

3.1.3 材料模型

在復雜應力狀態下，材料的應力與應變的本構關系可以歸結為函數的關系：

這種函數關系一般與材料特性、結構的變形相關，與應力的狀態無關。根據強度理論可知，可選擇單向應力狀態來建立這種函數關系，單向均勻拉伸或者壓縮試驗是反映材料力學行為的基本試驗，材料開始進入塑性變形的應力稱之為屈服應力，在屈服之前，應力與彈性應變呈線性關系，可參考式（3-12）。一般材料在進入塑性狀態后，繼續變形將會產生強化，卸載后再加載時，材料的屈服應力將增加，這種不斷更新的屈服應力稱為后繼屈服應力，通過試驗獲得的真實應力-應變曲線一般都是非線性關系。

常用的材料本構模型有理想彈塑性材料模型、冪指數硬化材料模型、剛塑性線性硬化材料模型、彈塑性線性硬化材料模型等。Crush-able材料模型為泡沫類材料或者近似泡沫類材料常用到的材料本構模型，在LS-Dyna里面的材料模型為MAT63號或者MAT163號，除了需要定義密度、初始彈性模量和泊松比外，還需要輸入名義應力-體積應變曲線（圖3.5），且曲線輸入可以基于不同應變率。此模型可以用來模擬裸電池單體受擠壓變形時的本構關系。

3.1.4 沖擊分析

沖擊響應是指結構在承受一定的沖擊后，其在載荷作用下所產生的響應，結構所產生的響應大小與系統的固有頻率、沖擊載荷頻率和阻尼相關。沖擊響應圖譜的橫坐標是頻率，縱坐標是最大加速度響應值。

在介紹沖擊響應譜時，先介紹一下單自由度系統，如圖3.6所示，其中F（t）為單自由度系統的基礎激勵（輸入加速度），K為單自由度系統的等效剛度，C為單自由度系統的阻尼系數，M為等效質量。

其數學表達式：

此即為牛頓第二定律。

電池包結構雖然零部件很多，結構復雜，但從本質來講，還是可以近似為由許多單自由度系統組成的復雜系統，每一個固有頻率對應一個單自由度系統。電池包的等效單自由度系統如圖3.7所示。在同一沖擊載荷條件下，系統的每一個固有頻率對應的響應加速度是不一樣的，且沖擊響應譜具有一定的規律。

根據牛頓定律，對于尖峰脈沖輸入，單自由度系統的沖擊響應為

當sin（2πf_nt）=1時，響應峰值為a_maxresp=2πf_nΔV，式中ΔV表示加速度變化率，，此計算公式適用于持續時間短的沖擊輸入。

半正弦脈沖沖擊響應譜的特性如圖3.8所示。f_n為系統結構固有頻率，D為沖擊載荷持續時間。

1）當f_nD＜0.3時，系統的沖擊響應最大值小于沖擊脈沖的峰值加速度，即。因此此段區域的響應可以采用公式（3-16）來預測。

2）當0.3≤f_nD<10時，系統的沖擊響應大于沖擊脈沖的幅值，在此區間內沖擊響應具有放大作用，即。

3）當f_nD≥10時，。

3.1.5 疲勞強度計算

在某點或某些點承受擾動應力，且在足夠的循環擾動之后形成裂紋或完全斷裂的材料中所發生的局部永久結構變化的發展過程，稱為疲勞。提到“疲勞”就會聯想到“疲勞壽命”，疲勞壽命的定義是這樣的：足夠多的擾動載荷作用之后，從高應力或高應變的局部開始形成裂紋，直至到達臨界尺寸而發生完全斷裂，最后的斷裂，標志著疲勞過程的終結，這一發展過程所經歷的時間或擾動載荷作用的次數，稱為“疲勞壽命”。圖3.9所示為關于循環應力與循環次數的介紹。循環的應力幅S_a、平均應力S_m以及應力比R表示如下：

從裂紋擴展的角度，疲勞可以分為高周疲勞和低周疲勞，高周疲勞裂紋擴展規律可利用線彈性斷裂力學方法研究：低周疲勞裂紋擴展規律一般采用彈塑性斷裂力學方法研究，在現代工業中，80%以上的機械破壞都屬于疲勞失效。從疲勞的基本概念可以看出，疲勞具有以下幾個特點：

1）導致結構發生疲勞失效的外因是擾動應力，即循環載荷，常見的循環載荷有恒幅值循環、變幅值循環以及隨機振動載荷。

2）疲勞往往發生在高應力或者高應變的局部區域。

3）結構在承受足夠多的擾動載荷之后，才會慢慢形成裂紋或者完全斷裂。

1.材料的S-N曲線

結構在發生疲勞失效前所經歷的應力或者應變循環次數稱為循環疲勞壽命，一般用N表示，試樣的疲勞壽命取決于材料的疲勞性能和載荷水平，圖3.10 所示為結構所承受的三種常見典型載荷：恒幅載荷、變幅載荷以及隨機振動載荷。一般地，載荷越低，試件的疲勞壽命越長；反之疲勞壽命越短。這種載荷水平與循環壽命之間的關系能夠通過曲線繪制出來，被稱為S-N曲線，也稱為維勒曲線，圖3.11所示為鋼材的S-N曲線。循環壽命＜10³次的疲勞稱為低周疲勞，循環壽命在10³～10⁶次為高周疲勞，循環壽命超過10⁶次為永久疲勞或極限疲勞。當然，低周疲勞與高周疲勞之間的界限，以及永久疲勞的界限不能由特定循環次數來定義，鋼和鋁的就不一樣。S₁₀₀₀表示疲勞壽命為1000次的疲勞應力幅， S_be表示永久疲勞應力幅。

2.疲勞累積損傷理論

Miner疲勞損傷累積理論的基本假設：在任何循環應力載荷下結構都將產生疲勞損傷，疲勞損傷的程度與在該應力水平下的工作循環次數有關，與載荷的加載順序無關，不同應力幅循環下所產生的總損傷等于每個應力水平下的損傷之和。

假設在應力σ_i下材料達到破壞的循環次數為N_i，設D為試件斷裂時的臨界值，根據Miner理論，應力σ_i水平下每循環一次對材料的損傷為D/N_i，則經過n_i次后，對應的材料累積損傷為n_iD/N_i，當各種對材料的損傷綜合達到臨界值D時，材料即發生破壞，理想情況下D為1，即可表示為如下公式：

式（3-20）即為Miner線性累積損傷方程式。線性累積損傷理論顯著地簡化了疲勞計算，且已經證實其計算結果與實驗結果具有很好的一致性。

3.基于極限拉伸強度的S-N曲線估算

S－N曲線是疲勞仿真的基礎輸入數據，在進行疲勞壽命設計時，常常有些材料沒有現成的S－N曲線，如果通過試驗獲取則需要耗費大量的時間和資源，因此基于前人的大量研究，李永利博士提出了基于有限的信息估算S－N曲線的方法，對于鋼制試件，在1、10³、10⁶次循環時的強度即可以定義一條S－N曲線，這些疲勞強度值分別對應著S′_f、S₁₀₀₀，S′_f為修正后的極限抗拉強度，在高周疲勞區域，S－N曲線的斜率b可以用式（3-21）表示：

在雙對數坐標下，S=bN，已知點（S₁，N₁），即可確定S₂應力水平下的疲勞損傷循環次數N₂：

S-N估算方法

為了獲得零件的基準S-N曲線，首先需要確定零件材料的抗拉強度，一旦確定了材料的抗拉強度，在此基礎上可以近似得到10³次循環、10⁶次循環的疲勞強度，然后基于影響強度的因素考慮對其進行修正，即可估算出有限壽命區域的S-N曲線。

以鋼為例，可以根據其硬度對抗拉強度進行估算，對于布氏硬度較低的低碳鋼和中強度鋼，材料的極限抗拉強度可以被線性近似為：

鑄鐵的極限抗拉強度可以估算為

極限抗拉強度有了估算的依據后，再來估算S₁000和S_be。10³次循環時的疲勞強度取決于加載類型和可靠性水平，一般的：

式中，C_R為在規定可靠度下的修正系數；K′_f為1000 次循環時的疲勞強度折減系數。根據大量研究表明，S₁₀₀₀在彎曲加載時近似等于90%的極限抗拉強度S_u，而在軸向加載時近似等于75%的極限抗拉強度S_u，在扭轉加載時，其近似等于90%的極限剪切強度S_us。如果考慮疲勞數據統計的分散性，則需要在規定可靠度水平的中值基準S-N數據的基礎上，對零件的疲勞強度進行修正，在缺乏嚴格統計分析數據時，可以參見表3.3所示的可靠度系數進行修正。

由S-N曲線的特點可知，在疲勞強度達到永久極限壽命時，隨著N的增加，S_be的值基本趨于穩定，疲勞試驗不可能無限進行下去，必須規定一個循環次數，達到該值就停止試驗，而這個無失效的疲勞應力幅被稱為疲勞極限。前人根據大量的試驗觀察到了一個現象，鍛鋼的疲勞極限與材料抗拉強度之間存在著一種關系

鑄鐵的彎曲疲勞極限一般定為5×10⁷次循環，對應為0.4倍的極限抗拉強度。鋁合金一般規定為5×10⁸次循環，一般取在0.4倍的極限抗拉強度，對于鋁合金抗拉強度超過336MPa時，疲勞極限取130MPa。